Практический номер

Число такое, что его и все меньшие числа можно представить как суммы его различных делителей.

Демонстрация практичности числа 12

В теории чисел практическое число или панарифмическое число ^[1] представляет собой такое положительное целое число , что все меньшие положительные целые числа могут быть представлены как суммы различных делителей числа . Например, 12 — практическое число, потому что все числа от 1 до 11 можно выразить как суммы его делителей 1, 2, 3, 4 и 6: как и сами эти делители, у нас есть 5 = ​​3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 и 11 = 6 + 3 + 2. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Последовательность практических чисел (последовательность A005153 в OEIS ) начинается

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

Практические числа использовались Фибоначчи в его «Liber Abaci» (1202) в связи с проблемой представления рациональных чисел в виде египетских дробей . Фибоначчи формально не дает определения практических чисел, но он дает таблицу разложения египетских дробей для дробей с практическими знаменателями. ^[2]

Название «практическое число» принадлежит Шринивасану (1948). Он отметил, что «подразделения денег, весов и мер включают числа вроде 4, 12, 16, 20 и 28, которые обычно считаются настолько неудобными, что заслуживают замены степенями 10». Его частичная классификация этих чисел была завершена Стюартом (1954) и Серпинским (1955). Эта характеристика позволяет определить, является ли число практичным, исследуя его простую факторизацию. Каждое четное совершенное число и каждая степень двойки также является практическим числом.

Также было показано, что практические числа аналогичны простым числам по многим своим свойствам. ^[3]

Характеристика практических чисел

В исходной характеристике Шринивасана (1948) говорилось, что практическое число не может быть недостающим числом , то есть таким, у которого сумма всех делителей (включая 1 и само себя) меньше чем в два раза больше числа, если только недостача не равна единице. Если упорядоченный набор всех делителей практического числа равен и , то утверждение Шринивасана можно выразить неравенством. Другими словами, упорядоченная последовательность всех делителей практического числа должна быть полной подпоследовательностью . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {d_{1},d_{2},...,d_{j}}}$ ${\displaystyle d_{1}=1}$ ${\displaystyle d_{j}=n}$ $${\displaystyle 2n\leq 1+\sum _{i=1}^{j}d_{i}.}$$ ${\displaystyle {d_{1}<d_{2}<...<d_{j}}}$

Эта частичная характеристика была расширена и дополнена Стюартом (1954) и Серпинским (1955), которые показали, что легко определить, является ли число практичным, исходя из его простой факторизации . Положительное целое число больше единицы с разложением простых чисел (с простыми числами в отсортированном порядке ) практично тогда и только тогда, когда каждый из его простых делителей достаточно мал, чтобы его можно было представить в виде суммы меньших делителей. Чтобы это было правдой, первое простое число должно равняться 2, и для каждого i от 2 до  k каждое последующее простое число должно подчиняться неравенству ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}-1}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}})\sigma (p_{2}^{\alpha _{2}})\dots \sigma (p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},}$

где обозначает сумму делителей x . Например, 2 × 3 ² × 29 × 823 = 429606 практично, поскольку приведенное выше неравенство справедливо для каждого из его простых множителей: 3 ≤ σ(2) + 1 = 4, 29 ≤ σ(2 × 3 ² ) + 1 = 40 и 823 ≤ σ(2 × 3 ² × 29) + 1 = 1171. ${\displaystyle \sigma (x)}$

Условие, изложенное выше, является необходимым и достаточным для того, чтобы число было практичным. С одной стороны, это условие необходимо для того, чтобы иметь возможность представить в виде суммы делителей , потому что, если бы неравенство не было истинным, то даже сложение всех меньших делителей дало бы сумму, слишком малую для достижения . В обратном направлении условие является достаточным, как показывает индукция. Более строго, если факторизация удовлетворяет приведенному выше условию, то любой может быть представлен как сумма делителей с помощью следующей последовательности шагов: ^[4] ${\displaystyle p_{i}-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{i}-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\leq \sigma (n)}$ ${\displaystyle n}$

