непрерывная дробь Гаусса

В комплексном анализе непрерывная дробь Гаусса — это особый класс непрерывных дробей, полученных из гипергеометрических функций . Это была одна из первых аналитических непрерывных дробей, известных математике, и ее можно использовать для представления нескольких важных элементарных функций , а также некоторых более сложных трансцендентных функций .

История

Ламберт опубликовал несколько примеров непрерывных дробей в этой форме в 1768 году, и Эйлер , и Лагранж исследовали похожие конструкции, ^[1] но именно Карл Фридрих Гаусс использовал алгебру, описанную в следующем разделе, чтобы вывести общую форму этой непрерывной дроби в 1813 году. ^[2]

Хотя Гаусс дал форму этой непрерывной дроби, он не дал доказательств ее свойств сходимости. Бернхард Риман ^[3] и Л. В. Томе ^[4] получили частичные результаты, но окончательное слово об области, в которой эта непрерывная дробь сходится, было дано только в 1901 году Эдвардом Берром Ван Флеком . ^[5]

Вывод

Пусть будет последовательностью аналитических функций, такой что ${\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\dots }$

${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}\,z\,f_{i+1}}$

для всех , где каждый является константой. ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle k_{i}}$

Затем

${\displaystyle {\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},{\text{ and so }}{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}}$

Параметр ${\displaystyle g_{i}=f_{i}/f_{i-1},}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}},}$

Так

${\displaystyle g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\cdots .\ }$

Повторяя это до бесконечности, получаем выражение непрерывной дроби

${\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

В непрерывной дроби Гаусса функции являются гипергеометрическими функциями вида , , и , а уравнения возникают как тождества между функциями, где параметры отличаются на целые числа. Эти тождества можно доказать несколькими способами, например, разложив ряд и сравнив коэффициенты, или взяв производную несколькими способами и исключив ее из полученных уравнений. ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$

Сериал0Ф1

Самый простой случай включает в себя

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .}$

Начиная с личности

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a-1;z)-\,_{0}F_{1}(a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(a+1;z),}$

мы можем взять

${\displaystyle f_{i}={}_{0}F_{1}(a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i-1)}},}$

давая

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

или

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddots }}}}}}}}.}$

Это разложение сходится к мероморфной функции, определяемой отношением двух сходящихся рядов (конечно, при условии, что a не является ни нулем, ни отрицательным целым числом).

Сериал1Ф1

Следующий случай касается

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }$

для которых две идентичности

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

используются попеременно.

Позволять

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z),}$

и т. д.

Это дает , где , производя ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ ${\displaystyle k_{1}={\tfrac {a-b}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1)(b+2)}},k_{3}={\tfrac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2}{(b+3)(b+4)}}}$

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

или

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(a-b)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Сходным образом

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

или

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a-b-2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Так как , установив a равным 0 и заменив b  + 1 на b в первой непрерывной дроби, получим упрощенный частный случай: ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(0;b;z)=1}$

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z}{(b+1)+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Сериал2Ф1

Последний случай касается

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .\,}$

Опять же, попеременно используются две идентичности.

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),}$

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z).}$

По сути, это одна и та же идентичность, в которой a и b поменяны местами.

Позволять

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),}$

и т. д.

Это дает , где , производя ^[6] ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ ${\displaystyle k_{1}={\tfrac {(a-c)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}}$

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

или

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(a-c)bz}{(c+1)+{\cfrac {(b-c-1)(a+1)z}{(c+2)+{\cfrac {(a-c-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(b-c-2)(a+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Так как , установив a равным 0 и заменив c  + 1 на c, получим упрощенный частный случай цепной дроби: ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(b-c)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(b-c-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Свойства сходимости

В этом разделе исключены случаи, когда один или несколько параметров являются отрицательными целыми числами, поскольку в этих случаях либо гипергеометрический ряд не определен, либо они являются полиномами, поэтому непрерывная дробь заканчивается. Исключены также и другие тривиальные исключения.

В случаях и ряды сходятся всюду, поэтому дробь слева является мероморфной функцией . Непрерывные дроби справа будут сходиться равномерно на любом замкнутом и ограниченном множестве, не содержащем полюсов этой функции. ^[7] ${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$

В случае радиус сходимости ряда равен 1, а дробь слева является мероморфной функцией внутри этого круга. Цепные дроби справа будут сходиться к функции всюду внутри этого круга. ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$

За пределами круга непрерывная дробь представляет собой аналитическое продолжение функции на комплексную плоскость с положительной действительной осью от +1 до точки на бесконечности, удаленной. В большинстве случаев +1 является точкой ветвления, а линия от +1 до положительной бесконечности является точкой ветвления для этой функции. Непрерывная дробь сходится к мероморфной функции на этой области, и она сходится равномерно на любом замкнутом и ограниченном подмножестве этой области, которое не содержит полюсов. ^[8]

Приложения

Сериал0Ф1

У нас есть

${\displaystyle \cosh(z)=\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

${\displaystyle \sinh(z)=z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

так

${\displaystyle \tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2}{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+{}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\cfrac {z^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}.}$

Это конкретное расширение известно как непрерывная дробь Ламберта и восходит к 1768 году. ^[9]

Из этого легко следует, что

${\displaystyle \tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.}$

Расширение tanh можно использовать для доказательства того, что e ⁿ иррационально для любого ненулевого целого числа n (чего, увы, недостаточно для доказательства трансцендентности e ). Расширение tan использовалось как Ламбертом, так и Лежандром для доказательства иррациональности π .

