Идеальное число

Целое число, равное сумме своих собственных делителей

Иллюстрация совершенного числового статуса числа 6

В теории чисел совершенное число — это положительное целое число , равное сумме своих положительных собственных делителей , то есть делителей, исключающих само число. Например, 6 имеет собственные делители 1, 2 и 3, а 1 + 2 + 3 = 6, поэтому 6 — совершенное число. Следующее совершенное число — 28, так как 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Первые четыре совершенных числа — 6 , 28 , 496 и 8128. ^[1 ]

Сумма собственных делителей числа называется его аликвотной суммой , поэтому совершенное число — это число, которое равно своей аликвотной сумме. Эквивалентно, совершенное число — это число, которое равно половине суммы всех своих положительных делителей; в символах, где — функция суммы делителей . ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$

Это определение древнее, оно встречается ещё в «Началах » Евклида (VII.22), где оно называется τέλειος ἀριθμός ( совершенное , идеальное или полное число ). Евклид также доказал правило образования (IX.36), согласно которому является чётным совершенным числом, если является простым числом вида для положительного целого числа — то, что сейчас называется простым числом Мерсенна . Два тысячелетия спустя Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют этот вид. ^[2] Это известно как теорема Евклида–Эйлера . ${\displaystyle q(q+1)/2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle p}$

Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа и существует ли бесконечно много совершенных чисел.

История

Около 300 г. до н. э. Евклид показал, что если 2 ^p  − 1 является простым числом, то 2 ^{p −1} (2 ^p  − 1) является совершенным числом. Первые четыре совершенных числа были единственными, известными ранней греческой математике , а математик Никомах заметил 8128 еще около 100 г. н. э. ^[3] На современном языке Никомах утверждает без доказательств, что каждое совершенное число имеет вид , где является простым числом. ^{[4] [5]} Он, похоже, не знает, что само n должно быть простым числом. Он также говорит (ошибочно), что совершенные числа попеременно заканчиваются на 6 или 8. (Первые 5 совершенных чисел заканчиваются цифрами 6, 8, 6, 8, 6; но шестое также заканчивается на 6.) Филон Александрийский в своей книге первого века «О сотворении мира» упоминает совершенные числа, утверждая , что мир был создан за 6 дней, а луна совершает оборот за 28 дней, потому что 6 и 28 являются совершенными. За Филоном следуют Ориген ^[6] и Дидим Слепой , который добавляет наблюдение, что существует только четыре совершенных числа, которые меньше 10 000. (Комментарий к Книге Бытия 1. 14–19). ^[7] Святой Августин определяет совершенные числа в «О граде Божьем» (Книга XI, Глава 30) в начале V века нашей эры, повторяя утверждение, что Бог сотворил мир за 6 дней, потому что 6 — наименьшее совершенное число. Египетский математик Исмаил ибн Фаллус (1194–1252) упомянул следующие три совершенных числа (33 550 336; 8 589 869 056; и 137 438 691 328) и перечислил еще несколько, которые, как теперь известно, являются неправильными. ^[8] Первое известное европейское упоминание пятого совершенного числа — это рукопись, написанная между 1456 и 1461 годами неизвестным математиком. ^[9] В 1588 году итальянский математик Пьетро Катальди определил шестое (8 589 869 056) и седьмое (137 438 691 328) совершенные числа, а также доказал, что каждое совершенное число, полученное из правила Евклида, заканчивается на 6 или 8. ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$

Даже совершенные числа

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много совершенных чисел?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Евклид доказал, что является четным совершенным числом, если является простым ( Начала , предложение IX.36). ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$

Например, первые четыре совершенных числа генерируются по формуле, где p — простое число , следующим образом: ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p=2&:\quad 2^{1}(2^{2}-1)=2\times 3=6\\p=3&:\quad 2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28\\p=5&:\quad 2^{4}(2^{5}-1)=16\times 31=496\\p=7&:\quad 2^{6}(2^{7}-1)=64\times 127=8128.\end{aligned}}}$$

Простые числа вида известны как простые числа Мерсенна , в честь монаха семнадцатого века Марина Мерсенна , который изучал теорию чисел и совершенные числа. Для того, чтобы быть простым, необходимо, чтобы само p было простым. Однако не все числа вида с простым p являются простыми; например, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 не является простым числом. ^[a] На самом деле, простые числа Мерсенна встречаются очень редко: из простых чисел p вплоть до 68 874 199 является простым только для 48 из них. ^[13] ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$

