В аналитической геометрии направляющие косинусы (или косинусы направления ) вектора являются косинусами углов между вектором и тремя положительными осями координат. Эквивалентно, они являются вкладами каждого компонента базиса в единичный вектор в этом направлении .
Трехмерные декартовы координаты
Вектор v в Направляющие косинусы и направляющие углы для единичного вектора
где e x , ey , e z — стандартный базис в декартовой системе счисления, тогда направляющие косинусы равны
Отсюда следует, что возводя в квадрат каждое уравнение и складывая результаты
Здесь α , β , γ — направляющие косинусы и декартовы координаты единичного вектора , а a , b , c — направляющие углы вектора v .
Направляющие углы a , b , c являются острыми или тупыми углами , т. е. 0 ≤ a ≤ π , 0 ≤ b ≤ π и 0 ≤ c ≤ π , и они обозначают углы, образованные между v и единичными базисными векторами ex , ey , e z .
Общее значение
В более общем смысле направляющий косинус относится к косинусу угла между любыми двумя векторами . Они полезны для формирования матриц направляющих косинусов , которые выражают один набор ортонормальных базисных векторов через другой набор, или для выражения известного вектора в другом базисе. Проще говоря, направляющие косинусы предоставляют простой метод представления направления вектора в декартовой системе координат.
Приложения
Определение углов между двумя векторами
Если векторы u и v имеют направляющие косинусы ( α u , β u , γ u ) и ( α v , β v , γ v ) соответственно, с углом θ между ними, то их единичные векторы равны
Скалярное произведение этих двух единичных векторов дает,
где θ — угол между двумя единичными векторами, а также угол между u и v .
Поскольку θ — геометрический угол, и он никогда не бывает отрицательным. Поэтому берется только положительное значение скалярного произведения, что дает нам конечный результат,
