Теорема о запрете клонирования

Теорема в квантовой информатике

В физике теорема о запрете клонирования утверждает, что невозможно создать независимую и идентичную копию произвольного неизвестного квантового состояния , утверждение, которое имеет глубокие последствия в области квантовых вычислений, среди прочего. Теорема является развитием теоремы о запрете 1970 года, автором которой является Джеймс Парк ^[1], в которой он демонстрирует, что невозмущающая схема измерения, которая является одновременно простой и совершенной, не может существовать (тот же результат был независимо получен в 1982 году Уильямом Вуттерсом и Войцехом Х. Зуреком ^[2], а также Деннисом Диксом ^[3] в том же году). Вышеупомянутые теоремы не исключают того, что состояние одной системы становится запутанным с состоянием другой, поскольку клонирование конкретно относится к созданию разделимого состояния с идентичными факторами. Например, можно использовать управляемый вентиль НЕ и вентиль Уолша-Адамара, чтобы запутать два кубита , не нарушая теорему о запрете клонирования, поскольку никакое четко определенное состояние не может быть определено в терминах подсистемы запутанного состояния. Теорема о запрете клонирования (как она обычно понимается) касается только чистых состояний , тогда как обобщенное утверждение относительно смешанных состояний известно как теорема о запрете вещания .

Теорема о запрете клонирования имеет обращенную во времени дуальную теорему о запрете удаления . Вместе они лежат в основе интерпретации квантовой механики в терминах теории категорий и, в частности, как компактной категории кинжала . ^{[4] [5]} Эта формулировка, известная как категорическая квантовая механика , позволяет, в свою очередь, установить связь между квантовой механикой и линейной логикой как логикой квантовой теории информации (в том же смысле, в котором интуиционистская логика возникает из картезианских замкнутых категорий ).

История

По словам Эшера Переса ^[6] и Дэвида Кайзера ^[7], публикация доказательства теоремы о неклонировании 1982 года Вуттерса и Зурека [ ^2] и Дикса ^[3] была вызвана предложением Ника Герберта ^[8] о сверхсветовом коммуникационном устройстве с использованием квантовой запутанности, а Джанкарло Жирарди ^[9] доказал теорему за 18 месяцев до опубликованного доказательства Вуттерса и Зурека в своем рецензируемом отчете к указанному предложению (о чем свидетельствует письмо редактора ^[9] ). Однако Хуан Ортигосо ^[10] указал в 2018 году, что полное доказательство вместе с интерпретацией в терминах отсутствия простых невозмущающих измерений в квантовой механике уже было предоставлено Парком в 1970 году. ^[1]

Теорема и доказательство

Предположим, у нас есть две квантовые системы A и B с общим гильбертовым пространством . Предположим, мы хотим иметь процедуру копирования состояния квантовой системы A , над состоянием квантовой системы B , для любого исходного состояния (см. обозначение скобок ). То есть, начиная с состояния , мы хотим закончить состоянием . Чтобы сделать «копию» состояния A , мы объединяем его с системой B в некотором неизвестном начальном или пустом состоянии, независимом от , о котором у нас нет никаких предварительных знаний. ${\displaystyle H=H_{A}=H_{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$ ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$

Состояние исходной составной системы затем описывается следующим тензорным произведением : (далее мы будем опускать этот символ и сохранять его неявным). $${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}.}$$ ${\displaystyle \otimes }$

Существует только две допустимые квантовые операции , с помощью которых мы можем манипулировать составной системой:

• Мы можем выполнить наблюдение , которое необратимо коллапсирует систему в некоторое собственное состояние наблюдаемого , искажая информацию, содержащуюся в кубите(ах) . Это, очевидно, не то, что мы хотим.
• В качестве альтернативы мы могли бы контролировать гамильтониан комбинированной системы и, таким образом, оператор эволюции во времени U ( t ) , например, для гамильтониана, не зависящего от времени, . Эволюция до некоторого фиксированного времени дает унитарный оператор U на , гильбертовом пространстве комбинированной системы. Однако ни один такой унитарный оператор U не может клонировать все состояния. ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle H\otimes H}$

Теорема о запрете клонирования дает отрицательный ответ на следующий вопрос: возможно ли построить унитарный оператор U , действующий на , при котором состояние, в котором находится система B, всегда переходит в состояние, в котором находится система A, независимо от состояния, в котором находится система A? ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H}$

Теорема  —  Не существует унитарного оператора U на таком, что для всех нормализованных состояний и в для некоторого действительного числа, зависящего от и . ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle U(|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B})=e^{i\alpha (\phi ,e)}|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle e}$

Дополнительный фазовый множитель выражает тот факт, что квантово-механическое состояние определяет нормализованный вектор в гильбертовом пространстве только с точностью до фазового множителя, т.е. как элемент проективизированного гильбертова пространства .

