Направительный косинус

Косинусы углов между вектором и тремя координатными осями.

В аналитической геометрии направляющие косинусы (или направляющие косинусы ) вектора представляют собой косинусы углов между вектором и тремя положительными осями координат. Эквивалентно, это вклады каждого компонента базиса в единичный вектор в этом направлении.

Трехмерные декартовы координаты

Вектор v в R ³

Направляющие косинусы и направляющие углы для единичного вектора v /| в |

Если v — евклидов вектор в трёхмерном евклидовом пространстве , R ³ ,

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},}$

где e _x , e _y , e _z — стандартный базис в декартовой системе счисления, тогда направляющие косинусы равны

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha &{}=\cos a={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\beta &{}=\cos b={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\gamma &{}=\cos c={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}}$

Отсюда следует, что возведя в квадрат каждое уравнение и сложив результаты

${\displaystyle \cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.}$

Здесь α , β и γ — направляющие косинусы и декартовы координаты единичного вектора v /| v |, а a , b и c — направляющие углы вектора v .

Направляющие углы a , b и c являются острыми или тупыми углами , т. е. 0 ≤ a ≤ π, 0 ≤ b ≤ π и 0 ≤ c ≤ π , и они обозначают углы, образованные между v и единичными базисными векторами, e _x , е _y и е _z .

Общее значение

В более общем смысле, направляющий косинус относится к косинусу угла между любыми двумя векторами . Они полезны для формирования матриц направляющего косинуса , которые выражают один набор ортонормированных базисных векторов через другой набор, или для выражения известного вектора в другом базисе.

Смотрите также

• Декартов тензор

Рекомендации

• Кей, округ Колумбия (1988). Тензорное исчисление . Очерки Шаума. МакГроу Хилл. стр. 18–19. ISBN 0-07-033484-6.
• Шпигель, MR; Липшуц, С.; Спеллман, Д. (2009). Векторный анализ . Очерки Шаума (2-е изд.). МакГроу Хилл. стр. 15, 25. ISBN. 978-0-07-161545-7.
• Тилдесли, младший (1975). Введение в тензорный анализ для инженеров и ученых-прикладников. Лонгман. п. 5. ISBN 0-582-44355-5.
• Тан, КТ (2006). Математические методы для инженеров и ученых . Том. 2. Спрингер. п. 13. ISBN 3-540-30268-9.
• Вайсштейн, Эрик В. «Направляющий косинус». Математический мир .