Проективно расширенная действительная линия

Действительные числа с добавленной точкой на бесконечности

Проективно расширенную действительную линию можно визуализировать как линию действительного числа, обернутую вокруг круга (с помощью некоторой формы стереографической проекции ) с дополнительной точкой на бесконечности .

В реальном анализе проективно расширенная действительная линия (также называемая одноточечной компактификацией действительной линии ) является расширением множества действительных чисел точкой , обозначенной ∞ . ^[1] Таким образом, это набор , в котором, где это возможно, расширены стандартные арифметические операции, ^[1] и иногда обозначается как ^[2] или Добавленная точка называется точкой на бесконечности , потому что она рассматривается как сосед обоих концов настоящая линия. Точнее, точка на бесконечности — это предел любой последовательности действительных чисел, абсолютные значения которых возрастают и не ограничены . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

Проективно расширенную действительную линию можно идентифицировать с реальной проективной линией , в которой трем точкам присвоены определенные значения 0 , 1 и ∞ . Проективно расширенная линия действительных чисел отличается от аффинно расширенной линии действительных чисел , в которой +∞ и −∞ различны.

Деление на ноль

В отличие от большинства математических моделей чисел, эта структура допускает деление на ноль :

${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty }$

для ненулевого a . В частности, 1/0 = ∞ и 1/∞ = 0 , что делает обратную функцию 1/ x полной функцией в этой структуре. ^[1] Структура, однако, не является полем , и ни одна из двоичных арифметических операций не является полной – например, 0 ⋅ ∞ не определено, даже если обратное число является полным. ^[1] Однако у него есть полезные интерпретации — например, в геометрии наклон вертикальной линии равен ∞ . ^[1]

Расширения реальной линии

Проективно расширенная действительная линия расширяет поле действительных чисел так же, как сфера Римана расширяет поле комплексных чисел , добавляя одну точку, условно называемую ∞ .

Напротив, аффинно расширенная линия действительных чисел (также называемая двухточечной компактификацией действительной линии) различает +∞ и −∞ .

Заказ

Отношение порядка не может быть расширено осмысленным образом. Учитывая число a ≠ ∞ , нет убедительных аргументов в пользу определения либо a > ∞ , либо того, что a < ∞ . Поскольку ∞ нельзя сравнивать ни с одним из других элементов, нет смысла сохранять это соотношение на . ^[2] Однако порядок on используется в определениях в . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

Геометрия

Фундаментальным для идеи о том, что ∞ является точкой, ничем не отличающейся от любой другой, является то, что действительная проективная линия представляет собой однородное пространство , фактически гомеоморфное окружности. Например, общая линейная группа вещественных обратимых матриц размера 2 × 2 имеет на ней транзитивное действие . Групповое действие может быть выражено преобразованиями Мёбиуса (также называемыми дробно-линейными преобразованиями), при том понимании, что когда знаменатель дробно-линейного преобразования равен 0 , изображение равно ∞ .

Детальный анализ действия показывает, что для любых трех различных точек P , Q и R существует дробно-линейное преобразование, переводящее P в 0, Q в 1 и R в ∞ , то есть группа дробно-линейных преобразований трижды транзитивна. на действительной проективной прямой. Это нельзя распространить на наборы из 4 точек, поскольку двойное отношение инвариантно.

Терминология проективная линия уместна, поскольку точки находятся во взаимно-однозначном соответствии с одномерными линейными подпространствами . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Арифметические операции

Мотивация арифметических действий

Арифметические операции над этим пространством являются расширением тех же операций с вещественными числами. Мотивацией новых определений являются пределы функций действительных чисел.

Определенные арифметические операции

В дополнение к стандартным операциям над подмножеством определены следующие операции с указанными исключениями: ^{[3] [2]} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle a\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a\neq \infty \\a-\infty =\infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{aligned}}}$

Арифметические операции, которые остались неопределенными

Следующие выражения не могут быть мотивированы рассмотрением пределов действительных функций, и никакое их определение не позволяет сохранить формулировку стандартных алгебраических свойств неизменной по форме для всех определенных случаев. ^[a] Следовательно, они остаются неопределенными:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\infty +\infty \\&\infty -\infty \\&\infty \cdot 0\\&0\cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{aligned}}}$

Показательную функцию нельзя расширить до . ^[2] ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

Алгебраические свойства

Следующие равенства означают: либо обе стороны не определены, либо обе стороны определены и равны. Это справедливо для любого ${\displaystyle a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}}$