Для доказательства теоремы выберем произвольную пару состояний и в гильбертовом пространстве . Поскольку предполагается, что U унитарно, мы имеем Поскольку предполагается, что квантовое состояние нормализовано, мы получаем ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle \langle e|e\rangle \equiv \langle \phi |_{A}\langle e|_{B}|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{A}\langle e|_{B}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |_{A}\langle \phi |_{B}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}\equiv e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.}$$ ${\displaystyle |e\rangle }$ $${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |^{2}=|\langle \phi |\psi \rangle |.}$$

Это подразумевает, что либо , либо . Следовательно, по неравенству Коши–Шварца либо , либо ортогональны . Однако это не может быть так для двух произвольных состояний. Следовательно, одно универсальное U не может клонировать общее квантовое состояние. Это доказывает теорему о запрете клонирования . ${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=1}$ ${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=0}$ ${\displaystyle |\phi \rangle =e^{i\beta }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Возьмем, к примеру, кубит. Он может быть представлен двумя комплексными числами , называемыми амплитудами вероятности ( нормализованными к 1 ), то есть тремя действительными числами (двумя полярными углами и одним радиусом). Копирование трех чисел на классическом компьютере с использованием любой операции копирования и вставки является тривиальным (до конечной точности), но проблема проявляется, если кубит унитарно преобразован (например, квантовым вентилем Адамара ) для поляризации (это унитарное преобразование является сюръективной изометрией ). В таком случае кубит может быть представлен всего двумя действительными числами (одним полярным углом и одним радиусом, равным 1), в то время как значение третьего может быть произвольным в таком представлении. Тем не менее, реализация кубита (например, поляризационно-кодированный фотон) способна хранить всю информационную поддержку кубита в своей «структуре». Таким образом, никакая единственная универсальная унитарная эволюция U не может клонировать произвольное квантовое состояние согласно теореме о неклонировании. Он должен был бы зависеть от преобразованного (начального) состояния кубита и, таким образом, не был бы универсальным .

Обобщение

В формулировке теоремы были сделаны два предположения: копируемое состояние является чистым состоянием , а предлагаемый копировщик действует посредством унитарной эволюции во времени. Эти предположения не приводят к потере общности. Если копируемое состояние является смешанным состоянием , его можно «очистить », т. е. рассматривать как чистое состояние более крупной системы. В качестве альтернативы можно привести другое доказательство, которое работает напрямую со смешанными состояниями; в этом случае теорему часто называют теоремой о нераспространении. ^{[11] [12]} Аналогично произвольная квантовая операция может быть реализована посредством введения вспомогательного состояния и выполнения подходящей унитарной эволюции. ^{[ необходимо разъяснение ]} Таким образом, теорема о нераспространении верна в полной общности.

Для расширений квантовых компьютеров теорема о запрете клонирования остается справедливой при использовании постселекции или двусторонних квантовых компьютеров. ^[13] Однако утверждается, что добавление замкнутой времениподобной кривой позволяет клонировать квантовое состояние. ^[14]

