В обработке сигналов нелинейный (или нелинейный ) фильтр — это фильтр , выходной сигнал которого не является линейной функцией его входного сигнала. То есть, если фильтр выводит сигналы R и S для двух входных сигналов r и s отдельно, но не всегда выводит αR + βS , когда вход представляет собой линейную комбинацию αr + βs .
Фильтры как в непрерывной, так и в дискретной области могут быть нелинейными. Простым примером первого может быть электрическое устройство, выходное напряжение которого R ( t ) в любой момент является квадратом входного напряжения r ( t ); или какой вход ограничен фиксированным диапазоном [ a , b ], а именно R ( t ) = max( a , min( b , r ( t ))). Важным примером последнего является фильтр текущей медианы , такой, что каждая выходная выборка R i является медианой последних трех входных выборок r i , r i -1 , r i -2 . Как и линейные фильтры, нелинейные фильтры могут быть инвариантными к сдвигу или нет.
Нелинейные фильтры имеют множество применений, особенно при удалении определенных типов шума , которые не являются аддитивными . Например, медианный фильтр широко используется для удаления пикового шума, который влияет только на небольшой процент выборок, возможно, на очень большую величину. Действительно, все радиоприемники используют нелинейные фильтры для преобразования сигналов от килогерц до гигагерц в звуковой диапазон частот; Вся обработка цифровых сигналов зависит от нелинейных фильтров ( аналогово-цифровых преобразователей ) для преобразования аналоговых сигналов в двоичные числа .
Однако нелинейные фильтры значительно сложнее использовать и проектировать, чем линейные, поскольку на них нельзя использовать самые мощные математические инструменты анализа сигналов (такие как импульсная характеристика и частотная характеристика ). Так, например, линейные фильтры часто используются для удаления шума и искажений, создаваемых нелинейными процессами, просто потому, что правильный нелинейный фильтр было бы слишком сложно спроектировать и изготовить.
Из вышеизложенного мы можем знать, что нелинейные фильтры ведут себя совершенно иначе, чем линейные. Наиболее важной характеристикой является то, что для нелинейных фильтров выходной сигнал или отклик фильтра не подчиняются принципам, изложенным ранее, в частности, инвариантности к масштабированию и сдвигу. Более того, нелинейный фильтр может давать результаты, которые изменяются неинтуитивно.
Несколько принципов определяют линейную систему . Основное определение линейности заключается в том, что выходной сигнал должен быть линейной функцией входных данных, то есть
для любых скалярных значений и . Это фундаментальное свойство проектирования линейных систем, известное как суперпозиция. Итак, система называется нелинейной, если это уравнение неверно. То есть, когда система линейна, можно применить принцип суперпозиции. Этот важный факт является причиной того, что методы анализа линейных систем получили такое хорошее развитие.
Сигналы часто повреждаются во время передачи или обработки; Частой целью при проектировании фильтров является восстановление исходного сигнала, процесс, обычно называемый «удалением шума». Самый простой тип искажения — это аддитивный шум, когда полезный сигнал S добавляется к нежелательному сигналу N , который не имеет известной связи с S. Если шум N имеет простое статистическое описание, такое как гауссов шум , то фильтр Калмана уменьшит N и восстановит S в степени, допускаемой теоремой Шеннона . В частности, если S и N не перекрываются в частотной области , их можно полностью разделить линейными полосовыми фильтрами .
С другой стороны, практически для любой другой формы шума потребуется какой-то нелинейный фильтр для максимального восстановления сигнала. Например, для мультипликативного шума (который умножается на сигнал, а не добавляется к нему) может быть достаточно преобразовать входные данные в логарифмический масштаб , применить линейный фильтр, а затем преобразовать результат в линейный масштаб . В этом примере первый и третий шаги не являются линейными.
Нелинейные фильтры также могут быть полезны, когда определенные «нелинейные» характеристики сигнала более важны, чем общее содержание информации. Например, при цифровой обработке изображений может возникнуть желание сохранить четкость контуров силуэтов объектов на фотографиях или связность линий на отсканированных рисунках. Линейный фильтр удаления шума обычно размывает эти особенности; нелинейный фильтр может дать более удовлетворительные результаты (даже если размытое изображение может быть более «правильным» в теоретико-информационном смысле).
