Ультраметрическое пространство

Тип метрического пространства

В математике ультраметрическое пространство — это метрическое пространство , в котором неравенство треугольника усиливается до для всех , и . Иногда связанную метрику также называют неархимедовой метрикой или суперметрикой . ${\displaystyle d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Формальное определение

Ультраметрика на множестве M — это вещественная функция

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

(где ℝ обозначают действительные числа ), такие, что для всех x , y , z ∈ M :

1. д ( х , у ) ≥ 0 ;
2. d ( x , y ) = d ( y , x ) ( симметрия );
3. д ( х , х ) = 0 ;
4. если d ( x , y ) = 0 , то x = y ;
5. d ( x , z ) ≤ max { d ( x , y ), d ( y , z ) } ( сильное неравенство треугольника или ультраметрическое неравенство ).

Ультраметрическое пространство — это пара ( M , d ), состоящая из множества M вместе с ультраметрикой d на M , которая называется ассоциированной функцией расстояния пространства (также называемой метрикой ) .

Если d удовлетворяет всем условиям, за исключением, возможно, условия 4, то d называется ультрапсевдометрическим на M. Ультрапсевдометрическое пространство — это пара ( M , d ), состоящая из множества M и ультрапсевдометрического d на M. ^[1]

В случае, когда M — абелева группа (записанная аддитивно), а d порождается функцией длины (так что ), последнее свойство можно усилить, используя усиление Крулля : ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$с равенством, если . ${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$

Мы хотим доказать, что если , то равенство имеет место, если . Без потери общности предположим, что Это подразумевает, что . Но мы также можем вычислить . Теперь значение не может быть , поскольку в этом случае мы имеем вопреки первоначальному предположению. Таким образом, , и . Используя первоначальное неравенство, имеем и, следовательно , . ${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$ ${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$ ${\displaystyle \|x\|>\|y\|.}$ ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|}$ ${\displaystyle \|x\|=\|(x+y)-y\|\leq \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$ ${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$ ${\displaystyle \|y\|}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|y\|}$ ${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}=\|x+y\|}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|}$ ${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|}$

Характеристики

В треугольнике справа две нижние точки x и y нарушают условие d ( x , y ) ≤ max{ d ( x , z ), d ( y , z )}.

Из приведенного выше определения можно вывести несколько типичных свойств ультраметрики. Например, для всех выполняется хотя бы одно из трех равенств или или . То есть, каждая тройка точек в пространстве образует равнобедренный треугольник , поэтому все пространство является равнобедренным множеством . ${\displaystyle x,y,z\in M}$ ${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$ ${\displaystyle d(x,z)=d(y,z)}$ ${\displaystyle d(x,y)=d(z,x)}$

Определяя (открытый) шар радиуса с центром в точке , мы имеем следующие свойства: ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}}$

• Каждая точка внутри шара является его центром, т.е. если то . ${\displaystyle d(x,y)<r}$ ${\displaystyle B(x;r)=B(y;r)}$
• Пересекающиеся шары содержатся друг в друге, т.е. если непусто , то либо , либо . ${\displaystyle B(x;r)\cap B(y;s)}$ ${\displaystyle B(x;r)\subseteq B(y;s)}$ ${\displaystyle B(y;s)\subseteq B(x;r)}$
• Все шары строго положительного радиуса являются как открытыми , так и замкнутыми множествами в индуцированной топологии . То есть открытые шары также являются замкнутыми, а закрытые шары (заменить на ) также являются открытыми. ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \leq }$
• Множество всех открытых шаров с радиусом и центром в замкнутом шаре радиуса образует разбиение последнего, а взаимное расстояние двух различных открытых шаров (больше или) равно . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$

Доказательство этих утверждений — поучительное упражнение. ^[2] Все они напрямую вытекают из ультраметрического неравенства треугольника. Обратите внимание, что согласно второму утверждению шар может иметь несколько центральных точек с ненулевым расстоянием. Интуиция, стоящая за такими, казалось бы, странными эффектами, заключается в том, что из-за сильного неравенства треугольника расстояния в ультраметрике не складываются.

