Неразложимый континуум

Топологический континуум, не определяемый как объединение любых двух собственных подконтинуумов

Первые четыре этапа построения ручки ковша как предела серии вложенных пересечений

В топологии точечных множеств неразложимый континуум — это континуум , который неразложим, т. е. который не может быть выражен как объединение любых двух его собственных подконтинуумов. В 1910 году Л. Э. Брауэр был первым, кто описал неразложимый континуум.

Неразложимые континуумы ​​использовались топологами как источник контрпримеров . Они также встречаются в динамических системах .

Определения

Континуум — это непустое компактное связное метрическое пространство . Дуга , n -сфера и куб Гильберта являются примерами линейно связных континуумов; синусоида тополога является примером континуума, который не является линейно связным. Варшавская окружность — это линейно связный континуум, который не является локально линейно связным. Субконтинуум континуума — это замкнутое связное подмножество . Пространство невырождено , если оно не равно одной точке. Континуум разложим, если существуют два подконтинуума и из , такие, что и , но . Отсюда следует, что и невырождены. Неразложимый континуум является неразложимым континуумом . Континуум , в котором каждый подконтинуум неразложим, называется наследственно неразложимым . Композит неразложимого континуума — это максимальное множество, в котором любые две точки лежат внутри некоторого собственного подконтинуума . Континуум неприводим между и , если и никакой собственный подконтинуум не содержит обе точки. Для невырожденного неразложимого метрического континуума существует несчетное подмножество такое, что неприводимо между любыми двумя точками . ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\neq C}$ ${\displaystyle B\neq C}$ ${\displaystyle A\cup B=C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle c,c'\in C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$

История

Пятый этап озер Вада

В 1910 году LEJ Brouwer описал неразложимый континуум, который опроверг гипотезу Артура Морица Шёнфлиса о том, что если и являются открытыми, связными, непересекающимися множествами в такими, что , то должно быть объединением двух замкнутых, связных собственных подмножеств. ^[2] Зигмунт Янишевский описал больше таких неразложимых континуумов, включая версию ручки ведра. Однако Янишевский сосредоточился на неприводимости этих континуумов. В 1917 году Кунизо Ёнеяма описал озера Вада (названные в честь Такео Вада ), общая граница которых неразложима. В 1920-х годах неразложимые континуумы ​​начали изучаться Варшавской школой математики в Fundamenta Mathematicae ради них самих, а не как патологические контрпримеры. Стефан Мазуркевич был первым, кто дал определение неразложимости. В 1922 году Бронислав Кнастер описал псевдодугу , первый обнаруженный пример наследственно неразложимого континуума. ^[3] ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \partial X_{1}=\partial X_{2}}$ ${\displaystyle \partial X_{1}=\partial X_{2}}$

Пример ручки ковша

Неразложимые континуумы ​​часто строятся как предел последовательности вложенных пересечений или (в более общем смысле) как обратный предел последовательности континуумов. Ручка ведра, или континуум Брауэра–Янишевского–Кнастера, часто считается простейшим примером неразложимого континуума и может быть построен таким образом (см. вверху справа). В качестве альтернативы возьмем троичное множество Кантора, спроецированное на интервал оси - в плоскости. Пусть будет семейством полуокружностей над осью - с центром и с концами на (которое симметрично относительно этой точки). Пусть будет семейством полуокружностей под осью - с центром в середине интервала и с концами в . Пусть будет семейством полуокружностей под осью - с центром в середине интервала и с концами в . Тогда объединение всех таких будет ручкой ведра. ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (1/2,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [2/3,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [2/3^{i},3/3^{i}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3^{i},3/3^{i}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$

Ручка ковша не допускает борелевской трансверсали, то есть не существует борелевского множества, содержащего ровно одну точку из каждой составляющей.

Характеристики

В некотором смысле, «большинство» континуумов неразложимы. Пусть будет -ячейкой с метрикой , множеством всех непустых замкнутых подмножеств , и гиперпространством всех связных членов , снабженным метрикой Хаусдорфа, определяемой . Тогда множество невырожденных неразложимых подконтинуумов плотно в . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2^{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C(M)}$ ${\displaystyle 2^{M}}$ ${\displaystyle H_{d}}$ ${\displaystyle H_{d}(A,B)=\max\{\sup\{d(a,B):a\in A\},\sup\{d(b,A):b\in B\}\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C(M)}$

В динамических системах

В 1932 году Джордж Биркгоф описал свою «замечательную замкнутую кривую», гомеоморфизм кольца , который содержал инвариантный континуум. Мари Шарпантье показала, что этот континуум неразложим, первое звено между неразложимыми континуумами и динамическими системами. Инвариантным множеством определенного подковообразного отображения Смейла является ручка ведра. Марси Барж и другие широко изучали неразложимые континуумы ​​в динамических системах. ^[5]

Смотрите также

• Неразложимость (конструктивная математика)
• Озера Вада , три открытых подмножества плоскости, граница которых является неразложимым континуумом
• Соленоид
• ковер Серпинского

Ссылки

1. Надлер, Сэм (2017). Теория континуума: Введение. CRC Press. ISBN 9781351990530.
2. Брауэр, LEJ (1910), "Zur Analysis Situs", Mathematische Annalen , 68 (3): 422–434, doi : 10.1007/BF01475781, S2CID  120836681
3. Кук, Говард; Ингрэм, Уильям Т.; Куперберг, Кристина; Лелек, Эндрю; Минц, Петр (1995). Continua: With the Houston Problem Book. CRC Press. стр. 103. ISBN 9780824796501.
4. Ингрэм, У. Т.; Махавье, Уильям С. (2011). Обратные пределы: от континуума к хаосу. Springer Science & Business Media. стр. 16. ISBN 9781461417972.
5. Кеннеди, Джуди (1 декабря 1993 г.). «Как неразложимые континуумы ​​возникают в динамических системах». Annals of the New York Academy of Sciences . 704 (1): 180–201. Bibcode : 1993NYASA.704..180K. doi : 10.1111/j.1749-6632.1993.tb52522.x. ISSN  1749-6632. S2CID  85143246.

Внешние ссылки

• Солецки, С. (2002). «Дескриптивная теория множеств в топологии». В Hušek, M.; van Mill, J. (ред.). Недавний прогресс в общей топологии II . Elsevier. стр. 506–508. ISBN 978-0-444-50980-2.
• Кассельман, Билл (2014), «О обложке» (PDF) , Уведомления AMS , 61 : 610, 676объясняет изображение неразложимого континуума, представленное Брауэром на обложке журнала.