В то время как Никомах утверждал (без доказательства), что все совершенные числа имеют вид , где является простым (хотя он утверждал это несколько иначе), Ибн аль-Хайтам (Альхазен) около 1000 г. н. э. не хотел заходить так далеко, заявив вместо этого (также без доказательства), что формула выдает только каждое четное совершенное число. ^[14] Только в 18 веке Леонард Эйлер доказал, что формула выдаст все четные совершенные числа. Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна; каждое простое число Мерсенна порождает одно четное совершенное число, и наоборот. Этот результат часто называют теоремой Евклида–Эйлера . ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

Исчерпывающий поиск в рамках проекта распределенных вычислений GIMPS показал, что первые 48 четных совершенных чисел предназначены для ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 и 57885161 (последовательность A000043 в OEIS ). ^[13]

Также были обнаружены три более высоких совершенных числа, а именно те, для которых p = 74207281, 77232917 и 82589933. Хотя все еще возможно, что в этом диапазоне могут быть и другие, первоначальные, но исчерпывающие тесты GIMPS не выявили других совершенных чисел для p ниже 109332539. По состоянию на декабрь 2018 года ^{[обновлять]}известно 51 простое число Мерсенна ^[15] и, следовательно, 51 четное совершенное число (наибольшее из которых — 2 ^82589932 × (2 ^82589933 − 1) с 49 724 095 цифрами). Неизвестно, существует ли бесконечно много совершенных чисел, и существует ли бесконечно много простых чисел Мерсенна.

Помимо того, что каждое четное совершенное число имеет форму , каждое четное совершенное число является -ым треугольным числом (и, следовательно, равным сумме целых чисел от 1 до ) и -ым шестиугольным числом . Кроме того, каждое четное совершенное число, за исключением 6, является -ым центрированным девятиугольным числом и равно сумме первых нечетных кубов (нечетные кубы до куба ): ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle (2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2^{p}+1}{3}}}$ ${\displaystyle 2^{\frac {p-1}{2}}}$ ${\displaystyle 2^{\frac {p+1}{2}}-1}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7\\&&&=1^{3}+3^{3}\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}\end{alignedat}}}$$

Даже совершенные числа (кроме 6) имеют вид $${\displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{(2^{p}-2)/3}}$$

с каждым полученным треугольным числом T ₇ = 28 , T ₃₁ = 496 , T ₁₂₇ = 8128 (после вычитания 1 из совершенного числа и деления результата на 9), заканчивающимся на 3 или 5, последовательность начинается с T ₂ = 3 , T ₁₀ = 55 , T ₄₂ = 903 , T ₂₇₃₀ = 3727815, ... ^[16] Из этого следует, что сложение цифр любого четного совершенного числа (кроме 6), затем сложение цифр полученного числа и повторение этого процесса до тех пор, пока не будет получена одна цифра (называемая цифровым корнем ), всегда дает число 1. Например, цифровой корень числа 8128 равен 1, потому что 8 + 1 + 2 + 8 = 19 , 1 + 9 = 10 и 1 + 0 = 1 . Это работает со всеми совершенными числами с нечетным простым числом p и, фактически, со всеми числами вида для нечетного целого числа (не обязательно простого) m . ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{m-1}(2^{m}-1)}$

Благодаря своей форме каждое четное совершенное число представляется в двоичной форме как p единиц, за которыми следуют p − 1 нулей, например: ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}6_{10}=&2^{2}+2^{1}&=110_{2}\\28_{10}=&2^{4}+2^{3}+2^{2}&=11100_{2}\\496_{10}=&2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}&=111110000_{2}\\8128_{10}=&\!\!2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}\!\!&=1111111000000_{2}\end{array}}}$$

Таким образом, каждое четное совершенное число является пагубным числом .

Каждое четное совершенное число также является практическим числом (см. Смежные понятия).

