Нейтральная ось

Балка с нейтральной осью (x).

Нейтральная ось — ось в поперечном сечении балки ( элемента, сопротивляющегося изгибу) или вала, вдоль которой отсутствуют продольные напряжения и деформации.

Теория

Если сечение симметрично, изотропно и не искривлено до возникновения изгиба, то нейтральная ось находится в геометрическом центре тяжести балки или вала. Все волокна по одну сторону нейтральной оси находятся в состоянии растяжения , в то время как по другую сторону находятся в состоянии сжатия .

Поскольку балка подвергается равномерному изгибу, плоскость на балке остается плоской. То есть:

${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{zx}=\tau _{xy}=\tau _{xz}=0}$

Где - деформация сдвига , а - напряжение сдвига ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \tau }$

В верхней части балки есть сжимающая (отрицательная) деформация, а в нижней части балки — растягивающая (положительная). Поэтому по теореме о промежуточном значении должна быть некоторая точка между верхом и низом, в которой нет деформации, поскольку деформация в балке является непрерывной функцией .

Пусть L — исходная длина балки ( пролет ),
ε(y) — деформация как функция координаты на лицевой стороне балки.
σ(y) — напряжение как функция координаты на лицевой стороне балки.
ρ — радиус кривизны балки на ее нейтральной оси.
θ — угол изгиба .

Поскольку изгиб равномерный и чистый, то на расстоянии y от нейтральной оси существует свойство отсутствия деформации:

${\displaystyle \epsilon _{x}(y)={\frac {L(y)-L}{L}}={\frac {\theta \,(\rho \,-y)-\theta \rho \,}{\theta \rho \,}}={\frac {-y\theta }{\rho \theta }}={\frac {-y}{\rho }}}$

Поэтому продольная нормальная деформация изменяется линейно с расстоянием y от нейтральной поверхности. Обозначая как максимальную деформацию в балке (на расстоянии c от нейтральной оси), становится ясно, что: ${\displaystyle \epsilon _{x}}$ ${\displaystyle \epsilon _{m}}$

${\displaystyle \epsilon _{m}={\frac {c}{\rho }}}$

Следовательно, мы можем решить уравнение относительно ρ и найти, что:

${\displaystyle \rho ={\frac {c}{\epsilon _{m}}}}$

Подставляя это обратно в исходное выражение, мы обнаруживаем, что:

${\displaystyle \epsilon _{x}(y)={\frac {-\epsilon _{m}y}{c}}}$

Согласно закону Гука , напряжение в балке пропорционально деформации E, модулю упругости :

${\displaystyle \sigma _{x}=E\epsilon _{x}\,}$

Поэтому:

${\displaystyle E\epsilon _{x}(y)={\frac {-E\epsilon _{m}y}{c}}}$

${\displaystyle \sigma _{x}(y)={\frac {-\sigma _{m}y}{c}}}$

Из статики момент (т.е. чистый изгиб ) состоит из равных и противоположных сил. Поэтому общая величина силы в поперечном сечении должна быть равна 0.

${\displaystyle \int \sigma _{x}dA=0}$

Поэтому:

${\displaystyle \int {\frac {-\sigma _{m}y}{c}}dA=0}$

Поскольку y обозначает расстояние от нейтральной оси до любой точки на грани, это единственная переменная, которая изменяется относительно dA. Следовательно:

${\displaystyle \int ydA=0}$

Поэтому первый момент поперечного сечения относительно его нейтральной оси должен быть равен нулю. Поэтому нейтральная ось лежит в центре тяжести поперечного сечения.

Обратите внимание, что нейтральная ось не меняет своей длины при изгибе. Сначала это может показаться нелогичным, но это потому, что в нейтральной оси нет изгибающих напряжений. Однако в нейтральной оси есть касательные напряжения (τ), равные нулю в середине пролета, но увеличивающиеся по направлению к опорам, как можно увидеть в этой функции (формула Журавского);

${\displaystyle \tau ={\frac {TQ}{wI}}}$

где
T = поперечная сила
Q = первый момент площади сечения выше/ниже нейтральной оси
w = ширина балки
I = второй момент площади сечения балки

Это определение подходит для так называемых длинных балок, т.е. их длина значительно больше двух других измерений.

Арки

Арки также имеют нейтральную ось, если они сделаны из камня; камень - неэластичная среда и имеет небольшую прочность на растяжение. Поэтому при изменении нагрузки на арку нейтральная ось перемещается - если нейтральная ось покидает каменную кладку, то арка разрушится.

Эта теория (также известная как метод линии тяги ) была предложена Томасом Янгом и развита Изамбардом Кингдомом Брюнелем .

Практические применения

Строительные рабочие должны иметь хотя бы базовое понимание концепции нейтральной оси, чтобы избежать вырезания отверстий для прокладки проводов, труб или воздуховодов в местах, которые могут подвергнуть риску прочность структурных элементов здания. Строительные нормы обычно определяют правила и рекомендации, которые могут соблюдаться при выполнении обычных работ, но в особых ситуациях и проектах могут потребоваться услуги инженера-строителя для обеспечения безопасности. ^{[1] [2]}

Смотрите также

• Нейтральная плоскость
• Второй момент инерции

Ссылки

1. "Цифровые коды". Коды ICC . International Code Council, Inc. Получено 2023-02-10 .
2. Йе, Борьен; Херцог, Бенджамин. «Влияние отверстий на структурные возможности клееного шпона» (PDF) . APA Wood . APA – The Engineered Wood Association . Получено 2023-02-10 .