Неопределенный (переменный)

Символ рассматривается как математическая переменная

В математике неопределенная или формальная переменная — это переменная ( символ , обычно буква), которая используется чисто формально в математическом выражении , но не обозначает какое-либо значение. ^{[1] [2] [ нужен лучший источник ]}

В анализе математическое выражение, такое как ⁠ ⁠, ${\displaystyle 3x^{2}+4x}$ обычно принимается для представления величины, значение которой является функцией ее переменной ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ , а сама переменная принимается для представления неизвестной или изменяющейся величины. Два таких функциональных выражения считаются равными, если их значение равно для каждого возможного значения ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ в пределах области определения функций . В алгебре , однако, выражения такого рода обычно принимаются для представления объектов самих по себе, элементов некоторой алгебраической структуры – здесь многочлена , элемента кольца многочленов . Многочлен может быть формально определен как последовательность его коэффициентов , в этом случае ⁠ ⁠ ${\displaystyle [0,4,3]}$ , и выражение ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3x^{2}+4x}$ или более явно ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0x^{0}+4x^{1}+3x^{2}}$ является просто удобной альтернативной записью, со степенями неопределенности ⁠ ⁠ , ${\displaystyle x}$ используемыми для указания порядка коэффициентов. Два таких формальных многочлена считаются равными, если их коэффициенты одинаковы. Иногда эти два понятия равенства не совпадают.

Некоторые авторы резервируют слово переменная для обозначения неизвестной или изменяющейся величины и строго различают понятия переменная и неопределенная . Другие авторы без разбора используют название переменная для обоих.

Неопределенные числа встречаются в многочленах , рациональных дробях (отношениях многочленов), формальных степенных рядах и, в более общем смысле, в выражениях , которые рассматриваются как независимые объекты.

Фундаментальным свойством неопределенности является то, что ее можно заменить любыми математическими выражениями, к которым применимы те же операции , что и к неопределенности.

Некоторые авторы учебников по абстрактной алгебре определяют неопределенность над кольцом R как элемент большего кольца, который трансцендентен над R. [ ^{3] [4] [5]} Это необычное определение подразумевает, что каждое трансцендентное число и каждый непостоянный многочлен должны рассматриваться как неопределенности.

Полиномы

Полином от неопределенности — это выражение вида , где называются коэффициентами полинома. Два таких полинома равны только в том случае, если равны соответствующие коэффициенты. ^[6] Напротив, две полиномиальные функции от переменной могут быть равны или нет при определенном значении . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots +a_{n}X^{n}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Например, функции

${\displaystyle f(x)=2+3x,\quad g(x)=5+2x}$

равны, когда и не равны в противном случае. Но два многочлена ${\displaystyle x=3}$

${\displaystyle 2+3X,\quad 5+2X}$

не равны, так как 2 не равно 5, а 3 не равно 2. На самом деле,

${\displaystyle 2+3X=a+bX}$

не выполняется, если и . Это происходит потому , что не является числом и не обозначает его. ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=3}$ ${\displaystyle X}$

Различие тонкое, поскольку полином в может быть изменен на функцию в с помощью подстановки. Но различие важно, поскольку при выполнении этой подстановки может быть потеряна информация. Например, при работе по модулю 2 мы имеем следующее: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle 0-0^{2}=0,\quad 1-1^{2}=0,}$

поэтому полиномиальная функция тождественно равна 0 для любого значения в системе по модулю 2. Однако полином не является нулевым полиномом, поскольку коэффициенты 0, 1 и −1 соответственно не все равны нулю. ${\displaystyle x-x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X-X^{2}}$

Формальный степенной ряд

Формальный степенной ряд в неопределенном — это выражение вида , где символу не присвоено значение . ^[7] Это похоже на определение многочлена, за исключением того, что бесконечное число коэффициентов может быть ненулевым. В отличие от степенных рядов, встречающихся в исчислении, вопросы сходимости не имеют значения (поскольку в игре нет функции). Поэтому степенные ряды, которые расходятся при значениях , например , разрешены. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1+x+2x^{2}+6x^{3}+\ldots +n!x^{n}+\ldots \,}$

Как генераторы

Неопределенности полезны в абстрактной алгебре для генерации математических структур . Например, если задано поле , множество многочленов с коэффициентами в является кольцом многочленов с операциями сложения и умножения многочленов . В частности, если используются два неопределенных и , то кольцо многочленов также использует эти операции, и соглашение гласит, что . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle K[X,Y]}$ ${\displaystyle XY=YX}$

Неопределенности также могут быть использованы для генерации свободной алгебры над коммутативным кольцом . Например, с двумя неопределенностями и свободная алгебра включает суммы строк в и с коэффициентами в , и с пониманием того, что и не обязательно идентичны (так как свободная алгебра по определению некоммутативна). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A\langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle XY}$ ${\displaystyle YX}$

Смотрите также

• Неопределенное уравнение
• Неопределенная форма
• Неопределенная система

Примечания

1. Маккой (1960, стр. 189, 190)
2. Джозеф Миллер Томас (1974). Учебник о корнях. William Byrd Press. ASIN  B0006W3EBY.
3. Льюис, Дональд Дж. (1965). Введение в алгебру. Нью-Йорк: Харпер и Роу . п. 160. LCCN  65-15743.
4. Ландин, Джозеф (1989). Введение в алгебраические структуры. Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 204. ISBN 0-486-65940-2.
5. Маркус, Марвин (1978). Введение в современную алгебру. Нью-Йорк: Марсель Деккер . стр. 140–141. ISBN 0-8247-6479-X.
6. Херштейн 1975, Раздел 3.9.
7. Weisstein, Eric W. "Формальный степенной ряд". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-02 .

Ссылки

• Херштейн, Индиана (1975). Темы по алгебре. Уайли. ISBN 047102371X.
• Маккой, Нил Х. (1960), Введение в современную алгебру, Бостон: Allyn and Bacon , LCCN  68015225