Нечетные совершенные числа

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли нечетные совершенные числа?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа, хотя были получены различные результаты. В 1496 году Жак Лефевр заявил, что правило Евклида дает все совершенные числа, ^[17] таким образом подразумевая, что нечетных совершенных чисел не существует, но сам Эйлер заявил: «Существуют ли ... нечетные совершенные числа — это самый сложный вопрос». ^[18] Совсем недавно Карл Померанс представил эвристический аргумент, предполагающий, что на самом деле нечетных совершенных чисел не должно существовать. ^[19] Все совершенные числа также являются гармоническими делителями , и было также высказано предположение, что не существует нечетных гармонических делителей, отличных от 1. Многие из свойств, доказанных для нечетных совершенных чисел, также применимы к числам Декарта , и Пейс Нильсен предположил, что достаточное изучение этих чисел может привести к доказательству того, что нечетных совершенных чисел не существует. ^[20]

Любое нечетное совершенное число N должно удовлетворять следующим условиям:

• N > 10 ¹⁵⁰⁰ . ^[21]
• N не делится на 105. ^[22]
• N имеет вид N ≡ 1 (mod 12) или N ≡ 117 (mod 468) или N ≡ 81 (mod 324). ^[23]
• Наибольший простой множитель числа N больше 10 ^{8 [24]} и меньше ^[25] ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3N}}.}$
• Второй по величине простой множитель больше 10 ⁴ , ^[26] и меньше . ^[27] ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{2N}}}$
• Третий по величине простой множитель больше 100, ^[28] и меньше ^[29] ${\displaystyle {\sqrt[{6}]{2N}}.}$
• N имеет по крайней мере 101 простой множитель и по крайней мере 10 различных простых множителей. ^{[21] [30]} Если 3 не является одним из множителей N , то N имеет по крайней мере 12 различных простых множителей. ^[31]
• N имеет вид

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},}$

где:

• q ,  p ₁ , ...,  p _k — различные нечетные простые числа (Эйлер).
• q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Эйлер).
• Наименьший простой множитель числа N не превышает ^[32] ${\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.}$
• По крайней мере одна из простых степеней, делящих N, превышает 10 ⁶² . ^[21]
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$^{[33] [34]}
• ${\displaystyle \alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {99k-224}{37}}}$. ^{[32] [35] [36]}
• ${\displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}}$. ^[37]
• ${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{k}}}>{\frac {\ln k}{2\ln 2}}}$. ^{[38] [39]}

Кроме того, известно несколько второстепенных результатов о показателях степеней e ₁ , ...,  e _k .

• Не все e _i  ≡ 1 ( mod 3). ^[40]
• Не все e _i  ≡ 2 ( mod 5). ^[41]
• Если все e _i  ≡ 1 ( mod 3) или 2 ( mod 5), то наименьший простой множитель числа N должен лежать между 10 ⁸ и 10 ¹⁰⁰⁰ . ^[41]
• В более общем случае, если все 2 e _i +1 имеют простой множитель в заданном конечном множестве S , то наименьший простой множитель N должен быть меньше эффективно вычислимой константы, зависящей только от S. [ ^41]
• Если ( e ₁ , ...,  e _k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) с t единицами и u двойками, то . ^[42] ${\displaystyle (t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}}$
• ( е ₁ , ...,  е _k ) ≠ (1, ..., 1, 3), ^[43] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6) . ^[44]
• Если е ₁ = ... = ек = _е , то
  • e не может быть 3, ^[45] 5, 24, ^[46] 6, 8, 11, 14 или 18. ^[44]
  • ${\displaystyle k\leq 2e^{2}+8e+2}$и . ^[47] ${\displaystyle N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}}$

В 1888 году Сильвестр заявил: ^[48]

... продолжительное размышление на эту тему убедило меня в том, что существование любого такого [нечетного совершенного числа] — его освобождение, так сказать, от сложной сети условий, которые окружают его со всех сторон — было бы почти чудом.

