Классификация разрывов

Математический анализ разрывных точек

Непрерывные функции имеют первостепенное значение в математике , функциях и приложениях. Однако не все функции непрерывны. Если функция не является непрерывной в предельной точке (также называемой точкой накопления или точкой скопления ) своей области определения , говорят, что она имеет там разрыв . Множество всех точек разрыва функции может быть дискретным множеством , плотным множеством или даже всей областью определения функции.

Колебание функции в точке количественно определяет эти разрывы следующим образом :

• в устранимом разрыве расстояние, на которое отклоняется значение функции, является колебанием;
• в скачкообразном разрыве величина скачка является колебанием (предполагая, что значение в точке лежит между этими пределами двух сторон);
• В существенном разрыве колебание измеряет отсутствие предела .

Особый случай — если функция расходится к бесконечности или минус бесконечности , в этом случае колебание не определено (в расширенных действительных числах это устранимый разрыв).

Классификация

Для каждого из следующих случаев рассмотрим действительную функцию действительной переменной, определенную в окрестности точки , в которой она разрывна. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Устранимый разрыв

Функция в примере 1, устранимый разрыв

Рассмотрим кусочную функцию $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ for }}x<1\\0{\text{ (or possibly undefined)}}&{\text{ for }}x=1\\2-x&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$$

Дело в устранимом разрыве . Для такого рода разрыва: ${\displaystyle x_{0}=1}$

Односторонний предел с отрицательного направления: и односторонний предел с положительного направления: при оба существуют, конечны и равны Другими словами, поскольку два односторонних предела существуют и равны, предел при приближении существует и равен этому же значению. Если фактическое значение не равно или не определено, то называется $${\displaystyle L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)}$$ $${\displaystyle L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L=L^{-}=L^{+}.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle x_{0}}$устранимый разрыв . Этот разрыв можно устранить, чтобы сделатьфункцию непрерывной приили, точнее, функция непрерывна при ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0},}$ $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=x_{0}.}$

Термин «устранимый разрыв» иногда расширяют, включая в него устранимую особенность , в которой пределы в обоих направлениях существуют и равны, в то время как функция не определена в точке ^[a]. Такое использование является злоупотреблением терминологией , поскольку непрерывность и разрывность функции — это понятия, определенные только для точек в области определения функции. ${\displaystyle x_{0}.}$

Прерывистость прыжка

Функция в примере 2, скачок разрыва

Рассмотрим функцию $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0{\text{ (or possibly undefined)}}&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$$

Тогда, дело в том, ${\displaystyle x_{0}=1}$скачок непрерывности .

В этом случае, единственный предел не существует, поскольку односторонние пределы и существуют и конечны, но не равны: поскольку, предел не существует. Тогда, называется скачкообразным разрывом , ступенчатым разрывом или разрывом первого рода . Для этого типа разрыва функция может иметь любое значение при ${\displaystyle L^{-}}$ ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle L^{-}\neq L^{+},}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Существенный разрыв

Функция в примере 3, существенный разрыв

Для существенного разрыва по крайней мере один из двух односторонних пределов не существует в . (Обратите внимание, что один или оба односторонних предела могут быть ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pm \infty }$

Рассмотрим функцию $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\text{ for }}x>1.\end{cases}}}$$

Тогда, дело в том, ${\displaystyle x_{0}=1}$существенный разрыв .

В этом примере и не существуют в , таким образом удовлетворяя условию существенной разрывности. Так же как и существенный разрыв, бесконечный разрыв или разрыв второго рода. (Это отличается от существенной сингулярности , которая часто используется при изучении функций комплексных переменных ). ${\displaystyle L^{-}}$ ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$

Предположим, что — функция определена на интервале, мы обозначим через множество всех разрывов на Под мы будем подразумевать множество всех таких, которые имеют устранимый разрыв в Аналогично через мы обозначим множество, образованное всеми такими, которые имеют скачок разрыва в Множество всех таких, которые имеют существенный разрыв в будет обозначаться через Конечно, тогда ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle D=R\cup J\cup E.}$

Подсчет разрывов функции

В литературе актуальны два следующих свойства множества . ${\displaystyle D}$

• Множество является множеством . Множество точек, в которых функция непрерывна, всегда является множеством (см. ^[2] ). ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F_{\sigma }}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$
• Если на интервале монотонно, то не более чем счетно и Это теорема Фроды . ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=J.}$

Том Апостол ^[3] частично следует классификации выше, рассматривая только устранимые и скачкообразные разрывы. Его цель — изучить разрывы монотонных функций, в основном, чтобы доказать теорему Фроды. С той же целью Вальтер Рудин ^[4] и Карл Р. Стромберг ^[5] также изучают устранимые и скачкообразные разрывы, используя разные терминологии. Однако, далее, оба автора утверждают, что всегда является счетным множеством (см. ^{[6] [7]} ). ${\displaystyle R\cup J}$