Функцию Бесселя можно записать ${\displaystyle J_{\nu }}$

${\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{0}F_{1}(\nu +1;-{\frac {z^{2}}{4}}),}$

из чего следует

${\displaystyle {\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{}\ddots }}}}}}}}.}$

Эти формулы справедливы также для любого комплексного z .

Сериал1Ф1

С , ${\displaystyle e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)}$ ${\displaystyle 1/e^{z}=e^{-z}}$

${\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{\cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}.}$

С помощью некоторых манипуляций это можно использовать для доказательства представления e в виде простой цепной дроби :

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Функция ошибки erf ( z ), заданная выражением

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt,}$

также можно вычислить с помощью гипергеометрической функции Куммера:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2}).}$

Применяя непрерывную дробь Гаусса, можно получить полезное разложение, справедливое для любого комплексного числа z : ^[10]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Аналогичный аргумент может быть сделан для вывода непрерывных дробных разложений для интегралов Френеля , для функции Доусона и для неполной гамма-функции . Более простая версия аргумента дает два полезных непрерывных дробных разложения показательной функции . ^[11]

Сериал2Ф1

От

${\displaystyle (1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z),}$

${\displaystyle (1-z)^{-b}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{1+{\cfrac {(b-1)z}{2+{\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Легко показать ^[12] , что разложение arctan  z в ряд Тейлора в окрестности нуля имеет вид

${\displaystyle \arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2}).}$

К этому тождеству можно применить непрерывную дробь Гаусса, что даст расширение

${\displaystyle \arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}},}$

которая сходится к главной ветви функции арктангенса на разрезе комплексной плоскости, причем разрез простирается вдоль мнимой оси от i до точки на бесконечности и от − i до точки на бесконечности. ^[13]

Эта конкретная непрерывная дробь сходится довольно быстро, когда z = 1, давая значение π/4 с точностью до семи знаков после запятой по девятой подходящей дроби. Соответствующий ряд

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\pm \cdots }$

сходится гораздо медленнее, для получения точности в семь знаков после запятой требуется более миллиона членов. ^[14]

Вариации этого аргумента можно использовать для получения непрерывных дробных расширений для натурального логарифма , функции арксинуса и обобщенного биномиального ряда .

Примечания

1. Джонс и Трон (1980) стр. 5
2. CF Gauss (1813), Werke, vol. 3 стр. 134–38.
3. Б. Риман (1863), «Sullo svolgimento del quoziente di Due Series ipgeometriche in Frazione Continua Infinita» в Werke . стр. 400–406. (Посмертный фрагмент).
4. Л.В. Томе (1867), «Über die Kettenbruchentwicklung des Gauß'schen Quotienten ...», Jour. для математики. том. 67 стр. 299–309.
5. Э. Б. Ван Флек (1901), «О сходимости цепной дроби Гаусса и других цепных дробей». Annals of Mathematics , т. 3, стр. 1–18.
6. Франк, Э. (1956). «Новый класс разложений непрерывных дробей для отношений гипергеометрических функций». Trans. Am. Math. Soc . 81 (2): 453–476. JSTOR  1992927. MR  0076937.
7. Джонс и Трон (1980) стр. 206
8. Уолл, 1973 (стр. 339)
9. Уолл (1973) стр. 349.
10. Джонс и Трон (1980) с. 208.
11. См. пример в статье Таблица Паде для разложения e ^z в виде непрерывных дробей Гаусса.
12. ДоказательствоWiki
13. Уолл (1973) стр. 343. Обратите внимание, что i и − i являются точками ветвления для функции арктангенса.
14. Джонс и Трон (1980) с. 202.

Ссылки

• Джонс, Уильям Б.; Трон, У. Дж. (1980). Непрерывные дроби: теория и применение . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company. стр. 198–214. ISBN 0-201-13510-8.
• Wall, HS (1973). Аналитическая теория непрерывных дробей . Chelsea Publishing Company . стр. 335–361. ISBN 0-8284-0207-8.
  (Это переиздание тома, первоначально опубликованного D. Van Nostrand Company, Inc. в 1948 году.)
• Вайсштейн, Эрик В. «Цепная дробь Гаусса». MathWorld .