Неопределенная форма

Выражение в математическом анализе

В исчислении и других разделах математического анализа , когда берется предел суммы, разности, произведения, частного или степени двух функций, часто оказывается возможным просто сложить, вычесть, умножить, разделить или возвести в степень соответствующие пределы этих функций. две функции соответственно. Однако бывают случаи, когда неясно, какой должна быть сумма, разница, произведение, частное или степень этих двух пределов. Например, неясно, что должны оценивать следующие выражения: ^[1]

${\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ and }}\infty ^{0}.}$

Эти семь выражений известны как неопределенные формы . Более конкретно, такие выражения получаются путем наивного применения алгебраической предельной теоремы для вычисления предела соответствующей арифметической операции над двумя функциями, однако есть примеры пар функций, которые после операции сходятся к 0, сходятся к другому конечному значению, расходятся до бесконечности или просто расходятся. Эта неспособность решить, каким должен быть предел, объясняет, почему эти формы считаются неопределенными . Предел, подтвержденный как бесконечность, не является неопределенным, поскольку было установлено, что он имеет определенное значение (бесконечность). ^[1] Этот термин был первоначально введен учеником Коши Муаньо в середине 19 века.

Наиболее распространенным примером неопределенной формы является частное двух функций, каждая из которых сходится к нулю. Эту неопределенную форму обозначают . Например, при приближении отношения , , и переходят к , , и соответственно. В каждом случае, если подставить пределы числителя и знаменателя, результатом будет выражение , которое является неопределенным. В этом смысле может принимать значения , , или путем соответствующего выбора функций, помещаемых в числитель и знаменатель. Фактически можно найти пару функций, для которых пределом является любое конкретное заданное значение. Еще более удивительным, возможно, является то, что частное двух функций может фактически расходиться, а не просто расходиться до бесконечности. Например, . ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0~}$ ${\displaystyle x/x^{3}}$ ${\displaystyle x/x}$ ${\displaystyle x^{2}/x}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0~}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle 0~}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x\sin(1/x)/x}$

Таким образом , того факта, что две функции и сходятся к некоторой предельной точке , недостаточно для определения предела. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle 0~}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}$

Такую же форму неопределенной формы может иметь и выражение, возникающее иными способами, чем применение алгебраической предельной теоремы. Однако некорректно называть выражение «неопределённой формой», если выражение сделано вне контекста определения пределов. Примером может служить выражение . Оставлено ли это выражение неопределенным или оно определено как равное , зависит от области применения и может различаться у разных авторов. Подробнее читайте в статье Ноль в степени нуля . Обратите внимание, что и другие выражения, включающие бесконечность, не являются неопределенными формами. ${\displaystyle 0^{0}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0^{\infty }}$

Некоторые примеры и не примеры

Неопределенная форма 0/0

• 
  Рис. 1: у =Икс/Икс
• 
  Рис. 2: у =х ²/Икс
• 
  Рис. 3: у =грех  х/Икс
• 
  Рис. 4: у =х - 49/√ х - 7(для х = 49)
• 
  Рис. 5: у =х​/Иксгде а = 2
• 
  Рис. 6: у =Икс/х ³

Неопределенная форма особенно распространена в исчислении , поскольку она часто возникает при оценке производных с использованием их определения в терминах предела. ${\displaystyle 0/0}$

Как уже упоминалось выше,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad }$(см. рис. 1)

пока

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad }$(см. рис. 2)

Этого достаточно, чтобы показать, что это неопределенная форма. Другие примеры этой неопределенной формы включают: ${\displaystyle 0/0}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad }$(см. рис. 3)

и

${\displaystyle \lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad }$(см. рис. 4)

Непосредственная подстановка числа, приближающегося к любому из этих выражений, показывает, что эти примеры соответствуют неопределенной форме , но эти пределы могут принимать множество различных значений. Для этой неопределенной формы можно получить любое желаемое значение следующим образом: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad }$(см. рис. 5)

Значение также можно получить (в смысле ухода на бесконечность): ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad }$(см. рис. 6)

Неопределенная форма 0 0

• 
  Рис. 7: y = x ⁰
• 
  Рис. 8: y = 0 ^x

Следующие ограничения иллюстрируют, что выражение имеет неопределенную форму: ${\displaystyle 0^{0}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1,\qquad }$(см. рис. 7)

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0.\qquad }$(см. рис. 8)

Таким образом, в общем случае знания того и недостаточно для оценки предела ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.}$

Если функции и аналитичны при и положительны при достаточно близком (но не равном) к , то пределом будет . ^[2] В противном случае для оценки предела используйте преобразование, приведенное в таблице ниже. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ ${\displaystyle 1}$

Выражения, не являющиеся неопределенными формами

Выражение обычно не рассматривается как неопределенная форма, потому что, если предел существует, то нет никакой двусмысленности относительно его значения, поскольку оно всегда расходится. В частности, если подходы и подходы , то и можно выбрать так, что: ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0~}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

1. ${\displaystyle f/g}$подходы ${\displaystyle +\infty }$
2. ${\displaystyle f/g}$подходы ${\displaystyle -\infty }$
3. Предел не существует.