• Индукцией по можно показать, что . Следовательно . ${\displaystyle j\in [1,\alpha _{k}]}$ ${\displaystyle p_{k}^{j}\leq 1+\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}-(j-1)})}$ ${\displaystyle p_{k}^{\alpha _{k}}\leq 1+\sigma (n/p_{k})}$
• Поскольку внутренности прикрывают , есть такие и такие то . ${\displaystyle [qp_{k}^{\alpha _{k}},qp_{k}^{\alpha _{k}}+\sigma (n/p_{k})]}$ ${\displaystyle [1,\sigma (n)]}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r\in [0,\sigma (n/p_{k})]}$ ${\displaystyle m=qp_{k}^{\alpha _{k}}+r}$
• Поскольку по индукции можно показать, что и практично, мы можем найти представление q в виде суммы делителей . ${\displaystyle q\leq \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})}$ ${\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ${\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}}$
• Поскольку , и поскольку практическая целесообразность может быть доказана по индукции, мы можем найти представление r как сумму делителей . ${\displaystyle r\leq \sigma (n/p_{k})}$ ${\displaystyle n/p_{k}}$ ${\displaystyle n/p_{k}}$
• Делители, представляющие r , вместе с умножением каждого из делителей, представляющих q , вместе образуют представление m как сумму делителей . ${\displaystyle p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ${\displaystyle n}$

Характеристики

• Единственным нечетным практическим числом является 1, потому что если нечетное число больше 2, то 2 не может быть выражено как сумма различных делителей . Более убедительно Шринивасан (1948) отмечает, что, кроме 1 и 2, каждое практическое число делится на 4 или 6 (или на то и другое). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Произведение двух практических чисел также является практичным числом. ^[5] Аналогично, множество всех практических чисел замкнуто при умножении. Более того, наименьшее общее кратное любых двух практических чисел также является практическим числом.
• Из приведенной выше характеристики Стюарта и Серпинского видно, что если это практическое число и является одним из его делителей, то оно также должно быть практичным числом. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\cdot d}$
• В множестве всех практических чисел имеется примитивный набор практических чисел. Примитивное практическое число либо практично и не содержит квадратов , либо практично и при делении на любой из его простых множителей, показатель факторизации которого больше 1, больше не практично. Последовательность примитивных практических чисел (последовательность A267124 в OEIS ) начинается

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

• Каждое положительное целое число имеет практическое кратное. Например, для каждого целого числа практичным является его кратное число . ^[6] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{\lfloor \log _{2}n\rfloor }n}$

Связь с другими классами чисел

Несколько других примечательных наборов целых чисел состоят только из практических чисел:

• Из приведенных выше свойств практическое число и один из его делителей (то есть ) также должны быть практическим числом, поэтому шесть раз каждая степень 3 должно быть практическим числом, так же как шесть раз каждая степень 2. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d|n}$ ${\displaystyle n\cdot d}$
• Каждая степень двойки является практическим числом. ^[7] Степени двойки тривиально удовлетворяют характеристике практических чисел с точки зрения их простой факторизации: единственное простое число в их факторизации, p ₁ , равно двум, как и требуется.
• Каждое четное совершенное число также является практическим числом. ^{[7] Из результата} Леонарда Эйлера следует , что четное совершенное число должно иметь вид . Нечетная часть этой факторизации равна сумме делителей четной части, поэтому каждый нечетный простой делитель такого числа должен быть не более суммой делителей четной части числа. Следовательно, это число должно удовлетворять характеристике практических чисел. Аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать, что четное совершенное число, разделенное на 2, больше непрактично. Следовательно, каждое четное совершенное число также является примитивным практическим числом. ${\displaystyle 2^{k-1}(2^{k}-1)}$
• Каждое примитивное число ( для некоторых — произведение первых простых чисел ) практично. ^[7] Для первых двух первородных, второго и шестого, это ясно. Каждое последующее простое число образуется путем умножения простого числа на меньшее простое число, которое делится как на два, так и на следующее меньшее простое число, . По постулату Бертрана , , поэтому каждый последующий простой множитель в простом множителе меньше одного из делителей предыдущего простого числа. По индукции следует, что каждый первоначальный элемент удовлетворяет характеристике практических чисел. Поскольку первичное число по определению не содержит квадратов, оно также является примитивным практическим числом. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i-1}}$ ${\displaystyle p_{i}<2p_{i-1}}$
• Обобщая первоначальные числа, можно сказать, что любое число, являющееся произведением ненулевых степеней первых простых чисел, также должно быть практичным. Сюда входят сложные числа Рамануджана (числа, у которых делителей больше, чем у любого меньшего положительного целого числа), а также факториалы . ^[7] ${\displaystyle k}$