Последствия

• Теорема о запрете клонирования препятствует использованию некоторых классических методов исправления ошибок в квантовых состояниях. Например, резервные копии состояния в середине квантового вычисления не могут быть созданы и использованы для исправления последующих ошибок. Исправление ошибок жизненно важно для практических квантовых вычислений, и некоторое время было неясно, возможно ли это. В 1995 году Шор и Стин показали, что возможно, независимо друг от друга разработав первые квантовые коды исправления ошибок , которые обходят теорему о запрете клонирования.
• Аналогично, клонирование нарушило бы теорему о нетелепортации , которая гласит, что невозможно преобразовать квантовое состояние в последовательность классических битов (даже бесконечную последовательность битов), скопировать эти биты в какое-то новое место и воссоздать копию исходного квантового состояния в новом месте. Это не следует путать с телепортацией с помощью запутывания , которая позволяет разрушить квантовое состояние в одном месте и воссоздать его точную копию в другом месте.
• Теорема о неклонировании вытекает из теоремы о некоммуникации , которая гласит, что квантовая запутанность не может использоваться для передачи классической информации (будь то сверхсветовая или более медленная). То есть клонирование вместе с запутанностью позволило бы осуществить такую ​​коммуникацию. Чтобы увидеть это, рассмотрим мысленный эксперимент ЭПР и предположим, что квантовые состояния могут быть клонированы. Предположим, что части максимально запутанного состояния Белла распределены между Алисой и Бобом. Алиса может отправлять биты Бобу следующим образом: если Алиса хочет передать «0», она измеряет спин своего электрона в направлении z , сжимая состояние Боба до или . Чтобы передать «1», Алиса ничего не делает со своим кубитом. Боб создает много копий состояния своего электрона и измеряет спин каждой копии в направлении z . Боб узнает, что Алиса передала «0», если все его измерения дадут одинаковый результат; в противном случае его измерения будут иметь результаты или с равной вероятностью. Это позволило бы Алисе и Бобу обмениваться классическими битами друг с другом (возможно, через пространственно-подобные разделения, нарушая причинность ). ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$
• Квантовые состояния не могут быть полностью различимы. ^[15]
• Теорема о неклонировании препятствует интерпретации голографического принципа для черных дыр как означающего, что существуют две копии информации, одна из которых лежит на горизонте событий , а другая — внутри черной дыры. Это приводит к более радикальным интерпретациям, таким как комплементарность черных дыр .
• Теорема о неклонировании применима ко всем компактным категориям кинжалов : не существует универсального клонирующего морфизма для любой нетривиальной категории такого рода. ^[16] Хотя теорема неотъемлемо присуща определению этой категории, нетривиально увидеть, что это так; понимание важно, поскольку эта категория включает в себя вещи, которые не являются конечномерными гильбертовыми пространствами, включая категорию множеств и отношений и категорию кобордизмов .

Несовершенное клонирование

Несмотря на то, что невозможно сделать идеальные копии неизвестного квантового состояния, возможно создание несовершенных копий. Это можно сделать, связав большую вспомогательную систему с системой, которая должна быть клонирована, и применив унитарное преобразование к объединенной системе. Если унитарное преобразование выбрано правильно, несколько компонентов объединенной системы будут эволюционировать в приблизительные копии исходной системы. В 1996 году В. Бузек и М. Хиллери показали, что универсальная клонирующая машина может сделать клон неизвестного состояния с удивительно высокой точностью 5/6. ^[17]

Несовершенное квантовое клонирование может использоваться в качестве атаки на протоколы квантовой криптографии , а также для других целей в квантовой информатике.

Смотрите также

• Группа фундаментальной физики
• Моногамия запутанности
• Теорема о не-трансляции
• Теорема об отсутствии связи
• Теорема о невозможности удаления
• Теорема о несокрытии
• Квантовая запутанность
• Квантовое клонирование
• Квантовая информация
• Квантовая телепортация
• Более сильные соотношения неопределенности
• Принцип неопределенности