Термин «существенная прерывность» использовался в математическом контексте уже в 1889 году. ^[8] Однако самое раннее использование термина вместе с математическим определением, по-видимому, было дано в работе Джона Клипперта. ^[9] В ней Клипперт также классифицировал сами существенные прерывности, разделив множество на три следующих множества: ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle E_{1}=\left\{x_{0}\in I:\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ do not exist in }}\mathbb {R} \right\},}$$ $${\displaystyle E_{2}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} \right\},}$$ $${\displaystyle E_{3}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} \right\}.}$$

Конечно, Whenever называется существенной разрывностью первого рода . Any называется существенной разрывностью второго рода. Поэтому он расширяет множество, не теряя его характеристики счетности, утверждая следующее: ${\displaystyle E=E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}.}$ ${\displaystyle x_{0}\in E_{1},}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\in E_{2}\cup E_{3}}$ ${\displaystyle R\cup J}$

• Множество счетно. ${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$

Переписываем теорему Лебега

Когда и является ограниченной функцией, хорошо известно о важности множества в отношении интегрируемости по Риману . Фактически, теорема Лебега (также называемая теоремой Лебега-Витали) утверждает, что интегрируемо по Риману на тогда и только тогда, когда является множеством с нулевой мерой Лебега. ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle D}$

В этой теореме, кажется, что все типы разрывов имеют одинаковый вес на препятствии, что ограниченная функция может быть интегрируемой по Риману на Поскольку счетные множества являются множествами меры Лебега нуль, а счетное объединение множеств с мерой Лебега нуль все еще является множеством меры Лебега нуль, мы видим теперь, что это не так. Фактически, разрывы в множестве абсолютно нейтральны в отношении интегрируемости по Риману Главными разрывами для этой цели являются существенные разрывы первого рода, и, следовательно, теорема Лебега-Витали может быть переписана следующим образом: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$ ${\displaystyle f.}$

• Ограниченная функция интегрируема по Риману на тогда и только тогда, когда соответствующее множество всех существенных разрывов первого рода имеет нулевую меру Лебега. ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle f}$

Случай, когда соответствуют следующим известным классическим дополнительным ситуациям интегрируемости по Риману ограниченной функции : ${\displaystyle E_{1}=\varnothing }$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

• Если имеет правосторонний предел в каждой точке , то интегрируемо по Риману (см. ^[10] ) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b[}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$
• Если имеет левосторонний предел в каждой точке, то интегрируемо ли по Риману ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$
• Если является регулируемой функцией на , то интегрируема ли функция Римана на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$

Примеры

Функция Томаэ разрывна в каждой ненулевой рациональной точке , но непрерывна в каждой иррациональной точке. Легко видеть, что все эти разрывы устранимы. Согласно первому абзацу, не существует функции, которая непрерывна в каждой рациональной точке, но разрывна в каждой иррациональной точке.

Индикаторная функция рациональных чисел, также известная как функция Дирихле , всюду разрывна . Эти разрывы все существенны и первого рода.

Рассмотрим теперь троичное множество Кантора и его индикаторную (или характеристическую) функцию. Один из способов построения множества Кантора дается формулой , где множества получаются путем рекуррентного сопоставления согласно ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$ $${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)={\begin{cases}1&x\in {\mathcal {C}}\\0&x\in [0,1]\setminus {\mathcal {C}}.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle {\mathcal {C}}:=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ $${\displaystyle C_{n}={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right){\text{ for }}n\geq 1,{\text{ and }}C_{0}=[0,1].}$$

Ввиду разрывов функции предположим точку ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\not \in {\mathcal {C}}.}$

Следовательно, существует множество, используемое в формулировке , которое не содержит То есть принадлежит одному из открытых интервалов, которые были удалены при построении Таким образом, имеет окрестность без точек (Другим способом тот же вывод следует с учетом того, что является замкнутым множеством, а значит, его дополнительное по отношению к является открытым). Следовательно, принимает значение ноль только в некоторой окрестности Следовательно , непрерывно в ${\displaystyle C_{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle C_{n}.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Это означает, что множество всех разрывов на интервале является подмножеством Поскольку является несчетным множеством с нулевой мерой Лебега , то является также множеством с нулевой мерой Лебега и, следовательно, в соответствии с теоремой Лебега-Витали является интегрируемой по Риману функцией. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$

Точнее говоря , фактически, поскольку является нигде не плотным множеством, если то никакая окрестность не может содержаться в Таким образом, любая окрестность содержит точки и точки, которые не являются В терминах функции это означает, что и и не существуют. То есть, где через, как и прежде, мы обозначаем множество всех существенных разрывов первого рода функции Очевидно, ${\displaystyle D={\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \left(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon \right)}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}1_{\mathcal {C}}(x)}$ ${\displaystyle D=E_{1},}$ ${\displaystyle E_{1},}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}.}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)dx=0.}$

