Непрерывный посет

В теории порядка непрерывный посет — это частично упорядоченное множество , в котором каждый элемент является направленной супремумом аппроксимирующих его элементов.

Определения

Пусть будет двумя элементами предупорядоченного множества . Тогда мы говорим, что приближается или что значительно ниже , если выполняются следующие два эквивалентных условия. $a,b\in P$ $(P,\lesssim )$ $а$ $б$ $а$ $б$

Для любого направленного множества такого, что , существует такое, что . $D\subseteq P$ $b\lesssim \sup D$ $d\in D$ $a\lesssim d$
Для любого идеала такого, что , . $I\subseteq P$ $b\lesssim \sup I$ $а\в I$

Если аппроксимирует , мы пишем . Отношение аппроксимации является транзитивным отношением , которое слабее исходного порядка, также антисимметричным, если является частично упорядоченным множеством , но не обязательно предпорядком . Это предпорядок тогда и только тогда, когда удовлетворяет условию возрастающей цепи . ^[1]^{: стр.52, Примеры I-1.3, (4)} $а$ $б$ $а\вс б$ $\ll$ $P$ $(P,\lesssim )$

Для любого пусть $a\in P$

\mathop {\Uparrow } a=\{b\in L\mid a\ll b\}

\mathop {\Downarrow } a=\{b\in L\mid b\ll a\}

Тогда — верхнее множество , а нижнее множество . Если — верхняя полурешетка , то — направленное множество (то есть подразумевает ), а значит, — идеал . $\mathop {\Uparrow } а$ $\mathop {\Downarrow } a$ $P$ $\mathop {\Downarrow } a$ $b,c\ll a$ $b\vee c\ll a$

Предварительно упорядоченное множество называется непрерывным предварительным множеством , если для любого подмножество направлено и . $(P,\lesssim )$ $a\in P$ $\mathop {\Downarrow } a$ $a=\sup \mathop {\Downarrow } a$

Характеристики

Свойство интерполяции

Для любых двух элементов непрерывного предупорядоченного множества , тогда и только тогда, когда для любого направленного множества такого, что , существует такое, что . Из этого следует интерполяционное свойство непрерывного предупорядоченного множества : для любого такого, что существует такое , что . $a,b\in P$ $(P,\lesssim )$ $a\ll b$ $D\subseteq P$ $b\lesssim \sup D$ $d\in D$ $a\ll d$ $(P,\lesssim )$ $a,b\in P$ $a\ll b$ $c\in P$ $a\ll c\ll b$

Непрерывный dcpos

Для любых двух элементов непрерывного dcpo следующие два условия эквивалентны. ^[1]^{: стр.61, Предложение I-1.19(i)} $a,b\in P$ $(P,\leq )$

$a\ll b$ и . $a\neq b$
Для любого направленного множества такого, что , существует такое, что и . $D\subseteq P$ $b\leq \sup D$ $d\in D$ $a\ll d$ $a\neq d$

Используя это, можно показать, что следующее более сильное интерполяционное свойство верно для непрерывных dcpos. Для любого такого, что и , существует такое, что и . ^[1]^{: стр.61, Предложение I-1.19(ii)} $a,b\in P$ $a\ll b$ $a\neq b$ $c\in P$ $a\ll c\ll b$ $a\neq c$

Для dcpo следующие условия эквивалентны. ^[1]^{: Теорема I-1.10} $(P,\leq )$

$P$ является непрерывным.
Отображение супремума из частично упорядоченного множества идеалов в имеет левый сопряженный . $\sup \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P$ $P$ $P$

В этом случае фактический левый сопряженный элемент равен

{\Downarrow }\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)

{\mathord {\Downarrow }}\dashv \sup

Непрерывные полные решетки

Для любых двух элементов полной решетки , тогда и только тогда, когда для любого подмножества такого, что , существует конечное подмножество такое, что . $a,b\in L$ $L$ $a\ll b$ $A\subseteq L$ $b\leq \sup A$ $F\subseteq A$ $a\leq \sup F$

Пусть — полная решетка . Тогда следующие условия эквивалентны. $L$

$L$ является непрерывным.
Отображение супремума из полной решетки идеалов в сохраняет произвольную нижнюю грань . $\sup \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L$ $L$ $L$
Для любого семейства направленных множеств , . ${\mathcal {D}}$ $L$ $\textstyle \inf _{D\in {\mathcal {D}}}\sup D=\sup _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\inf _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$
$L$ изоморфно образу идемпотентного отображения , непрерывного по Скотту, на прямой степени произвольного числа двухточечных решеток . ^[2]^{: стр.56, Теорема 44} $r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }$ $\{0,1\}$

Непрерывную полную решетку часто называют непрерывной решеткой .

Примеры

Решетки открытых множеств

Для топологического пространства следующие условия эквивалентны. $X$

Полная алгебра Гейтинга открытых множеств является непрерывной полной алгеброй Гейтинга . $\operatorname {Open} (X)$ $X$
Пространство является локально компактным (в том смысле, что каждая точка имеет компактную локальную базу ). $X$
$X$ является экспоненциальным объектом в категории топологических пространств . ^[1]^{: с.196, Теорема II-4.12} То есть, функтор имеет правый сопряженный . $\operatorname {Top}$ $(-)\times X\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top}$

Ссылки

^ abcde Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). Непрерывные решетки и области . Энциклопедия математики и ее приложений. Т. 93. Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.
^ Гретцер, Джордж (2011). Теория решеток: Основы . Базель: Springer. doi :10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001.

Внешние ссылки

«Непрерывная решетка», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
«Ядро-компактное пространство», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Непрерывный ч.у.м. в n Lab
Постоянная категория в n Lab
Экспоненциальный закон для пространств в n Lab
Непрерывное частично упорядоченное множество в PlanetMath .