Гранулированный материал

Конгломерация дискретных твердых макроскопических частиц

Примеры гранулированных материалов

Гранулированный материал представляет собой конгломерат дискретных твердых макроскопических частиц, характеризующихся потерей энергии при каждом взаимодействии частиц (наиболее распространенным примером является трение при столкновении зерен ). ^[1] Компоненты, составляющие гранулированный материал , достаточно велики, чтобы не подвергаться колебаниям теплового движения. Таким образом, нижний предел размера зерен в гранулированном материале составляет около 1 мкм . Что касается верхнего предела размера, физика гранулированных материалов может быть применена к льдинам, где отдельные зерна являются айсбергами , и к поясам астероидов Солнечной системы , где отдельные зерна являются астероидами .

Некоторые примеры гранулированных материалов: снег , орехи , уголь , песок , рис , кофе , кукурузные хлопья , соль и шарики подшипников . Таким образом, исследования гранулированных материалов напрямую применимы и восходят, по крайней мере, к Шарлю-Огюстену де Кулону , чей закон трения был первоначально сформулирован для гранулированных материалов. ^[2] Гранулированные материалы имеют коммерческое значение в таких разнообразных областях применения, как фармацевтическая промышленность, сельское хозяйство и производство энергии .

Порошки представляют собой особый класс гранулированных материалов из-за малого размера частиц, что делает их более связными и более легко взвешиваемыми в газе .

Солдат / физик бригадир Ральф Элджер Бэгнолд был одним из первых пионеров физики сыпучего вещества, и его книга «Физика ветрового песка и пустынных дюн ^{» [3]} остается важным источником информации и по сей день. По словам ученого-материаловеда Патрика Ричарда, «Гранулированные материалы повсеместно распространены в природе и являются вторым по частоте использования материалом в промышленности (первым является вода )». ^[4]

В некотором смысле гранулированные материалы не представляют собой единую фазу материи , но имеют характеристики, напоминающие твердые тела , жидкости или газы в зависимости от средней энергии на зерно. Однако в каждом из этих состояний гранулированные материалы также проявляют свойства, которые являются уникальными. ^[5]

Гранулированные материалы также демонстрируют широкий спектр поведения, формирующего структуру, при возбуждении (например, при вибрации или при свободном течении). Как таковые гранулированные материалы при возбуждении можно рассматривать как пример сложной системы . Они также демонстрируют нестабильности на основе жидкости и явления, такие как эффект Магнуса . ^[6]

Определения

Гранулированное вещество — это система, состоящая из множества макроскопических частиц. Микроскопические частицы (атомы\молекулы) описываются (в классической механике) всеми степенями свободы системы. Макроскопические частицы описываются только степенями свободы движения каждой частицы как твердого тела . В каждой частице много внутренних степеней свободы. Рассмотрим неупругое столкновение двух частиц — энергия от скорости как твердого тела передается микроскопическим внутренним степеням свободы. Мы получаем « диссипацию » — необратимое выделение тепла. Результатом является то, что без внешнего воздействия в конечном итоге все частицы перестанут двигаться. В макроскопических частицах тепловые флуктуации не имеют значения.

Когда вещество разрежено и динамично (движимо), то оно называется гранулярным газом , и в нем преобладает явление диссипации.

Когда вещество плотное и статическое, оно называется сыпучим твердым телом , и в нем преобладает явление застревания.

Если плотность промежуточная, то ее называют зернистой жидкостью .

Статическое поведение

Закон трения Кулона

Цепь передачи сил напряжения в сыпучей среде

Кулон рассматривал внутренние силы между зернистыми частицами как процесс трения и предложил закон трения, согласно которому сила трения твердых частиц пропорциональна нормальному давлению между ними, а коэффициент трения покоя больше коэффициента трения покоя. Он изучал разрушение куч песка и эмпирически нашел два критических угла: максимальный устойчивый угол и минимальный угол естественного откоса . Когда наклон кучи песка достигает максимального устойчивого угла, частицы песка на поверхности кучи начинают падать. Процесс останавливается, когда угол наклона поверхности становится равен углу естественного откоса. Разница между этими двумя углами, , является углом Багнольда, который является мерой гистерезиса зернистых материалов. Это явление обусловлено цепями сил : напряжение в зернистом твердом теле не распределяется равномерно, а отводится вдоль так называемых цепей сил , которые представляют собой сети зерен, лежащих друг на друге. Между этими цепями находятся области низкого напряжения, зерна которых экранированы от воздействия зерен, расположенных выше, сводчатостью и аркой . Когда сдвиговое напряжение достигает определенного значения, силовые цепи могут разорваться, и частицы на конце цепей на поверхности начинают скользить. Затем формируются новые силовые цепи до тех пор, пока сдвиговое напряжение не станет меньше критического значения, и таким образом куча песка сохраняет постоянный угол естественного откоса. ^[7] ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle \theta _{r}}$ ${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{m}-\theta _{r}}$