Следующее справедливо всякий раз, когда определены выражения, для любого ${\displaystyle a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}}$

В общем, все законы арифметики, которые действительны для, также действительны для всех случаев, когда определены все встречающиеся выражения. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

Интервалы и топология

Понятие интервала можно расширить до . Однако, поскольку это не упорядоченное множество, интервал имеет несколько иной смысл. Определения замкнутых интервалов следующие (предполагается, что ): ^{[2] [ необходимы дополнительные ссылки ]} ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a<b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}}$

За исключением случаев, когда конечные точки равны, соответствующие открытые и полуоткрытые интервалы определяются путем удаления соответствующих конечных точек. Это переопределение полезно в интервальной арифметике при делении на интервал, содержащий 0. ^[2]

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$и пустое множество также являются интервалами, как и исключение любой отдельной точки. ^[б] ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

Открытые интервалы как основа определяют топологию на . Для базы достаточны ограниченные интервалы в и интервалы для всех таких, что ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a<b.}$

Как сказано, топология гомеоморфна кругу. Таким образом, она метризуема, соответствуя (при данном гомеоморфизме) обычной метрике на этой окружности (измеренной либо по прямой, либо вдоль окружности). Не существует метрики, являющейся расширением обычной метрики на ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Интервальная арифметика

Интервальная арифметика распространяется на от . Результатом арифметической операции над интервалами всегда является интервал, за исключением случаев, когда интервалы с бинарной операцией содержат несовместимые значения, приводящие к неопределенному результату. ^[c] В частности, для каждого мы имеем : ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,}$

независимо от того, включает ли какой-либо интервал 0 и ∞ .

Исчисление

Инструменты исчисления можно использовать для анализа функций . Определения мотивированы топологией этого пространства. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

Районы

Пусть и . ${\displaystyle x\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}}$

• A является окрестностью x , если A содержит открытый интервал B , содержащий x .
• A является правосторонней окрестностью x , если существует действительное число y такое, что и A содержит полуоткрытый интервал . ${\displaystyle y\neq x}$ ${\displaystyle [x,y)}$
• A является левосторонней окрестностью x , если существует действительное число y такое, что и A содержит полуоткрытый интервал . ${\displaystyle y\neq x}$ ${\displaystyle (y,x]}$
• A является проколотой окрестностью (соответственно правосторонней или левосторонней проколотой окрестностью) точки x , если и является окрестностью (соответственно правосторонней или левосторонней окрестностью) точки x . ${\displaystyle x\not \in A,}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$

Пределы

Основные определения пределов

Пусть и . ${\displaystyle f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},}$ ${\displaystyle p\in {\widehat {\mathbb {R} }},}$ ${\displaystyle L\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$

Пределом f  ( x ) при приближении x к p является L , обозначаемый

${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$

тогда и только тогда, когда для каждой окрестности A из L существует проколотая окрестность B из p , такая, что подразумевает . ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle f(x)\in A}$

Односторонний предел f  ( x ), когда x приближается к p справа (слева), равен L , обозначаемый

${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L\qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right),}$

тогда и только тогда, когда для каждой окрестности A точки L существует правосторонняя (левосторонняя) проколотая окрестность B точки p , такая, что влечет за собой ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle f(x)\in A.}$

Можно показать, что тогда и только тогда, когда оба и . ${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$ ${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L}$ ${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L}$

Сравнение с ограничениями в ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Приведенные выше определения можно сравнить с обычными определениями пределов вещественных функций. В следующих утверждениях первый предел определен выше, а второй предел — в обычном смысле: ${\displaystyle p,L\in \mathbb {R} ,}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$эквивалентно ${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=L}$эквивалентно ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}=L}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=L}$эквивалентно ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}=L}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=\infty }$эквивалентно ${\displaystyle \lim _{x\to p}{|f(x)|}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=\infty }$эквивалентно ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{|f(x)|}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=\infty }$эквивалентно ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{|f(x)|}=+\infty }$

Расширенное определение пределов

Позволять . Тогда p является предельной точкой A тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки p включает точку такую, что ${\displaystyle A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle y\neq p.}$

Пусть , p - предельная точка A . Пределом f  ( x ) при приближении x к p через A является L тогда и только тогда, когда для каждой окрестности B точки L существует проколотая окрестность C точки p , такая, что это влечет за собой ${\displaystyle f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x\in A\cap C}$ ${\displaystyle f(x)\in B.}$