Примеры

• Дискретная метрика — это ультраметрика.
• P -адические числа образуют полное ультраметрическое пространство.
• Рассмотрим множество слов произвольной длины (конечной или бесконечной), Σ ^* , над некоторым алфавитом Σ. Определим расстояние между двумя различными словами как 2 ^{− n} , где n — первая позиция, в которой слова различаются. Полученная метрика — ультраметрика.
• Множество слов со склеенными концами длины n над некоторым алфавитом Σ является ультраметрическим пространством относительно p -близкого расстояния. Два слова x и y являются p -близкими, если любая подстрока из p последовательных букв ( p < n ) появляется одинаковое количество раз (которое также может быть равно нулю) как в x , так и в y . ^[3]
• Если r = ( r _n ) — последовательность действительных чисел , убывающая к нулю, то | x | _r  := lim sup _{n →∞} | x _n | ^{r _n} индуцирует ультраметрику на пространстве всех комплексных последовательностей, для которых она конечна. (Обратите внимание, что это не полунорма, поскольку она лишена однородности — если r _n разрешено быть нулевыми, здесь следует использовать довольно необычное соглашение, что 0 0  = 0.)
• Если G — неориентированный граф со взвешенными рёбрами , все веса рёбер положительны, а d ( u , v ) — вес минимаксного пути между u и v (то есть наибольший вес ребра на пути, выбранном для минимизации этого наибольшего веса), то вершины графа с расстоянием, измеряемым d , образуют ультраметрическое пространство, и все конечные ультраметрические пространства могут быть представлены таким образом. ^[4]

Приложения

• Тогда отображение сжатия можно рассматривать как способ аппроксимации конечного результата вычисления (существование которого может быть гарантировано теоремой Банаха о неподвижной точке ). Похожие идеи можно найти в теории областей . p -адический анализ интенсивно использует ультраметрическую природу p -адической метрики .
• В физике конденсированного состояния самоусредняющееся перекрытие спинов в модели SK спиновых стекол демонстрирует ультраметрическую структуру, причем решение дается процедурой нарушения симметрии полной реплики, впервые описанной Джорджио Паризи и его коллегами. ^[5] Ультраметричность также появляется в теории апериодических твердых тел. ^[6]
• В таксономии и построении филогенетического дерева ультраметрические расстояния также используются методами UPGMA и WPGMA . ^[7] Эти алгоритмы требуют предположения о постоянной скорости и создают деревья, в которых расстояния от корня до каждой верхушки ветви равны. При анализе данных ДНК , РНК и белка предположение об ультраметричности называется молекулярными часами .
• Модели перемежаемости в трехмерной турбулентности жидкостей используют так называемые каскады, а в дискретных моделях — диадические каскады, имеющие ультраметрическую структуру. ^[8]
• В географии и ландшафтной экологии ультраметрические расстояния применяются для измерения сложности ландшафта и оценки того, в какой степени одна ландшафтная функция важнее другой. ^[9]

Ссылки

1. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 1–18.
2. "Неравенство ультраметрического треугольника". Stack Exchange .
3. Осипов, Гуткин (2013), «Кластеризация периодических орбит в хаотических системах», Нелинейность , 26 (26): 177–200, Bibcode : 2013Nonli..26..177G, doi : 10.1088/0951-7715/26/1/177.
4. Леклерк, Бруно (1981), «Комбинированное описание ультраметрических измерений», Centre de Mathématique Sociale. Практическая школа высоких исследований. Mathématiques et Sciences Humaines (на французском языке) (73): 5–37, 127, MR  0623034.
5. Мезард, М.; Паризи, Г.; и Вирасоро, М.: ТЕОРИЯ СПИН-СТЕКЛА И НЕ ТОЛЬКО , World Scientific, 1986. ISBN 978-9971-5-0116-7 
6. Rammal, R.; Toulouse, G.; Virasoro, M. (1986). «Ультраметричность для физиков». Reviews of Modern Physics . 58 (3): 765–788. Bibcode : 1986RvMP...58..765R. doi : 10.1103/RevModPhys.58.765 . Получено 20 июня 2011 г.
7. Лежандр, П. и Лежандр, Л. 1998. Численная экология. Второе английское издание. Разработки в моделировании окружающей среды 20. Elsevier, Амстердам.
8. Benzi, R.; Biferale, L.; Trovatore, E. (1997). «Ультраметрическая структура многомасштабных энергетических корреляций в турбулентных моделях». Physical Review Letters . 79 (9): 1670–1674. arXiv : chao-dyn/9705018 . Bibcode : 1997PhRvL..79.1670B. doi : 10.1103/PhysRevLett.79.1670. S2CID  53120932.
9. Пападимитриу, Фивос (2013). «Математическое моделирование землепользования и сложности ландшафта с ультраметрической топологией». Журнал Land Use Science . 8 (2): 234–254. doi : 10.1080/1747423x.2011.637136 . ISSN  1747-423X. S2CID  121927387.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.

Дальнейшее чтение

• Капланский, И. (1977), Теория множеств и метрические пространства , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с неархимедовой геометрией на Wikimedia Commons