В каждом случае абсолютное значение приближается к , и поэтому частное должно расходиться в смысле расширенных действительных чисел (в рамках проективно расширенной действительной линии пределом является беззнаковая бесконечность во всех трех случаях ^[3] ). Точно так же любое выражение формы с (включая и ) не является неопределенной формой, поскольку частное, порождающее такое выражение, всегда будет расходиться. ${\displaystyle |f/g|}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle a/0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle a=+\infty }$ ${\displaystyle a=-\infty }$

Выражение не является неопределенной формой. Выражение , полученное в результате рассмотрения , дает предел при условии, что оно остается неотрицательным при приближении . Выражение аналогично эквивалентно ; если as приближается , предел выходит как . ${\displaystyle 0^{\infty }}$ ${\displaystyle 0^{+\infty }}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}$ ${\displaystyle 0~}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0^{-\infty }}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f(x)>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle +\infty }$

Чтобы понять, почему, пусть где и Взяв натуральный логарифм обеих частей и используя, мы получаем то, что означает, что ${\displaystyle L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=0,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,}$ ${\displaystyle \ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,}$ ${\displaystyle L={e}^{-\infty }=0.}$

Оценка неопределенных форм

Прилагательное неопределенное не означает, что предела не существует, как показывают многие приведенные выше примеры . Во многих случаях для манипулирования выражением и вычисления предела можно использовать алгебраическое исключение, правило Лопиталя или другие методы.

Эквивалент бесконечно малого

Когда две переменные и сходятся к нулю в одной и той же предельной точке и , они называются эквивалентными бесконечно малыми (экв. ). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}$ ${\displaystyle \alpha \sim \beta }$

Более того, если переменные и таковы, что и , то: ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \beta '}$ ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$

${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$

Вот краткое доказательство:

Предположим, что существуют две эквивалентные бесконечно малые величины и . ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$

${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$

Для оценки неопределенной формы можно использовать следующие факты об эквивалентных бесконечно малых величинах (например, если x становится ближе к нулю): ^[4] ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle x\sim \sin x}$

${\displaystyle x\sim \sin x,}$

${\displaystyle x\sim \arcsin x,}$

${\displaystyle x\sim \sinh x,}$

${\displaystyle x\sim \tan x,}$

${\displaystyle x\sim \arctan x,}$

${\displaystyle x\sim \ln(1+x),}$

${\displaystyle 1-\cos x\sim {\frac {x^{2}}{2}},}$

${\displaystyle \cosh x-1\sim {\frac {x^{2}}{2}},}$

${\displaystyle a^{x}-1\sim x\ln a,}$

${\displaystyle e^{x}-1\sim x,}$

${\displaystyle (1+x)^{a}-1\sim ax.}$

Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}$

Во 2-м равенстве используется, где y становится ближе к 0, и где используется в 4 -м равенстве, и используется в 5-м равенстве. ${\displaystyle e^{y}-1\sim y}$ ${\displaystyle y=x\ln {2+\cos x \over 3}}$ ${\displaystyle y\sim \ln {(1+y)}}$ ${\displaystyle y={{\cos x-1} \over 3}}$ ${\displaystyle 1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}}$

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя представляет собой общий метод оценки неопределенных форм и . Это правило гласит, что (при соответствующих условиях) ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle \infty /\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

где и являются производными от и . (Обратите внимание, что это правило не применяется к выражениям , и т. д., поскольку эти выражения не являются неопределенными формами.) Эти производные позволят выполнить алгебраическое упрощение и в конечном итоге оценить предел. ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \infty /0}$ ${\displaystyle 1/0}$

Правило Лопиталя можно применить и к другим неопределенным формам, предварительно применив соответствующее алгебраическое преобразование. Например, чтобы оценить форму 0 ⁰ :

${\displaystyle \ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.}$

Правая часть имеет вид , поэтому к ней применимо правило Лопиталя. Обратите внимание, что это уравнение справедливо (пока определена правая часть), поскольку натуральный логарифм (ln) является непрерывной функцией ; не имеет значения, насколько хорошо оно себя ведет и может (или не может) быть, пока оно асимптотически положительно. (область логарифмов — это совокупность всех положительных действительных чисел.) ${\displaystyle \infty /\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Хотя правило Лопиталя применимо к обоим и , одна из этих форм может быть более полезной, чем другая в конкретном случае (из-за возможности последующего алгебраического упрощения). Можно переключаться между этими формами, преобразуя в . ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle \infty /\infty }$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle (1/g)/(1/f)}$

Список неопределенных форм

В следующей таблице перечислены наиболее распространенные неопределенные формы и преобразования для применения правила Лопиталя.

Смотрите также

• Определенный и неопределенный
• Деление на ноль
• Расширенная строка действительных чисел
• Неопределенное уравнение
• Неопределенная система
• Неопределенный (переменный)
• Правило Лопиталя

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Неопределенный». mathworld.wolfram.com . Проверено 2 декабря 2019 г.
2. Луи М. Ротандо; Генри Корн (январь 1977 г.). «Неопределенная форма 0 ⁰ ». Журнал «Математика» . 50 (1): 41–42. дои : 10.2307/2689754. JSTOR  2689754.
3. «Неопределенное против неопределенного в математике» . www.cut-the-knot.org . Проверено 2 декабря 2019 г.
4. «Таблица эквивалентных бесконечно малых» (PDF) . Программное обеспечение Vaxa .