Вырожденная билинейная форма

В математике , особенно в линейной алгебре , вырожденная билинейная форма f  ( x , y  ) в векторном пространстве V — это билинейная форма такая, что отображение из V в V ^∗ ( двойственное пространство к V  ), заданное формулой v ↦ ( x ↦ f  ( x ,  v  )) не является изоморфизмом . Эквивалентное определение, когда V конечномерно, состоит в том, что оно имеет нетривиальное ядро: в V существует такой ненулевой x , что

${\displaystyle f(x,y)=0\,}$для всех ${\displaystyle \,y\in V.}$

Невырожденные формы

Невырожденная или неособая форма — это билинейная форма , которая не является вырожденной, что означает, что она является изоморфизмом или, что то же самое, в конечных измерениях, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(x,y)=0}$ибо все подразумевает, что . ${\displaystyle y\in V}$ ${\displaystyle x=0}$

Наиболее важными примерами невырожденных форм являются скалярные произведения и симплектические формы . Симметричные невырожденные формы являются важным обобщением скалярных произведений, поскольку часто все, что требуется, — это чтобы отображение было изоморфизмом, а не положительностью. Например, многообразие со структурой внутреннего произведения на его касательных пространствах является римановым многообразием , а расслабление его до симметричной невырожденной формы дает псевдориманово многообразие . ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Используя определитель

Если V конечномерно, то относительно некоторого базиса для V билинейная форма вырождена тогда и только тогда, когда определитель соответствующей матрицы равен нулю - тогда и только если матрица сингулярна , и, соответственно, вырожденные формы также называются сингулярными. формы . Аналогично, невырожденная форма — это форма, для которой соответствующая матрица невырождена , и, соответственно, невырожденные формы также называются неособыми формами . Эти утверждения не зависят от выбранного базиса.

Связанные понятия

Если для квадратичной формы Q существует ненулевой вектор v ∈ V такой, что Q ( v ) = 0, то Q — изотропная квадратичная форма . Если Q имеет один и тот же знак для всех ненулевых векторов, это определенная квадратичная форма или анизотропная квадратичная форма .

Существует тесно связанное понятие унимодулярной формы и идеального спаривания ; они согласуются по полям , но не по общим кольцам .

Примеры

Изучение действительных квадратичных алгебр показывает различие между типами квадратичных форм. Произведение zz * представляет собой квадратичную форму для каждого из комплексных чисел , расщепленных комплексных чисел и двойственных чисел . Для z = x + ε y двойственная форма числа равна x ² , которая является вырожденной квадратичной формой . Случай расщепленного комплекса представляет собой изотропную форму, а комплексный случай — определенную форму.

Наиболее важными примерами невырожденных форм являются скалярные произведения и симплектические формы. Симметричные невырожденные формы являются важным обобщением скалярных произведений, поскольку часто все, что требуется, — это чтобы отображение было изоморфизмом, а не положительностью. Например, многообразие со структурой внутреннего произведения в касательных пространствах является римановым многообразием, а его релаксация до симметричной невырожденной формы дает псевдориманово многообразие. ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Бесконечные размеры

Обратите внимание, что в бесконечномерном пространстве мы можем иметь билинейную форму ƒ, для которой инъективна , но не сюръективна . Например, в пространстве непрерывных функций на замкнутом ограниченном интервале форма ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=\int \psi (x)\phi (x)\,dx}$

не является сюръективным: например, дельта-функционал Дирака находится в дуальном пространстве, но не имеет требуемого вида. С другой стороны, эта билинейная форма удовлетворяет

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=0}$для всех подразумевает, что ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi =0.\,}$

В таком случае, когда ƒ удовлетворяет инъективности (но не обязательно сюръективности), ƒ называется слабо невырожденным .

Терминология

Если f тождественно обращается в нуль на всех векторах, то говорят, что оно полностью вырождено . Для любой билинейной формы f на V множество векторов

${\displaystyle \{x\in V\mid f(x,y)=0{\mbox{ for all }}y\in V\}}$

образует вполне вырожденное подпространство V . Отображение f невырождено тогда и только тогда, когда это подпространство тривиально.

Геометрически изотропная линия квадратичной формы соответствует точке соответствующей квадричной гиперповерхности в проективном пространстве . Такая линия дополнительно изотропна для билинейной формы тогда и только тогда, когда соответствующая точка является особенностью . Следовательно, над алгебраически замкнутым полем Nullstellensatz Гильберта гарантирует, что квадратичная форма всегда имеет изотропные линии, в то время как билинейная форма имеет их тогда и только тогда, когда поверхность сингулярна.

Смотрите также

• Двойная система
• Линейная форма  - Линейная карта векторного пространства в его поле скаляров.

Рекомендации