Эффект Янссена

В 1895 году HA Janssen обнаружил, что в вертикальном цилиндре, заполненном частицами, давление, измеренное у основания цилиндра, не зависит от высоты заполнения, в отличие от ньютоновских жидкостей в состоянии покоя, которые следуют закону Стевина . Janssen предложил упрощенную модель со следующими предположениями:

1) Вертикальное давление, , постоянно в горизонтальной плоскости; ${\displaystyle \sigma _{zz}}$

2) Горизонтальное давление, , пропорционально вертикальному давлению , где постоянно в пространстве; ${\displaystyle \sigma _{rr}}$ ${\displaystyle \sigma _{zz}}$ ${\displaystyle K={\frac {\sigma _{rr}}{\sigma _{zz}}}}$

3) Статический коэффициент трения о стенку выдерживает вертикальную нагрузку в месте контакта со стенкой; ${\displaystyle \mu ={\frac {\sigma _{rz}}{\sigma _{rr}}}}$

4) Плотность материала постоянна на всех глубинах.

Давление в гранулированном материале затем описывается другим законом, который учитывает насыщение: где и — радиус цилиндра, а в верхней части силоса . $${\displaystyle p(z)=p_{\infty }[1-\exp(-z/\lambda )]}$$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {R}{2\mu K}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z=0}$

Данное уравнение давления не учитывает граничные условия, такие как отношение размера частиц к радиусу силоса. Поскольку внутреннее напряжение материала невозможно измерить, предположения Янссена не были подтверждены ни одним прямым экспериментом.

Соотношение между напряжением и дилатансией Роу

В начале 1960-х годов Роу изучал влияние дилатансии на прочность на сдвиг в испытаниях на сдвиг и предложил связь между ними.

Механические свойства сборки монодисперсных частиц в 2D можно проанализировать на основе представительного элементарного объема , с типичными длинами , в вертикальном и горизонтальном направлениях соответственно. Геометрические характеристики системы описываются и переменной , которая описывает угол, когда точки контакта начинают процесс скольжения. Обозначим вертикальное направление, которое является направлением главного главного напряжения, и горизонтальное направление, которое является направлением второстепенного главного напряжения. ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$ ${\displaystyle \alpha =\arctan({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}})}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sigma _{11}}$ ${\displaystyle \sigma _{22}}$

Тогда напряжение на границе можно выразить как сосредоточенную силу, переносимую отдельными частицами. При двухосной нагрузке с равномерным напряжением и, следовательно , . ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}=0}$ ${\displaystyle F_{12}=F_{21}=0}$

В состоянии равновесия:

$${\displaystyle {\frac {F_{11}}{F_{22}}}={\frac {\sigma _{11}\ell _{2}}{\sigma _{22}\ell _{1}}}=\tan(\theta +\beta )}$$

где , угол трения, представляет собой угол между контактной силой и направлением нормали контакта. ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{\mu }}$, который описывает угол, при котором, если тангенциальная сила падает в пределах конуса трения, частицы все еще остаются неподвижными. Он определяется коэффициентом трения , поэтому . После того, как к системе приложено напряжение, оно постепенно увеличивается, оставаясь неизменным. Когда , то частицы начнут скользить, что приведет к изменению структуры системы и созданию новых силовых цепей. , горизонтальное и вертикальное смещения соответственно удовлетворяют: ${\displaystyle \mu =tg\phi _{u}}$ ${\displaystyle \theta \leq \theta _{\mu }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \theta \geq \theta _{\mu }}$ ${\displaystyle \Delta _{1},\Delta _{2}}$

$${\displaystyle {\frac {\dot {\Delta _{2}}}{\dot {\Delta _{1}}}}={\frac {{\dot {\varepsilon _{22}}}\ell _{2}}{{\dot {\varepsilon _{11}}}\ell _{1}}}=-\tan \beta }$$

