В топологии топологическое пространство с тривиальной топологией — это пространство, в котором единственными открытыми множествами являются пустое множество и всё пространство. Такие пространства обычно называют индискретными , антидискретными , конкретными или кодискретными . Интуитивно это приводит к тому, что все точки пространства «свалены в кучу» и не могут быть различены топологическими средствами. Каждое индискретное пространство является псевдометрическим пространством , в котором расстояние между любыми двумя точками равно нулю .
Подробности
Тривиальная топология — это топология с наименьшим возможным числом открытых множеств , а именно пустым множеством и всем пространством, поскольку определение топологии требует, чтобы эти два множества были открытыми. Несмотря на свою простоту, пространство X с более чем одним элементом и тривиальной топологией не имеет ключевого желательного свойства: оно не является пространством T 0 .
Другие свойства дискретного пространства X , многие из которых весьма необычны, включают в себя:
- Единственными замкнутыми множествами являются пустое множество и X.
- Единственно возможным основанием X является { X }.
- Если X имеет более одной точки, то, поскольку это не T 0 , оно также не удовлетворяет ни одной из высших аксиом T. В частности, это не хаусдорфово пространство . Не будучи хаусдорфовым, X не является топологией порядка и не метризуемо .
- Однако X является регулярным , полностью регулярным , нормальным и полностью нормальным ; однако все это довольно бессмысленно, поскольку единственными замкнутыми множествами являются ∅ и X.
- X компактен и , следовательно, паракомпактен , линделёфов и локально компактен .
- Каждая функция , областью определения которой является топологическое пространство, а областью определения X, является непрерывной .
- X является путево-связным и, следовательно, связным .
- X является счетно-второстепенным , а значит, счетно-второстепенным , сепарабельным и линделёфовым .
- Все подпространства X имеют тривиальную топологию .
- Все факторпространства X имеют тривиальную топологию
- Произвольные произведения тривиальных топологических пространств, имеющие либо топологию произведения , либо топологию ящика , имеют тривиальную топологию.
- Все последовательности в X сходятся к каждой точке X. В частности, каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность (всю последовательность или любую другую подпоследовательность), поэтому X является последовательно компактным .
- Внутренность каждого множества, кроме X , пуста.
- Замыкание каждого непустого подмножества X есть X. Другими словами: каждое непустое подмножество X является плотным , свойство, характеризующее тривиальные топологические пространства.
- В результате этого замыкание каждого открытого подмножества U множества X равно либо ∅ (если U = ∅), либо X (в противном случае). В частности, замыкание каждого открытого подмножества X снова является открытым множеством, и поэтому X экстремально несвязно .
- Если S — любое подмножество X с более чем одним элементом, то все элементы X являются предельными точками S. Если S — синглтон , то каждая точка X \ S по-прежнему является предельной точкой S.
- X — пространство Бэра .
- Два топологических пространства, несущие тривиальную топологию, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую мощность .
В некотором смысле противоположностью тривиальной топологии является дискретная топология , в которой каждое подмножество открыто.
Тривиальная топология принадлежит однородному пространству , в котором все декартово произведение X × X является единственным окружением .
Пусть Top — категория топологических пространств с непрерывными отображениями, а Set — категория множеств с функциями. Если G : Top → Set — функтор , который сопоставляет каждому топологическому пространству его базовое множество (так называемый забывающий функтор ), а H : Set → Top — функтор, который накладывает тривиальную топологию на заданное множество, то H (так называемый косвободный функтор ) является правым сопряженным к G . (Так называемый свободный функтор F : Set → Top , который накладывает дискретную топологию на заданное множество, является левым сопряженным к G .) [1] [2]
Смотрите также
Примечания
- ↑ Киган Смит, «Сопряженные функторы в алгебре, топологии и математической логике», 8 августа 2008 г., стр. 13.
- ^ свободный функтор в nLab
Ссылки