Практические числа и египетские дроби

Если это практически возможно, то любое рациональное число вида с можно представить в виде суммы , каждое из которых является отдельным делителем . Каждый член этой суммы упрощается до единичной дроби , поэтому такая сумма представляет собой египетскую дробь . Например, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m/n}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\textstyle \sum d_{i}/n}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m/n}$ $${\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}$$

Фибоначчи в своей книге «Liber Abaci» ^{1202 года [2]} перечисляет несколько методов поиска представлений рационального числа в виде египетских дробей. Из них первый — проверить, является ли само число уже единичной дробью, а второй — найти представление числителя в виде суммы делителей знаменателя, как описано выше. Этот метод гарантированно будет успешным только для практических знаменателей. Фибоначчи предоставляет таблицы этих представлений для дробей, имеющих в знаменателях практические числа 6, 8, 12, 20, 24, 60 и 100.

Восе (1985) показал, что каждое рациональное число имеет представление египетской дроби с помощью членов. Доказательство включает в себя нахождение последовательности практических чисел со свойством, что каждое число меньшее может быть записано как сумма различных делителей . Затем выбирается так, что , и делится на частное и остаток . Из этих выборов следует, что . Разложение обоих числителей в правой части этой формулы в суммы делителей приводит к желаемому представлению египетской дроби. Тененбаум и Йокота (1990) используют аналогичную технику, включающую другую последовательность практических чисел, чтобы показать, что каждое рациональное число имеет представление египетской дроби, в которой наибольший знаменатель равен . ${\displaystyle x/y}$ ${\displaystyle O({\sqrt {\log y}})}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle O({\sqrt {\log n_{i-1}}})}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n_{i-1}<y<n_{i}}$ ${\displaystyle xn_{i}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle x/y}$ ${\displaystyle O(y\log ^{2}y/\log \log y)}$

Согласно гипотезе Чжи-Вэй Сунь , выдвинутой в сентябре 2015 года , ^[8] каждое положительное рациональное число имеет представление египетской дроби, в котором каждый знаменатель является практическим числом. Гипотезу доказал Дэвид Эппштейн  (2021).

Аналогии с простыми числами

Одна из причин интереса к практическим числам заключается в том, что многие из их свойств аналогичны свойствам простых чисел . Действительно, для практических чисел известны теоремы, аналогичные гипотезе Гольдбаха и гипотезе о простых числах-близнецах : каждое положительное четное целое число является суммой двух практических чисел, и существует бесконечно много троек практических чисел . ^[9] Мелфи также показал ^[10] , что существует бесконечно много практических чисел Фибоначчи (последовательность A124105 в OEIS ); аналогичный вопрос о существовании бесконечного числа простых чисел Фибоначчи остается открытым. Хаусман и Шапиро (1984) показали, что всегда существует практическое число в интервале для любого положительного действительного числа - результат, аналогичный гипотезе Лежандра для простых чисел. Более того, при всех достаточно больших интервал содержит много практических чисел. ^[11] ${\displaystyle (x-2,x,x+2)}$ ${\displaystyle [x^{2},(x+1)^{2})]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x-x^{0.4872},x]}$

