Неопределенный (переменный)

Символ рассматривается как математическая переменная

В математике , в частности в абстрактной алгебре , неопределенность — это переменный символ, используемый для описания класса выражений над заданным кольцом , обычно для определения нового кольца над этими выражениями. Например, многочлен над кольцом , может быть определен как выражение вида: Где коэффициенты являются элементами , а — неопределенность (которая не считается элементом ) . Затем можно определить кольцо многочленов над в неопределенности , обычно обозначаемой . Неопределенности часто используются при определении колец над многочленами, алгебраическими дробями , формальными степенными рядами и другими алгебраическими выражениями . ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+...a_{n}X^{n}}$$ ${\textstyle a_{i},\;0\leq i\leq n,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R[X]}$

Фундаментальным свойством неопределенности является то, что ее можно заменить любыми математическими выражениями, к которым применимы те же операции , что и к неопределенности.

Концепция неопределенности появилась сравнительно недавно и изначально была введена для различения полинома от связанной с ним полиномиальной функции . ^{[ требуется ссылка ]} Неопределенности напоминают свободные переменные . Главное отличие состоит в том, что свободная переменная предназначена для представления неопределенного элемента некоторой области , часто действительных чисел , в то время как неопределенности не представляют ничего. ^{[ требуется ссылка ]} Многие авторы не отличают неопределенности от других видов переменных.

Некоторые авторы учебников по абстрактной алгебре определяют неопределенность над кольцом R как элемент большего кольца , трансцендентного над R.

Как трансцендентный элемент

Некоторые авторы предпочитают определять неопределенность как обозначение реального объекта с алгебраическими свойствами , в частности, для данного кольца элемент (не в ) является неопределенностью над тогда и только тогда, когда он трансцендентен над ; то есть он не является корнем никакого многочлена от ; или, более формально, тогда и только тогда, когда все , ; и иногда требуется коммутировать со всеми элементами из . ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}=0}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle a_{k}\in R}$ ${\displaystyle R}$

Согласно этому определению, действительное число π можно считать неопределенным над рациональными числами , но нельзя, так как . ^{[4] [5]} Однако, хотя это определение делает «трансцендентные» и «неопределенные» синонимами, в его фактическом использовании термин «неопределенный» обычно резервируется для случаев, когда кто-то думает об оценке выражений в неопределенных числах. ^[6] То есть, заменяя символ неопределенности элементами кольца. ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle 3-1({\sqrt {3}})^{2}=0}$

В контексте формальных степенных рядов термин «неопределенный» обобщается до «трансцендентного» над степенными рядами . В этом смысле π не является неопределенным (например, используя ряд Маклорена синуса ), но конструкция в следующем абзаце является.

Некоторые авторы предлагают конкретную конструкцию, если бесконечный координатный вектор (или последовательность) имеет вид: , , и в общем случае, это последовательность, в которой n -я позиция имеет 1, а все остальные 0. ^{[7] [8] [9]} ${\displaystyle X^{0}=(1,0,0,...)}$ ${\displaystyle X^{1}=(0,1,0,...)}$ ${\displaystyle X^{n}}$

Полиномы

Полином от неопределенности — это выражение вида , где называются коэффициентами полинома. Два таких полинома равны только в том случае, если равны соответствующие коэффициенты. ^[10] Напротив, две полиномиальные функции от переменной могут быть равны или нет при определенном значении . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots +a_{n}X^{n}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Например, функции

${\displaystyle f(x)=2+3x,\quad g(x)=5+2x}$

равны, когда и не равны в противном случае. Но два многочлена ${\displaystyle x=3}$

${\displaystyle 2+3X,\quad 5+2X}$

неравны, так как 2 не равно 5, а 3 не равно 2. На самом деле,

${\displaystyle 2+3X=a+bX}$

не выполняется, если и . Это происходит потому , что не является числом и не обозначает его. ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=3}$ ${\displaystyle X}$

Различие тонкое, поскольку полином в может быть изменен на функцию в с помощью подстановки. Но различие важно, поскольку при выполнении этой подстановки может быть потеряна информация. Например, при работе по модулю 2 мы имеем следующее: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle 0-0^{2}=0,\quad 1-1^{2}=0,}$

поэтому полиномиальная функция тождественно равна 0 для любого значения в системе по модулю 2. Однако полином не является нулевым полиномом, поскольку коэффициенты 0, 1 и −1 соответственно не все равны нулю. ${\displaystyle x-x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X-X^{2}}$

Формальный степенной ряд

Формальный степенной ряд в неопределенном — это выражение вида , где символу не присвоено значение . ^[11] Это похоже на определение многочлена, за исключением того, что бесконечное число коэффициентов может быть ненулевым. В отличие от степенных рядов, встречающихся в исчислении, вопросы сходимости не имеют значения (поскольку в игре нет функции). Поэтому степенные ряды, которые расходятся при значениях , например , разрешены. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1+x+2x^{2}+6x^{3}+\ldots +n!x^{n}+\ldots \,}$

Как генераторы

Неопределенности полезны в абстрактной алгебре для генерации математических структур . Например, если задано поле , множество многочленов с коэффициентами в является кольцом многочленов с операциями сложения и умножения многочленов . В частности, если используются два неопределенных и , то кольцо многочленов также использует эти операции, и соглашение гласит, что . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle K[X,Y]}$ ${\displaystyle XY=YX}$

Неопределенности также могут быть использованы для генерации свободной алгебры над коммутативным кольцом . Например, с двумя неопределенностями и свободная алгебра включает суммы строк в и с коэффициентами в , и с пониманием того, что и не обязательно идентичны (так как свободная алгебра по определению некоммутативна). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A\langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle XY}$ ${\displaystyle YX}$

Смотрите также

• Неопределенное уравнение
• Неопределенная форма
• Неопределенная система

Примечания

1. Льюис, Дональд Дж. (1965). Введение в алгебру. Нью-Йорк: Harper & Row . стр. 160. LCCN  65-15743.
2. Маркус, Марвин (1978). Введение в современную алгебру. Нью-Йорк: Марсель Деккер . стр. 140–141. ISBN 0-8247-6479-X.
3. Дурбин, Джон Р. (2008). Современная алгебра (PDF) (6-е изд.). John Wiley & Sons . стр. 160–161. ISBN 978-0470-38443-5.
4. Ландин, Джозеф (1989). Введение в алгебраические структуры. Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 204. ISBN 0-486-65940-2.
5. Блум, Дэвид М. (1979). Линейная алгебра и геометрия. Кембридж; Нью-Йорк: Cambridge University Press . стр. 59. ISBN 978-0-521-21959-4.
6. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley . стр. 645. ISBN 978-0-471-43334-7.
7. Льюис, Дональд Дж. (1965). Введение в алгебру. Нью-Йорк, Harper & Row . стр. 163. LCCN  65-15743.
8. Ланг, Серг (1987). Алгебра для студентов (3-е изд.). Springer . С. 106–108. ISBN 0-387-22025-9.
9. Сах, Чи-Хан (1967). Абстрактная алгебра. Academic Press . С. 56–57. LCCN  66-29641.{{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
10. Херштейн 1975, Раздел 3.9.
11. Weisstein, Eric W. "Формальный степенной ряд". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-02 .

Ссылки

• Херштейн, Индиана (1975). Темы по алгебре. Уайли. ISBN 047102371X.
• Маккой, Нил Х. (1960), Введение в современную алгебру, Бостон: Allyn and Bacon , LCCN  68015225