Честная монета

Статистическая концепция

Хорошая монета при броске должна иметь равные шансы упасть любой стороной вверх.

В теории вероятностей и статистике последовательность независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха 1/2 в каждом испытании метафорически называется честной монетой . Монета, для которой вероятность не равна 1/2, называется необъективной или несправедливой монетой . В теоретических исследованиях предположение о том, что монета честная, часто делается на основе идеальной монеты .

Джон Эдмунд Керрич провел эксперименты по подбрасыванию монет и обнаружил, что монета, сделанная из деревянного диска размером с корону и покрытая с одной стороны свинцовым орелом, приземлилась (деревянной стороной вверх) в 679 случаях из 1000. ^[1] В этом эксперименте монету подбрасывали, балансируя на указательном пальце и переворачивая ее большим пальцем так, что она пролетела в воздухе около фута, прежде чем приземлиться на плоскую ткань, разложенную на столе. Эдвин Томпсон Джейнс утверждал, что, когда монета попадает в руку, а не отскакивает, физическое смещение монеты незначительно по сравнению с методом подбрасывания, при котором при достаточной практике можно заставить монету упасть орлом 100. % времени. ^[2] Исследование проблемы проверки честности монеты является хорошо зарекомендовавшим себя педагогическим инструментом при обучении статистике .

Определение вероятностного пространства

В теории вероятностей честная монета определяется как вероятностное пространство , которое, в свою очередь, определяется пространством выборки , пространством событий и вероятностной мерой . При использовании орла и решки пространство выборки монеты определяется как: ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$$

Пространство событий для монеты включает в себя все наборы результатов из пространства выборки, которым может быть присвоена вероятность, которая представляет собой набор полной мощности . Таким образом, пространство событий определяется как: ${\displaystyle 2^{\Omega }}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{\},\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$$

${\displaystyle \{\}}$— это событие, при котором не происходит ни одного исхода (что невозможно и поэтому ему может быть присвоена вероятность 0), и событие, при котором происходит любой исход (что гарантировано и ему может быть присвоена вероятность 1). Поскольку монета честная, вероятность любого исхода составляет 50 на 50. Тогда вероятностная мера определяется функцией: ${\displaystyle \{H,T\}}$

Таким образом, полное вероятностное пространство, определяющее честную монету, представляет собой тройку , определенную выше. Обратите внимание, что это не случайная величина , поскольку орел и решка не имеют собственных числовых значений, которые можно найти на честном двузначном кубике. Случайная величина добавляет дополнительную структуру присвоения числового значения каждому результату. Распространенный выбор: или . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle (H,T)\to (1,0)}$ ${\displaystyle (H,T)\to (1,-1)}$

Роль в статистическом преподавании и теории

Вероятностные и статистические свойства игр с подбрасыванием монеты часто используются в качестве примеров как в вводных, так и в учебниках для продвинутого уровня, и они в основном основаны на предположении, что монета честная или «идеальная». Например, Феллер использует эту основу для введения как идеи случайных блужданий , так и для разработки тестов на однородность внутри последовательности наблюдений, рассматривая свойства серий идентичных значений внутри последовательности. ^[3] Последнее приводит к проверке работоспособности . Временной ряд , состоящий из результата подбрасывания честной монеты, называется процессом Бернулли .

Справедливые результаты от смещенной монеты

Если мошенник изменил монету, отдав предпочтение одной стороне другой (предвзятая монета), монету все равно можно использовать для достижения справедливых результатов, слегка изменив игру. Джон фон Нейман предложил следующую процедуру: ^[4]

1. Дважды подбросьте монету.
2. Если результаты совпадают, начните заново, забыв оба результата.
3. Если результаты различаются, используйте первый результат, забывая о втором.

Причина, по которой этот процесс дает справедливый результат, заключается в том, что вероятность выпадения орла, а затем решки должна быть такой же, как и вероятность выпадения решки, а затем решки, поскольку монета не меняет своего смещения между бросками, и эти два броска независимы. Это работает только в том случае, если получение одного результата в испытании не меняет предвзятость в последующих испытаниях, что имеет место для большинства нековких монет (но не для таких процессов, как урна Полиа ). Исключив события с двумя орлами и двумя решками путем повторения процедуры, у подбрасывателя монеты остаются только два оставшихся исхода с одинаковой вероятностью. Эта процедура работает только в том случае, если броски составлены правильно; если часть пары повторно используется в другой паре, справедливость может быть нарушена. Кроме того, монета не должна быть настолько смещенной, чтобы вероятность одной стороны была равна нулю .