Это соответствует обычному топологическому определению непрерывности , применяемому к топологии подпространства на и ограничению f на ${\displaystyle A\cup \lbrace p\rbrace ,}$ ${\displaystyle A\cup \lbrace p\rbrace .}$

Непрерывность

Функция

${\displaystyle f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},\quad p\in {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

непрерывен в точке p тогда и только тогда, когда f определено в точке p и

${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=f(p).}$

Если функция ${\displaystyle A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},}$

${\displaystyle f:A\to {\widehat {\mathbb {R} }}}$

непрерывен в A тогда и только тогда, когда для каждого f определен в точке p и предел при стремлении x к p через A равен ${\displaystyle p\in A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(p).}$

Любая рациональная функция P ( x )/ Q ( x ) , где P и Q — многочлены , может быть продолжена единственным способом до функции от до , непрерывной в В частности, это случай полиномиальных функций , которые примите значение at, если они не постоянны . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty ,}$

Кроме того, если касательная функция расширена так, что ${\displaystyle \tan }$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)=\infty {\text{ for }}n\in \mathbb {Z} ,}$

то непрерывна по , но не может быть продолжена дальше до функции, непрерывной по ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

Многие элементарные функции , непрерывные по, не могут быть продолжены до функций, непрерывных по. Так обстоит дело, например, с показательной функцией и всеми тригонометрическими функциями . Например, синусоидальная функция непрерывна , но ее нельзя сделать непрерывной при. Как видно выше, касательную функцию можно продолжить до функции, непрерывной при ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \infty .}$

Многие разрывные функции, которые становятся непрерывными при расширении кодовой области , остаются разрывными, если кодовая область расширяется до аффинно расширенной системы действительных чисел. Это случай функции. С другой стороны, некоторые функции, которые непрерывны в и разрывны в , становятся непрерывными, если домен расширен до Это касается арктангенса . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \infty \in {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}.}$

Как проективный диапазон

Когда действительная проективная прямая рассматривается в контексте действительной проективной плоскости , то следствия теоремы Дезарга неявны. В частности, построение проективного гармонического сопряженного отношения между точками является частью структуры вещественной проективной прямой. Например, для любой пары точек точка на бесконечности является проективно-гармоническим сопряжением их средней точки .

Поскольку проективности сохраняют гармоническое отношение, они образуют автоморфизмы вещественной проективной прямой. Проективности описываются алгебраически как гомографии , поскольку действительные числа образуют кольцо , согласно общей конструкции проективной прямой над кольцом . В совокупности они образуют группу PGL(2,  R ) .

Проективности, обратные самим себе, называются инволюциями . Гиперболическая инволюция имеет две неподвижные точки . Два из них соответствуют элементарным арифметическим операциям на вещественной проективной прямой: отрицанию и взаимному поступлению . Действительно, 0 и ∞ фиксируются при отрицании, а 1 и −1 фиксируются при взаимном поступлении.

Смотрите также

• Реальная проективная плоскость
• Сложная проективная плоскость
• Теория колеса

Примечания

1. Однако существует расширение, в котором все алгебраические свойства, ограниченные определенными операциями в , разрешаются стандартным правилам: см. Теорию колес . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$
2. Если требуется согласованность дополнения, такая, что и для всех (где определен интервал с обеих сторон), все интервалы исключаются и могут быть естественным образом представлены с использованием этого обозначения, интерпретируемого как , и полуоткрытые интервалы с равными конечными точками, например , оставаясь неопределенным. ${\displaystyle [a,b]^{\complement }=(b,a)}$ ${\displaystyle (a,b]^{\complement }=(b,a]}$ ${\displaystyle a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (a,a)}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle (a,a]}$
3. Например, соотношение интервалов содержит 0 в обоих интервалах, а поскольку 0/0 не определено, то и результат деления этих интервалов не определен. ${\displaystyle [0,1]/[0,1]}$

Рекомендации

1. НБУ, DDE (05.11.2019). ПГ МТМ 201 Б1. Управление дистанционного образования Университета Северной Бенгалии.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Проективно расширенные действительные числа». mathworld.wolfram.com . Проверено 22 января 2023 г.
3. Ли, Нам-Хун (28 апреля 2020 г.). Геометрия: от изометрий к специальной теории относительности. Спрингер Природа. ISBN 978-3-030-42101-4.