Давайте посчитаем, сколько практических чисел не более . Маргенштерн (1991) предположил, что для некоторой константы это является асимптотической формулой, которая напоминает теорему о простых числах , усиливая более раннее утверждение Эрдёша и Локстона (1979) о том, что практические числа имеют нулевую плотность в целых числах. Улучшив оценку Тененбаума (1986), Сайас (1997) обнаружил, что она имеет порядок величины . Вайнгартнер (2015) доказал гипотезу Маргенштерна. У нас есть ^[12] , где ^[13] Таким образом, практических чисел примерно на 33,6% больше, чем простых чисел. Точное значение постоянного множителя дано в ^[14] где – константа Эйлера–Машерони , пробегающая простые числа. ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle cx/\log x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle x/\log x}$ $${\displaystyle p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right)\right),}$$ ${\displaystyle c=1.33607...}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle c={\frac {1}{1-e^{-\gamma }}}\sum _{n\ {\text{practical}}}{\frac {1}{n}}{\Biggl (}\sum _{p\leq \sigma (n)+1}{\frac {\log p}{p-1}}-\log n{\Biggr )}\prod _{p\leq \sigma (n)+1}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$

Как и в случае с простыми числами в арифметической прогрессии, учитывая два натуральных числа и , мы имеем ^[15] Постоянный множитель положителен тогда и только тогда, когда существует более одного практического числа, конгруэнтного . Если , то . Например, около 38,26% практических чисел имеют последнюю десятичную цифру 0, а последние цифры 2, 4, 6, 8 встречаются с одинаковой относительной частотой 15,43%. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle |\{n\leq x:n{\text{ practical and }}n\equiv a{\bmod {q}}\}|={\frac {c_{q,a}x}{\log x}}+O_{q}\left({\frac {x}{(\log x)^{2}}}\right).}$$ ${\displaystyle c_{q,a}}$ ${\displaystyle a{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle \gcd(q,a)=\gcd(q,b)}$ ${\displaystyle c_{q,a}=c_{q,b}}$

Примечания

1. Маргенштерн (1991) цитирует Робинсона (1979) и Хейворта (1980) в названии «панарифмических чисел».
2. Сиглер (2002).
3. Хаусман и Шапиро (1984); Маргенштерн (1991); Мелфи (1996); Сайас (1997).
4. Стюарт (1954); Серпинский (1955).
5. Маргенштерн (1991).
6. Эппштейн (2021).
7. Шринивасан (1948).
8. Сунь, Чжи-Вэй, Гипотеза о единичных дробях, включающих простые числа (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 19 октября 2018 г. , получено 22 ноября 2016 г.
9. Мелфи (1996).
10. Мелфи (1995)
11. Вайнгартнер (2022).
12. Вайнгартнер (2015) и Примечание 1 Pomerance & Weingartner (2021)
13. Вайнгартнер (2020).
14. Вайнгартнер (2019).
15. Вайнгартнер (2021)