Многие нелинейные фильтры шумоподавления работают во временной области. Обычно они исследуют входной цифровой сигнал в ограниченном окне, окружающем каждую выборку, и используют некоторую статистическую модель вывода (явно или неявно) для оценки наиболее вероятного значения исходного сигнала в этой точке. Конструкция таких фильтров известна как задача фильтрации случайного процесса в теории оценивания и теории управления .
Примеры нелинейных фильтров включают в себя:
Нелинейные фильтры также занимают решающее место в функциях обработки изображений. В типичном конвейере обработки изображений в реальном времени обычно имеется множество нелинейных фильтров, предназначенных для формирования, формирования, обнаружения и манипулирования информацией изображения. Более того, каждый из этих типов фильтров можно параметризовать для работы одним способом при определенных обстоятельствах и другим способом при другом наборе обстоятельств с использованием адаптивной генерации правил фильтрации. Цели варьируются от удаления шума до абстракции функций. Фильтрация данных изображения — стандартный процесс, используемый практически во всех системах обработки изображений. Нелинейные фильтры являются наиболее распространенной формой конструкции фильтров. Например, если изображение содержит небольшое количество шума, но с относительно высокой амплитудой, то медианный фильтр может оказаться более подходящим.
Контекстом здесь является формулировка задачи нелинейной фильтрации , рассматриваемой через призму теории случайных процессов. В этом контексте как случайный сигнал, так и зашумленные частичные наблюдения описываются случайными процессами с непрерывным временем. Ненаблюдаемый случайный сигнал, который необходимо оценить, моделируется с помощью нелинейного стохастического дифференциального уравнения Ито , а функция наблюдения представляет собой непрерывное во времени нелинейное преобразование ненаблюдаемого сигнала, наблюдение, возмущенное непрерывным шумом наблюдения. Учитывая нелинейный характер динамики, знакомые концепции частотной области, которые можно применить к линейным фильтрам, нежизнеспособны, и формулируется теория, основанная на представлении в пространстве состояний. Полная информация о нелинейном фильтре в данный момент времени представляет собой закон вероятности ненаблюдаемого сигнала в этот момент времени, зависящий от истории наблюдений до этого момента. Этот закон может иметь плотность, и бесконечномерное уравнение плотности этого закона принимает форму стохастического уравнения в частных производных (СДУЭ). Проблема оптимальной нелинейной фильтрации в этом контексте была решена в конце 1950-х и начале 1960-х годов Русланом Л. Стратоновичем [1] [2] [3] [4] и Гарольдом Дж. Кушнером . [5] Оптимальный фильтр СДЭ называется уравнением Кушнера-Стратоновича . В 1969 году Моше Закаи представил упрощенную динамику для ненормированного условного закона фильтра, известного как уравнение Закаи . [6] Мирей Шалеа-Морель и Доминик Мишель [7] доказали , что решение вообще является бесконечномерным и поэтому требует конечномерных приближений. Они могут быть основаны на эвристике, например, расширенный фильтр Калмана или фильтры предполагаемой плотности, описанные Питером С. Мэйбеком [8] , или проекционные фильтры, представленные Дамиано Бриго , Бернаром Ханзоном и Франсуа Ле Гландом, [9] некоторые подсемейства которые, как показано, совпадают с предполагаемыми фильтрами плотности. [10] Фильтры частиц [11] являются еще одним вариантом, связанным с последовательными методами Монте-Карло.
Фильтры передачи энергии — это класс нелинейных динамических фильтров, которые можно использовать для перемещения энергии определенным образом. [12] Энергию можно перемещать в более высокие или более низкие частотные диапазоны, распределять по заданному диапазону или фокусировать. Возможны различные конструкции фильтров передачи энергии, и они обеспечивают дополнительную степень свободы при проектировании фильтров, которая просто невозможна при использовании линейных конструкций.
Теория вероятностей и ее приложения, том 5, страницы 156–178.
