Атом (теория меры)

Измеримое множество с положительной мерой, которое не содержит подмножества меньшей положительной меры.

В математике , точнее в теории меры , атом — это измеримое множество, имеющее положительную меру и не содержащее множества меньших положительных мер. Мера, не имеющая атомов, называется неатомной или безатомной .

Определение

Если задано измеримое пространство и мера на этом пространстве, то множество в называется атомом, если и для любого измеримого подмножества , . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \mu (A)>0}$$ ${\displaystyle B\subset A}$ ${\displaystyle 0\in \{\mu (B),\mu (A\setminus B)\}}$

Класс эквивалентности определяется как , где — симметричный оператор разности . Если — атом, то все подмножества в являются атомами и называется атомным классом . ^[1] Если — конечная мера, то существует счетное число атомных классов. ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle [A]:=\{B\in \Sigma :\mu (A\Delta B)=0\},}$$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Примеры

• Рассмотрим множество X = {1, 2, ..., 9, 10} и пусть сигма-алгебра будет множеством мощности X. Определим меру множества как его мощность , то есть количество элементов в множестве. Тогда каждый из синглетонов { i } , для i = 1, 2, ..., 9, 10, является атомом. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu }$
• Рассмотрим меру Лебега на действительной прямой . Эта мера не имеет атомов.

Атомные меры

-Конечная мера на измеримом пространстве называется атомарной или чисто атомарной , если каждое измеримое множество положительной меры содержит атом. Это эквивалентно утверждению, что существует счетное разбиение , образованное атомами вплоть до нулевого множества. ^[2] Предположение о -конечности является существенным. Рассмотрим иначе пространство , где обозначает счетную меру . Это пространство является атомарным, причем все атомы являются синглетонами , однако пространство не может быть разделено на непересекающееся объединение счетного числа непересекающихся атомов и нулевое множество , поскольку счетное объединение синглетонов является счетным множеством, а несчетность действительных чисел показывает, что дополнение должно быть несчетным, следовательно, его -мера будет бесконечной, в противоречии с тем, что оно является нулевым множеством. Справедливость результата для -конечных пространств следует из доказательства для пространств с конечной мерой путем наблюдения того, что счетное объединение счетных объединений снова является счетным объединением, и что счетные объединения нулевых множеств являются нулевыми. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Дискретные меры

-Конечная атомная мера называется дискретной, если пересечение атомов любого атомного класса непусто. Это эквивалентно ^[3] утверждению, что является взвешенной суммой счетного числа мер Дирака, то есть существует последовательность точек в , и последовательность положительных действительных чисел (весов) такая, что , что означает, что для каждого . Мы можем выбрать каждую точку в качестве общей точки атомов в -ом атомном классе. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},...}$ ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$ ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Дискретная мера атомарна, но обратная импликация не выполняется: возьмем , -алгебру счетных и сосчетных подмножеств, в счетных подмножествах и в сосчетных подмножествах. Тогда есть один атомарный класс, образованный сосчетными подмножествами. Мера атомарна, но пересечение атомов в уникальном атомарном классе пусто и не может быть представлено как сумма мер Дирака. ${\displaystyle X=[0,1]}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Если каждый атом эквивалентен синглтону, то он дискретен тогда и только тогда, когда он атомарный. В этом случае вышеперечисленные являются атомарными синглтонами, поэтому они уникальны. Любая конечная мера в сепарабельном метрическом пространстве, снабженном борелевскими множествами, удовлетворяет этому условию. ^[4] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x_{k}}$

Неатомные меры

Мера, не имеющая атомов, называетсянеатомная мера илидиффузная мера . Другими словами, мераявляется неатомарной, если для любого измеримого множествассуществует измеримое подмножествотакое, что ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)>0}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \mu (A)>\mu (B)>0.}$$

Неатомарная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное число различных значений, поскольку, начиная с набора с одним, можно построить убывающую последовательность измеримых множеств, такую ​​что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)>0}$ $${\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$$ $${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.}$$

Это может быть не так для мер, имеющих атомы; см. первый пример выше.

Оказывается, что неатомарные меры на самом деле имеют континуум значений. Можно доказать, что если — неатомарная мера и — измеримое множество с то для любого действительного числа, удовлетворяющего , существует измеримое подмножество такое, что ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)>0,}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle \mu (A)\geq b\geq 0}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \mu (B)=b.}$$

Эта теорема принадлежит Вацлаву Серпинскому . ^{[5] [6]} Она напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Набросок доказательства теоремы Серпинского о неатомарных мерах. Немного более сильное утверждение, которое, однако, упрощает доказательство, состоит в том, что если — неатомарное мерное пространство и существует функция , монотонная относительно включения, и правая обратная к То есть существует однопараметрическое семейство измеримых множеств, такое что для всех Доказательство легко следует из леммы Цорна, примененной к множеству всех монотонных частичных сечений к  : упорядоченных по включению графов, Затем стандартно показать, что каждая цепь в имеет верхнюю границу в и что любой максимальный элемент из имеет область, доказывая утверждение. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)=c,}$ ${\displaystyle S:[0,c]\to \Sigma }$ ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,c].}$ ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq t'\leq c}$ $${\displaystyle S(t)\subseteq S(t'),}$$ $${\displaystyle \mu \left(S(t)\right)=t.}$$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,{\text{ for all }}t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},}$$ ${\displaystyle \mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ,}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle [0,c],}$

Смотрите также

• Атом (теория порядка) — аналогичное понятие в теории порядка
• Дельта-функция Дирака
• Элементарное событие , также известное как атомарное событие

Примечания

1. Кадеты 2018, стр. 43, 45–46.
2. «Анализ — Счётное разбиение на атомы».
3. «Почему дискретная атомарная мера должна допускать разложение на меры Дирака? Более того, что такое «атомарный класс»?».
4. Кадеты 2018, стр. 45.
5. Серпинский, В. (1922). «Sur les fonctions d'ensemble adds et continue» (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на французском языке). 3 : 240–246. дои : 10.4064/fm-3-1-240-246.
6. Fryszkowski, Andrzej (2005). Теория неподвижных точек для разложимых множеств (топологическая теория неподвижных точек и ее приложения) . Нью-Йорк: Springer. стр. 39. ISBN 1-4020-2498-3.

Ссылки

• Брукнер, Эндрю М.; Брукнер, Джудит Б.; Томсон, Брайан С. (1997). Реальный анализ . Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice-Hall. стр. 108. ISBN 0-13-458886-X.
• Бутнариу, Дэн; Клемент, Э.П. (1993). Треугольные меры на основе норм и игры с нечеткими коалициями . Дордрехт: Kluwer Academic. стр. 87. ISBN 0-7923-2369-6.
• Кадец, Владимир (2018). «Курс функционального анализа и теории меры». Universitext . doi :10.1007/978-3-319-92004-7. ISSN  0172-5939.

Внешние ссылки

• Атом в Энциклопедии математики