Незначительные результаты

Все четные совершенные числа имеют очень точную форму; нечетные совершенные числа либо не существуют, либо встречаются редко. Существует ряд результатов о совершенных числах, которые на самом деле довольно легко доказать, но тем не менее, внешне впечатляют; некоторые из них также подпадают под сильный закон малых чисел Ричарда Гая :

• Единственное четное совершенное число вида n ³  + 1 — это 28 (Маковски, 1962). ^[49]
• 28 также является единственным четным совершенным числом, которое является суммой двух положительных кубов целых чисел (Галлардо 2010). ^[50]
• Сумма обратных делителей совершенного числа N должна быть равна 2 (чтобы получить это, возьмем определение совершенного числа, и разделим обе части на n ): ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$
  • Для 6 имеем ; ${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}+{\frac {6}{6}}={\frac {1+2+3+6}{6}}={\frac {2\cdot 6}{6}}=2}$
  • Для 28 имеем и т.д. ${\displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2}$
• Количество делителей совершенного числа (четного или нечетного) должно быть четным, поскольку N не может быть полным квадратом. ^[51]
  • Из этих двух результатов следует, что каждое совершенное число является гармоническим числом Оре .
• Чётные совершенные числа не являются трапециевидными числами ; то есть они не могут быть представлены как разность двух положительных не последовательных треугольных чисел . Существует только три типа не трапециевидных чисел: чётные совершенные числа, степени двойки и числа вида, образованные как произведение простого числа Ферма на степень двойки аналогично построению чётных совершенных чисел из простых чисел Мерсенна. ^[52] ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}+1)}$ ${\displaystyle 2^{n}+1}$
• Число совершенных чисел, меньших n , меньше , где c > 0 — константа. ^[53] Фактически, это , если использовать обозначение с маленьким о . ^[54] ${\displaystyle c{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle o({\sqrt {n}})}$
• Каждое четное совершенное число оканчивается на 6 или 28 в десятичной системе счисления; и, за единственным исключением 6, оканчивается на 1 в девятичной системе счисления. ^{[55] [56]} Поэтому, в частности, цифровой корень каждого четного совершенного числа, отличного от 6, равен 1.
• Единственное совершенное число , свободное от квадратов, — это 6. ^[57]

Связанные концепции

Диаграмма Эйлера для чисел до 100:

   Обильный

   Примитивный обильный

   Очень распространенный

   Сверхобильный и очень сложный

   Колоссально обильный и превосходный, высококомпозитный

   Странный

   Идеальный

   Композитный

   Недостаточный

Сумма собственных делителей дает различные другие виды чисел. Числа, где сумма меньше самого числа, называются недостаточным , а где она больше числа, избыточным . Эти термины, вместе с самим совершенным , пришли из греческой нумерологии . Пара чисел, которые являются суммой собственных делителей друг друга, называются дружественными , а большие циклы чисел называются общительными . Положительное целое число, такое что каждое меньшее положительное целое число является суммой различных его делителей, является практичным числом .

По определению, совершенное число — это неподвижная точка ограниченной функции делителей s ( n ) = σ ( n ) − n , а аликвотная последовательность, связанная с совершенным числом, является постоянной последовательностью. Все совершенные числа также являются -совершенными числами, или числами Гранвиля . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Полусовершенное число — это натуральное число, равное сумме всех или некоторых своих собственных делителей. Полусовершенное число, равное сумме всех своих собственных делителей, является совершенным числом. Большинство обильных чисел также являются полусовершенными; обильные числа, которые не являются полусовершенными, называются странными числами .

Смотрите также

• Гиперсовершенное число
• Группа Лейнстера
• Список простых и совершенных чисел Мерсенна
• Умножить совершенное число
• Суперсовершенные числа
• Унитарное совершенное число
• Гармонический делитель числа

Примечания

1. Все множители сравнимы с 1 mod 2 p . Например, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 , и оба числа 23 и 89 дают остаток 1 при делении на 22. Кроме того, всякий раз, когда p является простым числом Софи Жермен — то есть 2 p + 1 также является простым числом — и 2 p + 1 сравнимо с 1 или 7 mod 8, то 2 p + 1 будет множителем , что имеет место для p = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, ... OEIS : A002515 . ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1,}$

