Неприкасаемый номер

Число, которое нельзя записать в виде аликвотной суммы

В математике неприкосновенное число — это целое положительное число , которое нельзя выразить как сумму всех собственных делителей любого положительного целого числа. То есть эти числа не входят в образ функции суммы аликвот . Их исследование восходит, по крайней мере, к Абу Мансуру аль-Багдади (около 1000 г. н.э.), который заметил, что и 2, и 5 являются неприкасаемыми. ^[1]

Примеры

Если мы нарисуем стрелку, указывающую от каждого положительного целого числа к сумме всех его собственных делителей, не будет стрелки, указывающей на неприкосновенные числа, такие как 2 и 5.

• Число 4 не является неприкасаемым, так как оно равно сумме собственных делителей 9: 1 + 3 = 4.
• Число 5 неприкосновенно, так как оно не является суммой собственных делителей любого положительного целого числа: 5 = 1 + 4 — единственный способ записать 5 как сумму различных положительных целых чисел, включая 1, но если 4 делит число, 2 тоже, поэтому 1 + 4 не может быть суммой всех собственных делителей любого числа (поскольку список множителей должен содержать и 4, и 2).
• Число 6 не является неприкосновенным, так как оно равно сумме собственных делителей самого числа 6: 1 + 2 + 3 = 6.

Первые несколько неприкасаемых чисел:

2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246, 248 , 262 , 268 , 276 , 288 , 290 , , 304 , 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (последовательность A005114 в OEIS ).

Характеристики

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли нечетные неприкасаемые числа, кроме 5?

(еще нерешенные задачи по математике)

Считается, что число 5 — единственное нечетное неприкосновенное число, но это не доказано. Это следовало бы из несколько более сильной версии гипотезы Гольдбаха , поскольку сумма собственных делителей pq (с p , q различными простыми числами) равна 1 + p + q . Таким образом, если число n можно записать в виде суммы двух различных простых чисел, то n + 1 не является неприкосновенным числом. Ожидается, что каждое четное число больше 6 представляет собой сумму двух различных простых чисел, поэтому, вероятно, ни одно нечетное число больше 7 не является неприкосновенным числом, и , , , поэтому только 5 может быть нечетным неприкасаемым числом. ^[2] Таким образом, оказывается, что, кроме 2 и 5, все неприкосновенные числа являются составными числами (поскольку, кроме 2, все четные числа являются составными). Ни одно совершенное число не является неприкасаемым, поскольку оно, по крайней мере, может быть выражено как сумма собственных делителей . Точно так же ни одно из дружественных или общительных чисел не является неприкасаемым. Кроме того, ни одно из чисел Мерсенна не является неприкасаемым, поскольку M _n = 2 ⁿ − 1 равно сумме собственных делителей 2 ⁿ . ${\displaystyle 1=\sigma (2)-2}$ ${\displaystyle 3=\sigma (4)-4}$ ${\displaystyle 7=\sigma (8)-8}$

Никакое неприкосновенное число не может быть на единицу больше, чем простое число , поскольку если p — простое число, то сумма собственных делителей p2 равна  p + 1. Кроме того, ни одно неприкосновенное число не может быть на три больше ^,  чем простое число, за исключением 5, поскольку если p — нечетное простое число, то сумма собственных делителей 2 p равна  p  + 3.

Бесконечность

Неприкасаемых чисел бесконечно много, и этот факт доказал Пол Эрдеш . ^[3] По данным Чена и Чжао, их естественная плотность составляет не менее d > 0,06. ^[4]

Смотрите также

• Аликвотная последовательность
• Невнимательный
• Некотентиент
• Странное число

Рекомендации

1. Сезиано, Дж. (1991), «Две проблемы теории чисел в исламские времена», Архив истории точных наук , 41 (3): 235–238, doi : 10.1007/BF00348408, JSTOR  41133889, MR  1107382, S2CID  115235810
2. Более сильная версия получается путем добавления к гипотезе Гольдбаха дополнительного требования, чтобы два простых числа были различны - см. Адамс-Уоттерс, Франк и Вайсштейн, Эрик В. «Неприкасаемое число». Математический мир .
3. П. Эрдос, Über die Zahlen der Form und . Элементы математики. 28 (1973), 83-86 ${\displaystyle \sigma (n)-n}$ ${\displaystyle n-\phi (n)}$
4. Юн-Гао Чен и Цин-Цин Чжао, Неаликвотные числа, Опубл. Математика. Дебрецен 78:2 (2011), стр. 439–442.

• Ричард К. Гай , Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; раздел Б10. 

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A070015 (наименьшее m такое, что сумма аликвотных частей m равна n или 0, если такого числа не существует)