Гранулированные газы

Если гранулированный материал перемещается сильнее, так что контакты между зернами становятся крайне редкими, материал переходит в газообразное состояние. Соответственно, можно определить гранулированную температуру, равную среднему квадрату флуктуаций скорости зерна, что аналогично термодинамической температуре . В отличие от обычных газов, гранулированные материалы будут иметь тенденцию к кластеризации и слипанию из-за диссипативной природы столкновений между зернами. Это кластеризация имеет некоторые интересные последствия. Например, если частично разделенную коробку гранулированных материалов энергично встряхнуть, то зерна со временем будут иметь тенденцию собираться в одной из перегородок, а не равномерно распределяться по обеим перегородкам, как это произошло бы в обычном газе. Этот эффект, известный как гранулированный демон Максвелла , не нарушает никаких принципов термодинамики, поскольку в этом процессе система постоянно теряет энергию.

Модель Улама

Рассмотрим частицы, частица с энергией . С некоторой постоянной скоростью в единицу времени случайным образом выбираем две частицы с энергиями и вычисляем сумму . Теперь случайным образом распределяем общую энергию между двумя частицами: выбираем случайным образом так, чтобы первая частица после столкновения имела энергию , а вторая . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i},\varepsilon _{j}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}}$ ${\displaystyle z\in \left[0,1\right]}$ ${\displaystyle z\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$ ${\displaystyle \left(1-z\right)\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$

Уравнение стохастической эволюции : где - частота столкновений, выбирается случайным образом из (равномерного распределения), а j - индекс, также выбираемый случайным образом из равномерного распределения. Средняя энергия на частицу: $${\displaystyle \varepsilon _{i}(t+dt)={\begin{cases}\varepsilon _{i}(t)&probability:\,1-\Gamma dt\\z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)&probability:\,\Gamma dt\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left[0,1\right]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon (t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z\right\rangle \left(\left\langle \varepsilon _{i}\right\rangle +\left\langle \varepsilon _{j}\right\rangle \right)\\&=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{2}}\left(\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle \right)\\&=\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle \end{aligned}}}$$

Второй момент:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z^{2}\right\rangle \left\langle \varepsilon _{i}^{2}+2\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}+\varepsilon _{j}^{2}\right\rangle \\&=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{3}}\left(2\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +2\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle ^{2}\right)\end{aligned}}}$

Теперь производная по времени второго момента:

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle }{dt}}=lim_{dt\rightarrow 0}{\dfrac {\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle -\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle }{dt}}=-{\dfrac {\Gamma }{3}}\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle +{\dfrac {2\Gamma }{3}}\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}}$

В устойчивом состоянии:

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle }{dt}}=0\Rightarrow \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}}$

Решаем дифференциальное уравнение для второго момента:

${\displaystyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle -2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}=\left(\left\langle \varepsilon ^{2}(0)\right\rangle -2\left\langle \varepsilon (0)\right\rangle ^{2}\right)e^{-{\frac {\Gamma }{3}}t}}$

Однако вместо того, чтобы характеризовать моменты, мы можем аналитически решить распределение энергии, используя функцию генерации моментов. Рассмотрим преобразование Лапласа : . ${\displaystyle g(\lambda )=\left\langle e^{-\lambda \varepsilon }\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon }$

Где , и ${\displaystyle g(0)=1}$ ${\displaystyle {\dfrac {dg}{d\lambda }}=-\int _{0}^{\infty }\varepsilon e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon =-\left\langle \varepsilon \right\rangle }$

производная n:

${\displaystyle {\dfrac {d^{n}g}{d\lambda ^{n}}}=\left(-1\right)^{n}\int _{0}^{\infty }\varepsilon ^{n}e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon =\left\langle \varepsilon ^{n}\right\rangle }$

сейчас:

${\displaystyle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t+dt)}={\begin{cases}e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}&1-\Gamma t\\e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)}&\Gamma t\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle e^{-\lambda \varepsilon \left(t+dt\right)}\right\rangle =\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}\right\rangle +\Gamma dt\left\langle e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)}\right\rangle }$