Рекомендации

• Эппштейн, Дэвид (2021), «Египетские дроби со знаменателями из последовательностей, замкнутых при удвоении», Journal of Integer Sequences , 24 : 21.8.8, arXiv : 2109.12217
• Эрдеш, Пол ; Локстон, Дж. Х. (1979), «Некоторые проблемы в partitio numerorum», Журнал Австралийского математического общества, серия A , 27 (3): 319–331, doi : 10.1017/S144678870001243X.
• Хейворт, MR (1980), «Подробнее о панарифмических числах», New Zealand Math. Маг. , 17 (1): 24–28. Цитируется Маргенштерном (1991).
• Хаусман, Мириам; Шапиро, Гарольд Н. (1984), «О практических числах», Communications on Pure and Applied Mathematics , 37 (5): 705–713, doi : 10.1002/cpa.3160370507, MR  0752596.
• Маргенштерн, Морис (1984), «Результаты и предположения о практических числах», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 299 (18): 895–898. Цитируется Маргенштерном (1991).
• Маргенштерн, Морис (1991), «Les nombres pratiques: теория, наблюдения и гипотезы», Journal of Number Theory , 37 (1): 1–36, doi : 10.1016/S0022-314X(05)80022-8 , MR  1089787.
• Мелфи, Джузеппе (1995), «Обзор практических чисел», Rend. Сем. Мат. унив. Пол. Турин , 53 (4): 347–359.
• Мелфи, Джузеппе (1996), «О двух гипотезах о практических числах», Journal of Number Theory , 56 (1): 205–210, doi : 10.1006/jnth.1996.0012 , MR  1370203.
• Митринович, Драгослав С.; Шандор, Йожеф; Крстичи, Борислав (1996), «III.50 Практические числа», Справочник по теории чисел, Том 1 , Математика и ее приложения, том. 351, Kluwer Academic Publishers, стр. 118–119, ISBN. 978-0-7923-3823-9.
• Померанс, К.; Вайнгартнер, А. (2021), «О простых и практических числах», Ramanujan Journal , 57 (3): 981–1000, arXiv : 2007.11062 , doi : 10.1007/s11139-020-00354-y, S2CID  220686445.
• Робинсон, Д.Ф. (1979), «Египетские дроби с помощью греческой теории чисел», New Zealand Math. Маг. , 16 (2): 47–52. Цитируется Маргенштерном (1991) и Митриновичем, Шандором и Крстичи (1996).
• Сайас, Эрик (1997), «Entiers à diviseurs Denses, I», Journal of Number Theory , 62 (1): 163–191, doi : 10.1006/jnth.1997.2057 , MR  1430008.
• Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002), Liber Abaci Фибоначчи , Springer-Verlag, стр. 119–121, ISBN 0-387-95419-8.
• Серпинский, Вацлав (1955), «Sur une proprieté des nombres naturals», Annali di Matematica Pura ed Applicata , 39 (1): 69–74, doi : 10.1007/BF02410762 , S2CID  121592840.
• Сринивасан, AK (1948), «Практические цифры» (PDF) , Current Science , 17 : 179–180, MR  0027799, заархивировано из оригинала (PDF) 5 марта 2016 г..
• Стюарт, Б.М. (1954), «Суммы различных делителей», Американский журнал математики , 76 (4), The Johns Hopkins University Press: 779–785, doi : 10.2307/2372651, JSTOR  2372651, MR  0064800.
• Тененбаум, Г. (1986), «Sur un problème de crible et ses application», Ann. наук. Эколь Норм. Как дела. (4) , 19 (1 ): 1–30, doi : 10.24033/asens.1502 , MR  0860809.
• Тененбаум, Г .; Йокота, Х. (1990), «Длина и знаменатели египетских дробей», Journal of Number Theory , 35 (2): 150–156, doi : 10.1016/0022-314X(90)90109-5 , MR  1057319.
• Восе, М. (1985), «Египетские дроби», Бюллетень Лондонского математического общества , 17 (1): 21, doi : 10.1112/blms/17.1.21, MR  0766441.
• Вайнгартнер, А. (2015), «Практические числа и распределение делителей», The Quarterly Journal of Mathematics , 66 (2): 743–758, arXiv : 1405.2585 , doi : 10.1093/qmath/hav006.
• Вайнгартнер, А. (2019), «О постоянном множителе в нескольких связанных асимптотических оценках», Mathematics of Computation , 88 (318): 1883–1902, arXiv : 1705.06349 , doi : 10.1090/mcom/3402, S2CID  85532616.
• Вайнгартнер, А. (2020), «Постоянный множитель в асимптотике практических чисел», Международный журнал теории чисел , 16 (3): 629–638, arXiv : 1906.07819 , doi : 10.1142/S1793042120500311, S2CID  195069356.
• Вайнгартнер, А. (2021), «Расширение теоремы Зигеля-Вальфиса», Proceedings of the American Mathematical Society , 149 (11): 4699–4708, arXiv : 2011.06627 , doi : 10.1090/proc/15607, S2CID  226956079.
• Вайнгартнер, А. (2022), «Несколько гладкие числа на коротких интервалах», Ramanujan Journal , 60 (2): 447–453, arXiv : 2105.13568 , doi : 10.1007/s11139-022-00552-w, S2CID  235247868.

Внешние ссылки

• Таблицы практических чисел. Архивировано 26 декабря 2017 г. на Wayback Machine, составлено Джузеппе Мелфи.
• Практическое число в PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. , «Практическое число», MathWorld.