Ссылки

1. "A000396 - OEIS". oeis.org . Получено 2024-03-21 .
2. Колдуэлл, Крис, «Доказательство того, что все четные совершенные числа являются степенью двойки, умноженной на простое число Мерсенна».
3. Диксон, Л. Э. (1919). История теории чисел, т. I. Вашингтон: Институт Карнеги в Вашингтоне. стр. 4.
4. "Совершенные числа". www-groups.dcs.st-and.ac.uk . Получено 9 мая 2018 г. .
5. В главе 16 «Введения в арифметику » он говорит о совершенных числах: «Существует метод их получения, аккуратный и безошибочный, который не пропускает ни одно из совершенных чисел и не упускает ни одного из тех, которые таковыми не являются, и который осуществляется следующим образом». Затем он продолжает объяснять процедуру, которая эквивалентна нахождению треугольного числа на основе простого числа Мерсенна.
6. Комментарий к Евангелию от Иоанна 28.1.1–4, с дальнейшими ссылками в издании Sources Chrétiennes : т. 385, 58–61.
7. Роджерс, Джастин М. (2015). Восприятие арифмологической экзегезы Филона в комментарии Дидима Слепого к Книге Бытия (PDF) . Национальное собрание Общества библейской литературы, Атланта, Джорджия .
8. Рошди Рашед, Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй (Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, 1994), стр. 328–329.
9. Bayerische Staatsbibliothek , Clm 14908. См. Дэвида Юджина Смита (1925). История математики: Том II. Нью-Йорк: Дувр. п. 21. ISBN 0-486-20430-8.
10. Диксон, Л. Э. (1919). История теории чисел, т. I. Вашингтон: Институт Карнеги в Вашингтоне. стр. 10.
11. Пиковер, С. (2001). Чудеса чисел: приключения в математике, разуме и смысле. Оксфорд: Oxford University Press. стр. 360. ISBN 0-19-515799-0.
12. Петерсон, И. (2002). Математические путешествия: от сюрреалистических чисел до магических кругов. Вашингтон: Математическая ассоциация Америки. стр. 132. ISBN 88-8358-537-2.
13. "GIMPS Milestones Report". Great Internet Mersenne Prime Search . Получено 28 июля 2024 г.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
14. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайтам», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
15. "GIMPS Home". Mersenne.org . Получено 2022-07-21 .
16. Вайсштейн, Эрик В. «Совершенное число». MathWorld .
17. Диксон, Л. Э. (1919). История теории чисел, т. I. Вашингтон: Институт Карнеги в Вашингтоне. стр. 6.
18. "Самая старая открытая проблема в математике" (PDF) . Harvard.edu . Получено 16 июня 2023 г. .
19. Oddperfect.org. Архивировано 29.12.2006 на Wayback Machine
20. Надис, Стив (10 сентября 2020 г.). «Математики открывают новый фронт в решении древней числовой проблемы». Журнал Quanta . Получено 10 сентября 2020 г.
21. Ochem, Паскаль; Рао, Микаэль (2012). «Нечетные совершенные числа больше 101500» (PDF) . Mathematics of Computation . 81 (279): 1869–1877. doi : 10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . ISSN  0025-5718. Zbl  1263.11005.
22. Кюнель, Ульрих (1950). «Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 52 : 202–211. дои : 10.1007/BF02230691. S2CID  120754476.
23. Робертс, Т (2008). «О форме нечетного совершенного числа» (PDF) . Australian Mathematical Gazette . 35 (4): 244.
24. Goto, T; Ohno, Y (2008). "Нечетные совершенные числа имеют простой множитель, превышающий 108" (PDF) . Mathematics of Computation . 77 (263): 1859–1868. Bibcode :2008MaCom..77.1859G. doi : 10.1090/S0025-5718-08-02050-9 . Получено 30 марта 2011 г. .
25. Конягин, Сергей; Акваа, Питер (2012). «О простых множителях нечетных совершенных чисел». Международный журнал теории чисел . 8 (6): 1537–1540. doi :10.1142/S1793042112500935.
26. Iannucci, DE (1999). "Второй по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает десять тысяч" (PDF) . Mathematics of Computation . 68 (228): 1749–1760. Bibcode :1999MaCom..68.1749I. doi : 10.1090/S0025-5718-99-01126-6 . Получено 30 марта 2011 г. .
27. Зелинский, Джошуа (июль 2019 г.). «Верхние границы второго по величине простого множителя нечетного совершенного числа». International Journal of Number Theory . 15 (6): 1183–1189. arXiv : 1810.11734 . doi : 10.1142/S1793042119500659. S2CID  62885986..
28. Iannucci, DE (2000). "Третий по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает сотню" (PDF) . Mathematics of Computation . 69 (230): 867–879. Bibcode :2000MaCom..69..867I. doi : 10.1090/S0025-5718-99-01127-8 . Получено 30 марта 2011 г. .
29. Бибби, Шон; Винке, Питер; Зелински, Джошуа (23 ноября 2021 г.). «О третьем наибольшем простом делителе нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 21 . Получено 6 декабря 2021 г. .
30. Nielsen, Pace P. (2015). "Нечетные совершенные числа, диофантовы уравнения и верхние границы" (PDF) . Mathematics of Computation . 84 (295): 2549–2567. doi : 10.1090/S0025-5718-2015-02941-X . Получено 13 августа 2015 г. .
