В математическом анализе и смежных областях математики множество называется ограниченным , если все его точки находятся на определенном расстоянии друг от друга. И наоборот, множество, которое не ограничено, называется неограниченным . Слово «ограниченный» не имеет смысла в общем топологическом пространстве без соответствующей метрики .
Граница — это отдельная концепция: например,изолированный круг представляет собой ограниченное множество без границ, тогда как полуплоскость неограничена, но имеет границу.
Ограниченное множество не обязательно является замкнутым , и наоборот. Например, подмножество S двумерного реального пространства R2 , ограниченное двумя параболическими кривыми x2 +1 и x2-1 , определенными в декартовой системе координат, замкнуто этими кривыми, но не ограничено (поэтому не ограничено) .
Множество S действительных чисел называется ограниченным сверху, если существует такое вещественное число k (не обязательно из S ), что k ≥ s для всех s из S. Число k называется верхней границей S . Аналогично определяются члены, ограниченные снизу и нижняя граница .
Множество S ограничено , если оно имеет как верхнюю, так и нижнюю границы. Следовательно, множество действительных чисел ограничено, если оно содержится в конечном интервале .
Подмножество S метрического пространства ( M , d ) ограничено , если существует r > 0 такое, что для всех s и t в S мы имеем d ( s , t ) < r . Метрическое пространство ( M , d ) является ограниченным метрическим пространством (или d является ограниченной метрикой), если M ограничено как подмножество самого себя.
В топологических векторных пространствах существует другое определение ограниченных множеств, которое иногда называют ограниченностью фон Неймана . Если топология топологического векторного пространства индуцирована однородной метрикой , как в случае метрики, индуцированной нормой нормированных векторных пространств , то два определения совпадают.
Множество действительных чисел ограничено тогда и только тогда, когда оно имеет верхнюю и нижнюю границы. Это определение распространяется на подмножества любого частично упорядоченного множества . Обратите внимание, что это более общее понятие ограниченности не соответствует понятию «размер».
Подмножество S частично упорядоченного множества P называется ограниченным сверху, если существует элемент k из P такой, что k ≥ s для всех s из S . Элемент k называется верхней границей S . Понятия ограниченной снизу и нижней границы определяются аналогично. (См. также верхнюю и нижнюю границы .)
Подмножество S частично упорядоченного множества P называется ограниченным, если оно имеет как верхнюю, так и нижнюю границу или, что то же самое, если оно содержится в интервале . Обратите внимание, что это не просто свойство множества S , но также свойство множества S как подмножества P .
Ограниченное ЧУ-множество P (то есть само по себе, а не как подмножество) — это такое, которое имеет наименьший элемент и наибольший элемент . Обратите внимание, что эта концепция ограниченности не имеет ничего общего с конечным размером и что подмножество S ограниченного ЧУ множества P с ограничением порядка на P не обязательно является ограниченным ЧУ множеством.
Подмножество S множества Rn ограничено относительно евклидова расстояния тогда и только тогда, когда оно ограничено как подмножество Rn с порядком произведения . Однако S может быть ограничено как подмножество R n лексикографическим порядком , но не относительно евклидова расстояния.
Класс порядковых чисел называется неограниченным или конфинальным : если задан любой порядковый номер, всегда существует некоторый элемент класса, больший его. Таким образом, в данном случае «неограниченный» означает не неограниченный сам по себе, а неограниченный как подкласс класса всех порядковых чисел.