спад

Крутизна передаточной функции в зависимости от частоты, особенно при анализе электрических сетей.

Спад — это крутизна передаточной функции с частотой , особенно при анализе электрических сетей и особенно в схемах фильтров при переходе между полосой пропускания и полосой задерживания . Чаще всего он применяется к вносимым потерям в сети, но в принципе может применяться к любой соответствующей частотной функции и любой технологии, а не только к электронике. Обычно спад измеряют как функцию логарифмической частоты; следовательно, единицами спада являются либо децибелы на декаду (дБ/декада), где декада представляет собой десятикратное увеличение частоты, либо децибелы на октаву (дБ/8ве), где октава представляет собой двукратное увеличение частоты.

Концепция спада вытекает из того факта, что во многих сетях спад имеет тенденцию к постоянному градиенту на частотах, находящихся далеко от точки среза частотной кривой. Спад позволяет свести эффективность отсечки такой сети фильтров к одному числу. Обратите внимание, что спад может происходить как с уменьшением частоты, так и с увеличением частоты, в зависимости от формы полосы рассматриваемого фильтра: например, фильтр нижних частот будет спадать с увеличением частоты, а фильтр верхних частот или более низкий Полоса задерживания полосового фильтра будет спадать с уменьшением частоты. Для краткости в этой статье описаны только фильтры нижних частот. Это следует понимать в духе прототипов фильтров ; те же принципы можно применить к фильтрам верхних частот, поменяв местами такие фразы, как «выше частоты среза» и «ниже частоты среза».

Спад первого порядка

Схема фильтра нижних частот RC-фильтра первого порядка .

Спад фильтра нижних частот первого порядка на уровне 6 дБ/октава (20 дБ/декада)

Простая сеть первого порядка, такая как RC-цепь, будет иметь спад 20 дБ/декада. Это примерно равно (в пределах нормальной инженерно-требуемой точности) 6 дБ/октаву и является более обычным описанием этого спада. Это можно доказать, рассмотрев функцию передачи напряжения A RC - цепи: ^[1]

${\displaystyle A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}}$

Масштабирование частоты до ω _c  = 1/ RC  = 1 и формирование коэффициента мощности дает:

${\displaystyle |A|^{2}={\frac {1}{1+\left({\omega \over \omega _{c}}\right)^{2}}}={\frac {1}{1+\omega ^{2}}}}$

В децибелах это будет:

${\displaystyle 10\log \left({\frac {1}{1+\omega ^{2}}}\right)}$

или выражено как потеря,

${\displaystyle L=10\log \left({1+\omega ^{2}}\right)\ \mathrm {dB} }$

На частотах значительно выше ω = 1 это упрощается до:

${\displaystyle L\approx 10\log \left(\omega ^{2}\right)=20\log \omega \ \mathrm {dB} }$

Спад определяется по формуле:

${\displaystyle \Delta L=20\log \left({\omega _{2} \over \omega _{1}}\right)\ \mathrm {dB/interval_{2,1}} }$

В течение десятилетия это так;

${\displaystyle \Delta L=20\log 10=20\ \mathrm {dB/decade} }$

и на октаву,

${\displaystyle \Delta L=20\log 2\approx 20\times 0.3=6\ \mathrm {dB/8ve} }$

Сети высшего порядка

RC-фильтр множественного порядка с буферизацией между каскадами.

График спада фильтров нижних частот более высокого порядка, показывающий различные скорости спада

Сеть более высокого порядка может быть построена путем каскадного объединения секций первого порядка. Если между каждой секцией размещен буферный усилитель с единичным коэффициентом усиления (или используется какая-либо другая активная топология ), взаимодействие между каскадами отсутствует. В этом случае для n идентичных секций первого порядка в каскаде передаточная функция напряжения всей сети определяется выражением; ^[1]

${\displaystyle A_{\mathrm {T} }=A^{n}\ }$

следовательно, общий спад определяется выражением

${\displaystyle \Delta L_{\text{T}}=n\,\Delta L=6n{\text{ dB/8ve}}}$

Аналогичного эффекта можно достичь в цифровой сфере , многократно применяя к сигналу один и тот же алгоритм фильтрации. ^[2]

LC низкочастотная лестничная схема. Каждый элемент (то есть L или C) добавляет порядок к фильтру и полюс к сопротивлению точки возбуждения .

Вычисление передаточной функции становится несколько более сложным, если не все секции идентичны или когда для реализации фильтра используется популярная конструкция лестничной топологии . В лестничном фильтре каждая секция фильтра оказывает влияние на своих непосредственных соседей и меньшее влияние на более удаленные секции, поэтому ответ не является простым A ⁿ , даже если все секции идентичны. Для некоторых классов фильтров, таких как фильтр Баттерворта , вносимые потери по-прежнему монотонно возрастают с частотой и быстро асимптотически сходятся к спаду 6 н  дБ/8ве, но в других, таких как фильтр Чебышева или эллиптический фильтр, скатывание вблизи частоты среза происходит намного быстрее, а в других местах отклик совсем не монотонный. Тем не менее, все классы фильтров теоретически в конечном итоге сходятся к спаду 6 n  дБ/8ve на какой-то произвольно высокой частоте, но во многих приложениях это будет происходить в полосе частот, не представляющей интереса для приложения, и паразитные эффекты вполне могут начать доминировать. задолго до того, как это произойдет. ^[3]

Приложения

Фильтры с высоким спадом были впервые разработаны для предотвращения перекрестных помех между соседними каналами в телефонных системах FDM . ^[4] Спад также важен для кроссоверных фильтров аудиодинамиков : здесь нужен не столько высокий спад, сколько то, чтобы спад высокочастотной и низкочастотной частей был симметричным и дополняющим друг друга. Интересная потребность в высоком спаде возникает в аппаратах ЭЭГ . Здесь фильтры в основном обходятся базовым спадом 6 дБ/8ve, однако некоторые инструменты оснащены переключаемым фильтром 35 Гц на высокочастотном конце с более быстрым спадом, чтобы помочь отфильтровать шум, создаваемый мышечной активностью. ^[5]

Смотрите также

• График Боде

Примечания

1. Дж. Майкл Джейкоб, Усовершенствованные схемы и электроника переменного тока: принципы и приложения , страницы 150–152, Cengage Learning, 2003 ISBN  0-7668-2330-X .
2. Тодд, стр. 107–108.
3. Джованни Бьянки, Роберто Соррентино, Моделирование и проектирование электронных фильтров , страницы 129–130, McGraw-Hill Professional 2007 ISBN 0-07-149467-7 . 
4. Лундхейм, Л., «О Шенноне и «формуле Шеннона», Telektronikk , т. 98 , № 1, 2002, стр. 24–25.
5. Майер и др., стр. 104–105.

Рекомендации

• Дж. Уильям Хелтон, Орландо Мерино, Классическое управление с использованием методов H [бесконечности]: введение в проектирование , страницы 23–25, Общество промышленной и прикладной математики, 1998 ISBN 0-89871-424-9 . 
• Тодд К. Хэнди, Потенциалы, связанные с событиями: справочник по методам , страницы 89–92, 107–109, MIT Press, 2004 ISBN 0-262-08333-7 . 
• Фэй С. Тайнер, Джон Рассел Нотт, В. Брем Майер (редактор), « Основы технологии ЭЭГ: основные концепции и методы» , страницы 101–102, Lippincott Williams & Wilkins, 1983 ISBN 0-89004-385-X .