31. Nielsen, Pace P. (2007). «Нечетные совершенные числа имеют по крайней мере девять различных простых множителей» (PDF) . Mathematics of Computation . 76 (260): 2109–2126. arXiv : math/0602485 . Bibcode :2007MaCom..76.2109N. doi :10.1090/S0025-5718-07-01990-4. S2CID  2767519 . Получено 30 марта 2011 г. .
32. Zelinsky, Joshua (3 августа 2021 г.). «О полном числе простых множителей нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 21 . Получено 7 августа 2021 г. .
33. Чэнь, Юн-Гао; Тан, Цуй-Э (2014). «Улучшенные верхние границы для нечетных мультисовершенных чисел». Бюллетень Австралийского математического общества . 89 (3): 353–359. doi : 10.1017/S0004972713000488 .
34. Nielsen, Pace P. (2003). «Верхняя граница для нечетных совершенных чисел». Целые числа . 3 : A14–A22 . Получено 23 марта 2021 г.
35. Охем, Паскаль; Рао, Микаэль (2014). «О числе простых множителей нечетного совершенного числа». Математика вычислений . 83 (289): 2435–2439. doi : 10.1090/S0025-5718-2013-02776-7 .
36. Грэм Клейтон, Коди Хансен (2023). «О неравенствах, включающих подсчеты простых множителей нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 23 . arXiv : 2303.11974 . Получено 29 ноября 2023 г. .
37. Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). «О радикале совершенного числа». New York Journal of Mathematics . 16 : 23–30 . Получено 7 декабря 2018 г.
38. Коэн, Грэм (1978). «О нечетных совершенных числах». Fibonacci Quarterly . 16 (6): 523-527.
39. Сурьянараяна, Д. (1963). «О нечетных совершенных числах II». Труды Американского математического общества . 14 : 896–904.
40. Макдэниел, Уэйн Л. (1970). «Несуществование нечетных совершенных чисел определенной формы». Archiv der Mathematik . 21 (1): 52–53. doi :10.1007/BF01220877. ISSN  1420-8938. MR  0258723. S2CID  121251041.
41. Fletcher, S. Adam; Nielsen, Pace P.; Ochem, Pascal (2012). "Методы решета для нечетных совершенных чисел" (PDF) . Mathematics of Computation . 81 (279): 1753–1776. doi : 10.1090/S0025-5718-2011-02576-7 . ISSN  0025-5718. MR  2904601.
42. Коэн, Г. Л. (1987). «О наибольшем компоненте нечетного совершенного числа». Журнал Австралийского математического общества, Серия A. 42 ( 2): 280–286. doi : 10.1017/S1446788700028251 . ISSN  1446-8107. MR  0869751.
43. Канольд, Ханс-Иоахим [на немецком языке] (1950). «Satze uber Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlenteoretisehe Issuee. II». Журнал для королевы и математики . 188 (1): 129–146. дои : 10.1515/crll.1950.188.129. ISSN  1435-5345. MR  0044579. S2CID  122452828.
44. Cohen, GL; Williams, RJ (1985). «Расширения некоторых результатов, касающихся нечетных совершенных чисел» (PDF) . Fibonacci Quarterly . 23 (1): 70–76. ISSN  0015-0517. MR  0786364.
45. Хагис, Питер младший; Макдэниел, Уэйн Л. (1972). «Новый результат, касающийся структуры нечетных совершенных чисел». Труды Американского математического общества . 32 (1): 13–15. doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0292740-5 . ISSN  1088-6826. MR  0292740.
46. Макдэниел, Уэйн Л.; Хагис, Питер младший (1975). «Некоторые результаты, касающиеся несуществования нечетных совершенных чисел вида p α M 2 β {\displaystyle p^{\alpha }M^{2\beta }} » (PDF) . Fibonacci Quarterly . 13 (1): 25–28. ISSN  0015-0517. MR  0354538.
47. Ямада, Томохиро (2019). «Новая верхняя граница для нечетных совершенных чисел специального вида». Colloquium Mathematicum . 156 (1): 15–21. arXiv : 1706.09341 . doi : 10.4064/cm7339-3-2018. ISSN  1730-6302. S2CID  119175632.
48. Сборник математических статей Джеймса Джозефа Сильвестра с. 590, тр. из «Sur les nombres dits de Hamilton», Compte Rendu de l'Association Française (Тулуза, 1887), стр. 164–168.
49. Маковски, А. (1962). «Замечание о совершенных числах». Elem. Math . 17 (5): 109.
50. Галлардо, Луис Х. (2010). «О замечании Маковски о совершенных числах». Elem. Math . 65 (3): 121–126. doi : 10.4171/EM/149 ..
51. Ян, Сонг И. (2012), Вычислительная теория чисел и современная криптография, John Wiley & Sons, Раздел 2.3, Упражнение 2(6), ISBN 9781118188613.
52. Джонс, Крис; Лорд, Ник (1999). «Характеристика нетрапециевидных чисел». The Mathematical Gazette . 83 (497). The Mathematical Association: 262–263. doi :10.2307/3619053. JSTOR  3619053. S2CID  125545112.
53. Хорнфек, Б. (1955). «Zur Dichte der Menge der vollkommenen zahlen». Арх. Математика . 6 (6): 442–443. дои : 10.1007/BF01901120. S2CID  122525522.
54. Канольд, HJ (1956). «Eine Bemerkung ¨uber die Menge der vollkommenen zahlen». Математика. Энн . 131 (4): 390–392. дои : 10.1007/BF01350108. S2CID  122353640.
55. Х. Новарезе. Примечание sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16.
56. Диксон, Л. Э. (1919). История теории чисел, т. I. Вашингтон: Институт Карнеги в Вашингтоне. стр. 25.
57. Редмонд, Дон (1996). Теория чисел: Введение в чистую и прикладную математику. Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. Т. 201. CRC Press. Задача 7.4.11, стр. 428. ISBN 9780824796969..

