В математике и физике нелинейное уравнение в частных производных — это уравнение в частных производных с нелинейными членами . Они описывают множество различных физических систем, от гравитации до динамики жидкости, и использовались в математике для решения таких проблем, как гипотеза Пуанкаре и гипотеза Калаби . Их трудно изучать: практически не существует общих методов, которые работали бы для всех таких уравнений, и обычно каждое отдельное уравнение приходится изучать как отдельную задачу.
Различие между линейным и нелинейным частным дифференциальным уравнением обычно проводится с точки зрения свойств оператора , который определяет само уравнение в частных производных. [1]
Фундаментальным вопросом для любого уравнения в частных производных является существование и единственность решения для заданных граничных условий. Для нелинейных уравнений эти вопросы, как правило, очень сложны: например, самой сложной частью решения Яу гипотезы Калаби было доказательство существования уравнения Монжа–Ампера . Открытая проблема существования (и гладкости) решений уравнений Навье–Стокса является одной из семи проблем Премии тысячелетия в математике.
Основные вопросы о сингулярностях (их формирование, распространение и удаление, а также регулярность решений) те же самые, что и для линейных УЧП, но, как обычно, их гораздо сложнее изучать. В линейном случае можно просто использовать пространства распределений, но нелинейные УЧП обычно не определяются на произвольных распределениях, поэтому пространства распределений заменяют уточнениями, такими как пространства Соболева .
Примером образования сингулярности является поток Риччи : Ричард С. Гамильтон показал, что хотя существуют решения на короткое время, сингулярности обычно образуются по истечении конечного времени. Решение Григория Перельмана гипотезы Пуанкаре зависело от глубокого изучения этих сингулярностей, где он показал, как продолжить решение за пределы сингулярностей.
Решения в окрестности известного решения иногда можно изучать, линеаризуя уравнение в частных производных вокруг решения. Это соответствует изучению касательного пространства точки пространства модулей всех решений.
В идеале хотелось бы явно описать (модульное) пространство всех решений, и для некоторых очень специальных уравнений в частных производных это возможно. (В общем случае это безнадежная проблема: маловероятно, что существует какое-либо полезное описание всех решений, например , уравнения Навье–Стокса , поскольку это потребовало бы описания всех возможных движений жидкости.) Если уравнение имеет очень большую группу симметрии, то обычно интересует только модульное пространство решений по модулю группы симметрии, и иногда это конечномерное компактное многообразие, возможно, с особенностями; например, это происходит в случае уравнений Зайберга–Виттена . Немного более сложным случаем являются самодуальные уравнения Янга–Миллса, когда модульное пространство конечномерно, но не обязательно компактно, хотя его часто можно явно компактифицировать. Другой случай, когда иногда можно надеяться описать все решения, — это случай полностью интегрируемых моделей, когда решения иногда представляют собой своего рода суперпозицию солитонов ; это происходит, например, для уравнения Кортевега–де Фриза .
Часто можно записать некоторые специальные решения явно в терминах элементарных функций (хотя редко возможно описать все решения таким образом). Один из способов нахождения таких явных решений — свести уравнения к уравнениям меньшей размерности, предпочтительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые часто можно решить точно. Иногда это можно сделать с помощью разделения переменных или поиска высокосимметричных решений.
Некоторые уравнения имеют несколько различных точных решений.
Численное решение на компьютере — это почти единственный метод, который можно использовать для получения информации о произвольных системах уравнений в частных производных. Было проделано много работы, но еще много работы предстоит сделать для численного решения некоторых систем, особенно для уравнений Навье–Стокса и других уравнений, связанных с прогнозированием погоды .
Если систему уравнений в частных производных можно представить в форме пары Лакса
то он обычно имеет бесконечное число первых интегралов, которые помогают его изучать.
Системы уравнений в частных производных часто возникают как уравнения Эйлера–Лагранжа для вариационной задачи. Системы такого вида иногда можно решить, найдя экстремум исходной вариационной задачи.
PDE, которые возникают из интегрируемых систем, часто являются наиболее простыми для изучения, и иногда могут быть полностью решены. Хорошо известным примером является уравнение Кортевега–де Фриза .
Некоторые системы уравнений в частных производных имеют большие группы симметрии. Например, уравнения Янга–Миллса инвариантны относительно бесконечномерной калибровочной группы , а многие системы уравнений (такие как уравнения поля Эйнштейна ) инвариантны относительно диффеоморфизмов базового многообразия. Любые такие группы симметрии обычно можно использовать для изучения уравнений; в частности, если известно одно решение, можно тривиально сгенерировать больше, действуя с группой симметрии.
Иногда уравнения являются параболическими или гиперболическими «по модулю действия некоторой группы»: например, уравнение потока Риччи не совсем параболическое, но является «параболическим по модулю действия группы диффеоморфизмов», что подразумевает, что оно обладает большинством хороших свойств параболических уравнений.
См. обширный Список нелинейных уравнений в частных производных .