${\displaystyle g\left(\lambda ,t+dt\right)=\left(1-\Gamma dt\right)g\left(\lambda ,t\right)+\Gamma dt\int _{0}^{1}{\underset {=g^{2}(\lambda z,t)}{\underbrace {\left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{i}(t)}\right\rangle \left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{j}(t)}\right\rangle } }}dz}$

Решаем с заменой переменных : ${\displaystyle g(\lambda )}$ ${\displaystyle \delta =\lambda z}$

${\displaystyle \lambda g(\lambda )=\int _{0}^{\lambda }g^{2}(\delta )d\delta \Rightarrow \lambda g'(\lambda )+g(\lambda )=g^{2}(\lambda )\Rightarrow g(\lambda )={\dfrac {1}{\lambda T+1}}}$

Мы покажем это ( распределение Больцмана ), выполнив его преобразование Лапласа и вычислив производящую функцию: ${\displaystyle \rho (\varepsilon )={\dfrac {1}{T}}e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {1}{T}}e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}\cdot e^{-\lambda \varepsilon }d\varepsilon ={\dfrac {1}{T}}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)\varepsilon }d\varepsilon =-{\dfrac {1}{T\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)}}e^{-\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)\varepsilon }|_{0}^{\infty }={\dfrac {1}{\lambda T+1}}=g(\lambda )}$

Переход с заклиниванием

Застревание при выгрузке гранулированного материала происходит из-за образования арок (красные сферы)

Известно, что гранулированные системы демонстрируют застревание и подвергаются переходу застревания, который рассматривается как термодинамический фазовый переход в застрявшее состояние. ^[8] Переход происходит из жидкоподобной фазы в твердоподобную фазу и контролируется температурой, , объемной долей , и касательным напряжением, . Нормальная фазовая диаграмма стеклования находится в плоскости и разделена на область застрявшего состояния и незастрявшее жидкое состояние линией перехода. Фазовая диаграмма для гранулированного вещества лежит в плоскости , а кривая критического напряжения делит фазу состояния на застрявшую\незастрявшую область, что соответствует гранулированным твердым телам\жидкостям соответственно. Для изотропно застрявшей гранулированной системы, когда уменьшается вокруг определенной точки, , объемный и сдвиговой модули стремятся к 0. Точка соответствует критической объемной доле . Определим расстояние до точки , критическую объемную долю, . Эмпирически было обнаружено, что поведение гранулированных систем вблизи точки напоминает переход второго рода : объемный модуль демонстрирует степенной закон масштабирования с и существуют некоторые расходящиеся характеристики длин, когда приближается к нулю. ^[7] В то время как является постоянным для бесконечной системы, для конечной системы граничные эффекты приводят к распределению в некотором диапазоне. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \phi ^{-1}-T}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}-\Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma (\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Delta \phi \equiv \phi -\phi _{c}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Delta \phi }$ ${\displaystyle \Delta \phi }$ ${\displaystyle \phi _{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$

Алгоритм глушения Любачевского-Стиллингера позволяет создавать имитационные глушащиеся гранулярные конфигурации. ^[9]

Формирование паттерна

Возбужденная гранулированная материя — это богатая система формирования узоров. Некоторые из формирующих узоры поведений, наблюдаемых в гранулированных материалах, следующие:

• Разделение или расслоение разнородных зерен под воздействием вибрации и потока. Примером этого является так называемый эффект бразильского ореха ^[10] , когда бразильские орехи поднимаются наверх пакета смешанных орехов при встряхивании. Причина этого эффекта в том, что при встряхивании гранулированные (и некоторые другие) материалы движутся по кругу. Некоторые более крупные материалы (бразильские орехи) застревают при движении по кругу и поэтому остаются наверху.
• Формирование структурированных поверхностных или объемных узоров в вибрирующих гранулированных слоях. ^[11] Эти узоры включают, но не ограничиваются полосами, квадратами и шестиугольниками. Считается, что эти узоры формируются фундаментальными возбуждениями поверхности, известными как осциллоны . Формирование упорядоченных объемных структур в гранулированных материалах известно как гранулярная кристаллизация и включает переход от случайной упаковки частиц к упорядоченной упаковке, такой как гексагональная плотноупакованная или объемно-центрированная кубическая. Это чаще всего наблюдается в гранулированных материалах с узким распределением размеров и однородной морфологией зерен. ^[11]
• Образование песчаных рябей , дюн и песчаных пластов

Некоторые из моделей поведения, формирующих модели, удалось воспроизвести в компьютерном моделировании. ^{[12] [13]} Существует два основных вычислительных подхода к такому моделированию: пошаговый во времени и событийный , первый из которых наиболее эффективен для более высокой плотности материала и движений меньшей интенсивности, а второй — для более низкой плотности материала и движений большей интенсивности.