Источники

• Евклид, «Начала» , книга IX, предложение 36. Перевод и обсуждение этого предложения и его доказательства см. на веб-сайте Д. Э. Джойса.
• Канольд, Х.-Дж. (1941). «Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen». Журнал для королевы и математики . 1941 (183): 98–109. дои : 10.1515/crll.1941.183.98. S2CID  115983363.
• Стойервальд, Р. «Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl». С.-Б. Байер. Акад. Висс . 1937 : 69–72.

Дальнейшее чтение

• Нанкар, М.Л.: «История совершенных чисел», Ганита Бхарати 1, № 1–2 (1979), 7–8.
• Хагис, П. (1973). «Нижняя граница для множества нечетных совершенных простых чисел». Математика вычислений . 27 (124): 951–953. doi : 10.2307/2005530 . JSTOR  2005530.
• Риле, Х. Дж. Дж. «Совершенные числа и аликвотные последовательности» в книге Х. В. Ленстра и Р. Тиджеман (ред.): Вычислительные методы в теории чисел , т. 154, Амстердам, 1982, стр. 141–157.
• Ризель, Х. Простые числа и компьютерные методы факторизации , Биркхаузер, 1985.
• Шандор, Йожеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 15–98. ISBN 1-4020-2546-7. Збл  1079.11001.

Внешние ссылки

• «Совершенное число», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Дэвид Моус: Идеальные, дружелюбные и общительные числа
• Совершенные числа – История и теория
• Вайсштейн, Эрик В. «Совершенное число». MathWorld .
• Последовательность OEIS A000396 (Совершенные числа)
• OddPerfect.org Проект распределенных вычислений для поиска нечетных совершенных чисел.
• Великий интернет-поиск простых чисел Мерсенна (GIMPS)
• Perfect Numbers, математический форум в Drexel.
• Граймс, Джеймс. "8128: Perfect Numbers". Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2013-05-31 . Получено 2013-04-02 .