Этот метод можно расширить, рассмотрев также последовательность из четырех бросков. То есть, если монета подброшена дважды, но результаты совпадают, и монета подброшена еще дважды, но теперь результаты совпадают для противоположной стороны, то можно использовать первый результат. Это потому, что HHTT и TTHH одинаково вероятны. Это значение можно расширить до любого числа, кратного 2.

Ожидаемое значение бросков в игре n вычислить несложно. Сначала обратите внимание, что на шаге 3, независимо от события, мы подбросили монету дважды, но на шаге 2 ( или ) нам также придется все переделать, чтобы у нас было 2 бросков плюс ожидаемое значение бросков в следующей игре, то есть, но когда мы начинаем заново, ожидаемое значение следующей игры такое же, как и значение предыдущей игры или любой другой игры, поэтому на самом деле оно не зависит от n, таким образом (это можно понять, что процесс представляет собой мартингал , где повторное ожидание дает нам это, но из-за закона общего ожидания мы получаем это ), следовательно, мы имеем: ${\displaystyle E(F_{n})}$ ${\displaystyle HT}$ ${\displaystyle TH}$ ${\displaystyle E(F_{n}|HT,TH)=2}$ ${\displaystyle TT}$ ${\displaystyle HH}$ ${\displaystyle E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})}$ ${\displaystyle E(F)=E(F_{n})=E(F_{n+1})}$ ${\displaystyle E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1})=F_{n}}$ ${\displaystyle E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})}$ ${\displaystyle E(F_{n+1})=E(E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1}))=E(F_{n})}$

График дальности от дальнейшего ожидаемого количества бросков до успешного результата. ${\displaystyle {\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}}$ ${\displaystyle P(H)}$ ${\displaystyle 0.5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E(F)&=E(F_{n})\\&=E(F_{n}|TT,HH)P(TT,HH)+E(F_{n}|HT,TH)P(HT,TH)\\&=(2+E(F_{n+1}))P(TT,HH)+2P(HT,TH)\\&=(2+E(F))P(TT,HH))+2P(HT,TH)\\&=(2+E(F))(P(TT)+P(HH))+2(P(HT)+P(TH))\\&=(2+E(F))(P(T)^{2}+P(H)^{2})+4P(H)P(T)\\&=(2+E(F))(1-2P(H)P(T))+4P(H)P(T)\\&=2+E(F)-2P(H)P(T)E(F)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \therefore E(F)=2+E(F)-2P(H)P(T)E(F)\Rightarrow E(F)={\frac {1}{P(H)P(T)}}={\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}}$

Чем более предвзята наша монета, тем больше вероятность того, что нам придется выполнить большее количество испытаний, прежде чем будет получен справедливый результат.

Смотрите также

• Проверка честности монеты
• Подбрасывание монеты
• Константы Феллера при подбрасывании монеты

Рекомендации

1. Керрич, Джон Эдмунд (1946). Экспериментальное введение в теорию вероятностей . Э. Мунксгаард.
2. Джейнс, ET (2003). Теория вероятностей: логика науки. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 318. ИСБН 9780521592710. Архивировано из оригинала 5 февраля 2002 г. Любой, кто знаком с законом сохранения углового момента, после некоторой практики может схитрить в обычной игре с подбрасыванием монеты и выполнить свои броски со 100-процентной точностью. Вы можете получить любую частоту орлов, какую захотите; и уклон монеты вообще не влияет на результаты!{{cite book}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
3. Феллер, W (1968). Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Уайли. ISBN 978-0-471-25708-0.
4. фон Нейман, Джон (1951). «Различные методы, используемые в связи со случайными цифрами». Серия Национального бюро стандартов по прикладной математике . 12:36 .

дальнейшее чтение

• Гельман, Эндрю; Дебора Нолан (2002). «Уголок учителя: можно загрузить игральную кость, но нельзя сместить монету». Американский статистик . 56 (4): 308–311. дои : 10.1198/000313002605.Доступно на сайте Эндрю Гельмана.
• «Пожизненный разоблачитель берет на себя роль арбитра нейтрального выбора: волшебник, ставший математиком, обнаруживает предвзятость, подбрасывая монету». Стэнфордский отчет . 07.06.2004 . Проверено 5 марта 2008 г.
• Джон фон Нейман, «Различные методы, используемые в связи со случайными цифрами», в книге А. С. Хаусхолдера, Дж. Э. Форсайта и Х. Х. Джермонда, ред., Метод Монте-Карло , Серия прикладной математики Национального бюро стандартов, 12 (Вашингтон, округ Колумбия: Печать правительства США). Офис, 1951): 36-38.