Ссылки

1. Park, James (1970). «Концепция перехода в квантовой механике». Foundations of Physics . 1 (1): 23–33. Bibcode :1970FoPh....1...23P. CiteSeerX  10.1.1.623.5267 . doi :10.1007/BF00708652. S2CID  55890485.
2. Wootters, William; Zurek, Wojciech (1982). «Отдельный квант не может быть клонирован». Nature . 299 (5886): 802–803. Bibcode :1982Natur.299..802W. doi :10.1038/299802a0. S2CID  4339227.
3. Дикс, Деннис (1982). «Связь посредством устройств ЭПР». Буквы по физике А. 92 (6): 271–272. Бибкод : 1982PhLA...92..271D. CiteSeerX 10.1.1.654.7183 . дои : 10.1016/0375-9601(82)90084-6. hdl : 1874/16932. 
4. Баез, Джон; Стэй, Майк (2010). «Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень» (PDF) . Новые структуры для физики . Берлин: Springer. стр. 95–172. ISBN 978-3-642-12821-9.
5. Coecke, Bob (2009). «Квантовый изобразительный мир». Contemporary Physics . 51 : 59–83. arXiv : 0908.1787 . doi : 10.1080/00107510903257624. S2CID  752173.
6. Перес, Эшер (2003). «Как теорема о запрете клонирования получила свое название». Fortschritte der Physik . 51 (45): 458–461. arXiv : quant-ph/0205076 . Bibcode : 2003ForPh..51..458P. doi : 10.1002/prop.200310062. S2CID  16588882.
7. Кайзер, Дэвид (2011). Как хиппи спасли физику: наука, контркультура и квантовое возрождение . WW Norton . ISBN 978-0-393-07636-3.
8. Герберт, Ник (1982). «FLASH — сверхсветовой коммуникатор, основанный на новом виде квантового измерения». Основы физики . 12 (12): 1171–1179. Bibcode : 1982FoPh...12.1171H. doi : 10.1007/BF00729622. S2CID  123118337.
9. Ghirardi, GianCarlo (2013), «Запутанность, нелокальность, сверхсветовая передача сигналов и клонирование», в Bracken, Paul (ред.), Advances in Quantum Mechanics , IntechOpen (опубликовано 3 апреля 2013 г.), arXiv : 1305.2305 , doi : 10.5772/56429, ISBN 978-953-51-1089-7, S2CID  118778014
10. Ортигосо, Хуан (2018). «Двенадцать лет до теоремы о квантовом запрете клонирования». American Journal of Physics . 86 (3): 201–205. arXiv : 1707.06910 . Bibcode : 2018AmJPh..86..201O. doi : 10.1119/1.5021356. S2CID  119192142.
11. Барнум, Ховард; Кейвс, Карлтон М.; Фукс, Кристофер А.; Йожа, Ричард; Шумахер, Бенджамин (1996-04-08). «Некоммутирующие смешанные состояния не могут быть широковещательными». Physical Review Letters . 76 (15): 2818–2821. arXiv : quant-ph/9511010 . Bibcode : 1996PhRvL..76.2818B. doi : 10.1103/PhysRevLett.76.2818. PMID  10060796. S2CID  11724387.
12. Калев, Амир; Хен, Итай (29.05.2008). «Теорема о нетрансляции и ее классический аналог». Physical Review Letters . 100 (21): 210502. arXiv : 0704.1754 . Bibcode : 2008PhRvL.100u0502K. doi : 10.1103/PhysRevLett.100.210502. PMID  18518590. S2CID  40349990.
13. Нур, Мах; Дуда, Ярек (2024). «Теорема о неклонировании для 2WQC и постселекции». arXiv : 2407.15623 [quant-ph].
14. Ан, Дойол; Майерс, Кейси; Ральф, Тимоти; Манн, Роберт (2013). «Клонирование квантового состояния в присутствии замкнутой времениподобной кривой». Physical Review A. 88 ( 2). arXiv : 1207.6062 . doi : 10.1103/PhysRevA.88.022332.
15. Bae, Joonwoo; Kwek, Leong-Chuan (2015-02-27). "Дискриминация квантовых состояний и ее приложения". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 48 (8): 083001. arXiv : 1707.02571 . Bibcode :2015JPhA...48h3001B. doi :10.1088/1751-8113/48/8/083001. ISSN  1751-8113. S2CID  119199057.
16. С. Абрамски, «Отсутствие клонирования в категориальной квантовой механике», (2008) Семантические методы квантовых вычислений , И. Маки и С. Гей (редакторы), Cambridge University Press. arXiv :0910.2401
17. Бужек, В.; Хиллери, М. (1996). «Квантовое копирование: за пределами теоремы о неклонировании». Phys. Rev. A. 54 ( 3): 1844–1852. arXiv : quant-ph/9607018 . Bibcode : 1996PhRvA..54.1844B. doi : 10.1103/PhysRevA.54.1844. PMID  9913670. S2CID  1446565.

Другие источники

• В. Бузек и М. Хиллери, Квантовое клонирование , Physics World 14 (11) (2001), стр. 25–29.