Акустические эффекты

Песчаные дюны

Некоторые пляжные пески, такие как на пляже, метко названном Squeaky Beach , издают скрип, когда по ним ходят. Известно, что некоторые пустынные дюны издают гул во время схода лавин или когда их поверхность иным образом нарушается. Гранулированные материалы, выгружаемые из силосов, производят громкие акустические выбросы в процессе, известном как гудение силоса.

Грануляция

Гранулирование — это действие или процесс, в ходе которого первичные частицы порошка склеиваются, образуя более крупные многочастичные образования, называемые гранулами.

Кристаллизация

Когда вода или другие жидкости охлаждаются достаточно медленно, случайно расположенные молекулы перестраиваются, и возникают и растут твердые кристаллы. Похожий процесс кристаллизации может происходить в случайно упакованных гранулированных материалах. В отличие от удаления энергии при охлаждении, кристаллизация в гранулированном материале достигается внешним воздействием. Упорядочение или кристаллизация гранулированных материалов наблюдалось в периодически сдвигаемом, а также вибрирующем гранулированном веществе. ^[11] В отличие от молекулярных систем, положения отдельных частиц можно отслеживать в эксперименте. ^[14] Компьютерное моделирование для системы сферических зерен показывает, что однородная кристаллизация возникает при объемной доле . ^[15] Компьютерное моделирование определяет минимальные ингредиенты, необходимые для гранулированной кристаллизации. В частности, гравитация и трение не являются необходимыми. ${\displaystyle \phi =0.646\pm 0.001}$

Компьютерное моделирование сыпучих материалов

Для моделирования гранулированных материалов доступно несколько методов . Большинство из этих методов состоят из статистических методов, с помощью которых различные статистические свойства, полученные из точечных данных или изображения, извлекаются и используются для создания стохастических моделей гранулированной среды. Недавний и всесторонний обзор таких методов доступен в Tahmasebi и др. (2017). ^[16] Другая альтернатива для построения пакета гранулированных частиц, которая была недавно представлена, основана на алгоритме набора уровней , с помощью которого реальная форма частицы может быть захвачена и воспроизведена с помощью извлеченной статистики для морфологии частиц. ^[17]

Смотрите также

• Агрегат (композитный)
• Хрупкая материя
• Случайная тесная упаковка
• Разжижение почвы
• Металлический порошок
• Частицы
• Паста (реология)
• μ(I) реология : одна модель реологии гранулярного потока.
• Дилатансия (зернистый материал)