Разрывы производных инструментов

Пусть открытый интервал, пусть будет дифференцируем на и пусть будет производной от То есть, для каждого . Согласно теореме Дарбу , производная функция удовлетворяет свойству промежуточного значения. Функция , конечно, может быть непрерывной на интервале, в этом случае теорема Больцано также применима. Напомним, что теорема Больцано утверждает, что каждая непрерывная функция удовлетворяет свойству промежуточного значения. С другой стороны, обратное неверно: теорема Дарбу не предполагает, что она непрерывна, а свойство промежуточного значения не подразумевает, что она непрерывна на ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$

Теорема Дарбу, однако, имеет непосредственное следствие относительно типа разрывов, которые могут иметь. Фактически, если является точкой разрыва , то обязательно является существенным разрывом . ^[11] Это означает, в частности, что следующие две ситуации не могут возникнуть: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

1. ${\displaystyle x_{0}}$является устранимым разрывом . ${\displaystyle f}$
2. ${\displaystyle x_{0}}$является скачком разрыва . ${\displaystyle f}$

Кроме того, необходимо исключить еще две ситуации (см. Джон Клипперт ^[12] ):

3. ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\pm \infty .}$
4. ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\pm \infty .}$

Заметим, что всякий раз, когда одно из условий (i), (ii), (iii) или (iv) выполняется для некоторого числа, можно сделать вывод, что не обладает первообразной, , на интервале . ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle I}$

С другой стороны, можно ввести новый тип разрыва относительно любой функции : существенный разрыв функции называется фундаментальным существенным разрывом , если ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)\neq \pm \infty }$$и $${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\neq \pm \infty .}$$

Поэтому, если есть разрыв производной функции , то обязательно есть фундаментальный существенный разрыв функции . ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Заметим также, что когда и является ограниченной функцией, как в предположениях теоремы Лебега, мы имеем для всех : и Поэтому любой существенный разрыв является фундаментальным. ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ $${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{\pm }}f(x)\neq \pm \infty ,}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\neq \pm \infty ,}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}f(x)\neq \pm \infty .}$$ ${\displaystyle f}$

Смотрите также

• Устранимая особенность  – неопределенная точка на голоморфной функции, которую можно сделать регулярной
• Математическая сингулярность  – точка, в которой функция, кривая или другой математический объект ведет себя нерегулярно.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Расширение по непрерывности  – топологическое пространство, в котором точка и замкнутое множество, если они не пересекаются, разделимы окрестностями.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Гладкость  – число производных функции (математика)
  • Геометрическая непрерывность  – Число производных функции (математика)Pages displaying short descriptions of redirect targets
  • Параметрическая непрерывность  – число производных функции (математика)Pages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. См., например, последнее предложение в определении, данном в Mathwords. ^[1]

Ссылки

1. «Mathwords: Устранимый разрыв».
2. Стромберг, Карл Р. (2015). Введение в классический вещественный анализ . Американское математическое общество. стр. 120. Пример 3 (c). ISBN 978-1-4704-2544-9.
3. Апостол, Том (1974). Математический анализ (второе изд.). Эддисон и Уэсли. стр. 92, раздел 4.22, раздел 4.23 и пример 4.63. ISBN 0-201-00288-4.
4. Уолтер, Рудин (1976). Принципы математического анализа (третье изд.). McGraw-Hill. стр. 94, Def. 4.26, Thms. 4.29 и 4.30. ISBN 0-07-085613-3.
5. Штромберг, Карл Р. Указ. соч . С. 128, Опр. 3.87, Теория 3.90.
6. Вальтер, Рудин. Указ. соч. С. 100, Пример 17.
7. Штромберг, Карл Р. Указ. соч . С. 131, Пример 3.
8. Уитни, Уильям Дуайт (1889). The Century Dictionary: Энциклопедический лексикон английского языка. Том 2. Лондон и Нью-Йорк: Т. Фишер Анвин и The Century Company. стр. 1652. ISBN 9781334153952. Архивировано из оригинала 2008-12-16. Существенный разрыв — это разрыв, при котором значение функции становится полностью неопределимым.
9. Клипперт, Джон (февраль 1989 г.). «Расширенное продвинутое исчисление: подсчет разрывов вещественнозначной функции с интервальной областью». Mathematics Magazine . 62 : 43–48. doi :10.1080/0025570X.1989.11977410 – через JSTOR.
10. Мецлер, RC (1971). «Об интегрируемости Римана». American Mathematical Monthly . 78 (10): 1129–1131. doi :10.1080/00029890.1971.11992961.
11. Рудин, Вальтер. Указ . соч. С. 109, Следствие.
12. Клипперт, Джон (2000). «О разрыве производной». Международный журнал математического образования в науке и технике . 31:S2: 282–287. doi :10.1080/00207390050032252.

Источники

• Малик, СК; Арора, Савита (1992). Математический анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-470-21858-4.

Внешние ссылки

• «Прерывистый». PlanetMath .
• «Разрыв» Эда Пегга-младшего , The Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Вайсштейн, Эрик В. «Разрыв». MathWorld .
• Кудрявцев, Л. Д. (2001) [1994]. "Точка разрыва". Энциклопедия математики . Издательство EMS .