Нелинейная реализация

В математической физике нелинейная реализация группы Ли G, обладающей подгруппой Картана H, является частным индуцированным представлением G. Фактически, это представление алгебры Ли группы G в окрестности ее начала. Нелинейная реализация, ограниченная подгруппой H , сводится к линейному представлению. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Метод нелинейной реализации является неотъемлемой частью многих теорий поля со спонтанным нарушением симметрии , например, киральных моделей , нарушения киральной симметрии , теории бозонов Голдстоуна , классической теории поля Хиггса , калибровочной теории гравитации и супергравитации .

Пусть G — группа Ли, а H — ее подгруппа Картана, которая допускает линейное представление в векторном пространстве V. Алгебра Ли группы G распадается на сумму подалгебры Картана группы H и ее дополнения , так что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {f}},{\mathfrak {f}}]\subset {\mathfrak {h}},\qquad [{\mathfrak {f}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {f}}.}$

(В физике, например, сводятся к векторным генераторам и к аксиальным.) ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$

Существует открытая окрестность U единицы группы G такая, что любой элемент однозначно приводится к виду ${\displaystyle g\in U}$

${\displaystyle g=\exp(F)\exp(I),\qquad F\in {\mathfrak {f}},\qquad I\in {\mathfrak {h}}.}$

Пусть — открытая окрестность единицы группы G такая, что , и пусть — открытая окрестность H -инвариантного центра фактора G/H, состоящего из элементов ${\displaystyle U_{G}}$ ${\displaystyle U_{G}^{2}\subset U}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \sigma =g\sigma _{0}=\exp(F)\sigma _{0},\qquad g\in U_{G}.}$

Затем идет локальный раздел площадью более . ${\displaystyle s(g\sigma _{0})=\exp(F)}$ ${\displaystyle G\to G/H}$ ${\displaystyle U_{0}}$

С помощью этого локального сечения можно определить индуцированное представление , называемое нелинейной реализацией , элементов, заданных выражениями ${\displaystyle g\in U_{G}\subset G}$ ${\displaystyle U_{0}\times V}$

${\displaystyle g\exp(F)=\exp(F')\exp(I'),\qquad g:(\exp(F)\sigma _{0},v)\to (\exp(F')\sigma _{0},\exp(I')v).}$

Соответствующая нелинейная реализация алгебры Ли группы G имеет следующий вид. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Пусть , являются базисами для и , соответственно, вместе с коммутационными соотношениями ${\displaystyle \{F_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{I_{a}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle [I_{a},I_{b}]=c_{ab}^{d}I_{d},\qquad [F_{\alpha },F_{\beta }]=c_{\alpha \beta }^{d}I_{d},\qquad [F_{\alpha },I_{b}]=c_{\alpha b}^{\beta }F_{\beta }.}$

Тогда желаемая нелинейная реализация в читается как ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\times V}$

${\displaystyle F_{\alpha }:(\sigma ^{\gamma }F_{\gamma },v)\to (F_{\alpha }(\sigma ^{\gamma })F_{\gamma },F_{\alpha }(v)),\qquad I_{a}:(\sigma ^{\gamma }F_{\gamma },v)\to (I_{a}(\sigma ^{\gamma })F_{\gamma },I_{a}v),}$,

${\displaystyle F_{\alpha }(\sigma ^{\gamma })=\delta _{\alpha }^{\gamma }+{\frac {1}{12}}(c_{\alpha \mu }^{\beta }c_{\beta \nu }^{\gamma }-3c_{\alpha \mu }^{b}c_{\nu b}^{\gamma })\sigma ^{\mu }\sigma ^{\nu },\qquad I_{a}(\sigma ^{\gamma })=c_{a\nu }^{\gamma }\sigma ^{\nu },}$

до второго порядка по . ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$

В физических моделях коэффициенты рассматриваются как поля Голдстоуна . Аналогично рассматриваются нелинейные реализации супералгебр Ли . ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$

Смотрите также

• Индуцированное представление
• Хиральная модель

Ссылки

• Coleman, S.; Wess, J.; Zumino, Bruno (1969-01-25). «Структура феноменологических лагранжианов. I». Physical Review . 177 (5). Американское физическое общество (APS): 2239–2247. Bibcode : 1969PhRv..177.2239C. doi : 10.1103/physrev.177.2239. ISSN  0031-899X.
• Джозеф, А.; Соломон, А.И. (1970). «Глобальные и бесконечно малые нелинейные киральные преобразования». Журнал математической физики . 11 (3). Издательство AIP: 748–761. Bibcode : 1970JMP....11..748J. doi : 10.1063/1.1665205. ISSN  0022-2488.
• Джакетта Г., Манджиаротти Л., Сарданашвили Г. , Усовершенствованная классическая теория поля , World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 .