Ссылки

1. Дюран, Дж., Пески, порошки и зерна: введение в физику зернистых материалов (перевод А. Рейзингера). Ноябрь 1999 г., Springer-Verlag New York, Inc., Нью-Йорк, ISBN  0-387-98656-1 .
2. Родхес, М. (редактор), Принципы порошковой технологии , John Wiley & Sons, 1997 ISBN 0-471-92422-9 
3. Багнольд, Р.А. 1941. Физика ветрового песка и пустынных дюн . Лондон: Метуэн,
4. Ричард, П.; Никодеми, Марио; Деланней, Рено; Рибьер, Филипп; Бидо, Даниэль (2005). «Медленная релаксация и уплотнение гранулярных систем». Nature Materials . 4 (2): 121–8. Bibcode :2005NatMa...4..121R. doi :10.1038/nmat1300. PMID  15689950. S2CID  25375365.
5. Дхиман, Маниш; Кумар, Сону; Редди, К. Анки; Гупта, Рагхвендра (март 2020 г.). «Происхождение дальнодействующего притяжения или отталкивания между нарушителями в ограниченной гранулированной среде». Журнал механики жидкости . 886 : A23. doi :10.1017/jfm.2019.1035. ISSN  0022-1120. S2CID  214483792.
6. Кумар, Сону; Дхиман, Маниш; Редди, К. Анки (14.01.2019). «Эффект Магнуса в гранулированных средах». Physical Review E. 99 ( 1): 012902. doi :10.1103/PhysRevE.99.012902. PMID  30780222. S2CID  73456295.
7. Qicheng, Sun (2013). "Механика сыпучего вещества" . Саутгемптон, Великобритания: WIT Press.
8. Хэй Хинрихсен, Дитрих Э. Вольф (редакторы), Физика гранулированных сред . 2004, ISBN Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. 978-3-527-60362-6 
9. Кансал, Анурааг Р.; Торквато, Сальваторе; Стиллингер, Фрэнк Х. (2002). "Компьютерная генерация плотных полидисперсных сферических упаковок" (PDF) . Журнал химической физики . 117 (18): 8212. Bibcode : 2002JChPh.117.8212K. doi : 10.1063/1.1511510.
10. Розато, А.; Стрэндбург, К. Дж.; Принц, Ф.; Свендсен, Р. Х. (1987). «Почему бразильские орехи на вершине». Physical Review Letters . 58 (10): 1038–41. doi :10.1103/physrevlett.58.1038. PMID  10034316.
11. Dai, Weijing; Reimann, Joerg; Hanaor, Dorian; Ferrero, Claudio; Gan, Yixiang (2019). "Modes of wall induced granular crystallization in inoxing". Granular Matter . 21 (2). arXiv : 1805.07865 . doi : 10.1007/s10035-019-0876-8. S2CID  119084790.
12. Джон Дж. Дрозд, Компьютерное моделирование сыпучего материала: исследование промышленной мельницы. Архивировано 18 августа 2011 г. в Wayback Machine , Диссертация, Университет Западного Онтарио, Канада, 2004 г.
13. AD Wissner-Gross, «Динамика нарушителя на виброкипящих зернистых поверхностях», Труды симпозиума Общества исследователей материалов 1152E, TT03-01 (2009).
14. Риц, Франк; Радин, Чарльз; Суинни, Гарри Л.; Шрётер, Маттиас (2 февраля 2018 г.). «Зародышеобразование в сдвинутом гранулированном веществе». Physical Review Letters . 120 (5): 055701. arXiv : 1705.02984 . Bibcode : 2018PhRvL.120e5701R. doi : 10.1103/PhysRevLett.120.055701 . PMID  29481202.
15. Jin, Weiwei; O'Hern, Corey S.; Radin, Charles; Shattuck, Mark D.; Swinney, Harry L. (18 декабря 2020 г.). «Гомогенная кристаллизация в циклически сдвинутых зернах без трения». Physical Review Letters . 125 (25): 258003. arXiv : 2008.01920 . Bibcode : 2020PhRvL.125y8003J. doi : 10.1103/PhysRevLett.125.258003. PMID  33416399. S2CID  220968720.
16. Tahmasebi, Pejman; Sahimi, Muhammad; Andrade, José E. (2017-01-01). "Моделирование зернистых пористых сред на основе изображений" (PDF) . Geophysical Research Letters . 44 (10): 2017GL073938. Bibcode :2017GeoRL..44.4738T. doi :10.1002/2017GL073938. ISSN  1944-8007. S2CID  44736386.
17. Tahmasebi, Pejman (август 2018 г.). «Упаковка дискретных и нерегулярных частиц» (PDF) . Компьютеры и геотехника . 100 : 52–61. doi :10.1016/j.compgeo.2018.03.011.

Внешние ссылки

• Основы технологии частиц – бесплатная книга
• Lu, Kevin; et al. (ноябрь 2007 г.). «Ослабление сдвига переходного режима для гранулярного течения». J. Fluid Mech. 587 : 347–372. Bibcode :2007JFM...587..347L. doi :10.1017/S0022112007007331. S2CID  30744277.
• Местер, Л., Новая физико-механическая теория зернистых материалов. 2009, Homonnai, ISBN 978-963-8343-87-1 
• Парески, Л., Руссо, Дж., Тоскани, Дж., Моделирование и численное моделирование кинетических диссипативных систем, Nova Science Publishers, Нью-Йорк, 2006.