Неточный дифференциал

Неточный дифференциал или несовершенный дифференциал — это дифференциал , интеграл которого зависит от пути. Чаще всего он используется в термодинамике для выражения изменений величин, зависящих от пути, таких как тепло и работа, но в более общем смысле в математике определяется как тип дифференциальной формы . Напротив, интеграл от точного дифференциала всегда не зависит от пути, поскольку интеграл инвертирует дифференциальный оператор. Следовательно, величина с неточным дифференциалом не может быть выражена как функция только переменных, входящих в дифференциал. То есть его ценность нельзя определить, просто взглянув на начальное и конечное состояния данной системы. ^[1] Неточные дифференциалы в основном используются в расчетах, связанных с теплом и работой, поскольку они являются функциями пути , а не функциями состояния .

Определение

Неточный дифференциал — это дифференциал, для которого интеграл по некоторым двум путям с одинаковыми концами различен. В частности, существуют интегрируемые пути такие , что и ${\displaystyle \delta u}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)}$ ${\displaystyle \gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)}$

$${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}\delta u\not =\int _{\gamma _{2}}\delta u}$$

${\displaystyle \Delta u|_{\gamma _{1}}}$ ${\displaystyle \Delta u|_{\gamma _{2}}}$ ${\displaystyle u}$

В более общем смысле, неточный дифференциал — это дифференциальная форма , которая не является точным дифференциалом , т. е . для всех функций ${\displaystyle \delta u}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \mathrm {d} f\neq \delta u}$$

Фундаментальная теорема исчисления линейных интегралов требует независимости от пути, чтобы выразить значения данного векторного поля через частные производные другой функции, которая является многомерным аналогом первообразной. Это связано с тем, что не может быть однозначного представления первообразной для неточных дифференциалов, поскольку их изменение по разным путям несовместимо. Это условие независимости пути является необходимым дополнением к фундаментальной теореме исчисления, поскольку в одномерном исчислении существует только один путь между двумя точками, определяемыми функцией.

Обозначения

Термодинамика

Вместо дифференциального символа d используется символ δ — соглашение, возникшее в XIX веке в работе немецкого математика Карла Готфрида Неймана [ ^2] и указывающее, что Q (тепло) и W (работа) зависят от пути, а U (внутренняя энергия) нет.

Статистическая механика

В статистической механике неточные дифференциалы часто обозначаются чертой через дифференциальный оператор đ . ^[3] В LaTeX команда "\rlap{\textrm{d}}{\bar{\phantom{w}}}" является приближением или просто "\dj" для символа красителя , для которого требуется кодировка T1 . ^{[ нужна цитата ]}

Математика

В математике неточные дифференциалы обычно называют просто дифференциальными формами , которые часто записываются так же . ^[4] ${\displaystyle \omega }$

Примеры

Общее расстояние

Когда вы идете от точки к точке вдоль линии (не меняя направления), ваше чистое перемещение и общее пройденное расстояние равны длине указанной линии . Если вы затем вернетесь в точку (не меняя направления), то ваше чистое смещение будет равно нулю, а общее пройденное расстояние будет равно . Этот пример отражает основную идею неточного дифференциала в одном измерении. Обратите внимание, что если бы мы позволили себе менять направление, то мы могли бы сделать шаг вперед, а затем назад в любой момент времени при переходе от к и тем самым увеличить общее пройденное расстояние до сколь угодно большого числа, сохраняя при этом чистое смещение. константа, отсюда и поговорка: два шага вперед, один шаг назад. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Переработав вышеизложенное с помощью дифференциалов и приняв его вдоль оси -, чистый дифференциал расстояний будет точным дифференциалом с первообразной . С другой стороны, полный дифференциал расстояний равен , который не имеет первообразной. Выбранный путь — это такой путь, когда существует время , которое строго увеличивается до этого и строго уменьшается после. Тогда положительное значение до и отрицательное после, что дает интегралы: ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f=\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |\mathrm {d} x|}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \Delta f=\int _{\gamma }\mathrm {d} x=0}$$

$${\displaystyle \Delta g|_{\gamma }=\int _{\gamma }|\mathrm {d} x|=\int _{A}^{B}\mathrm {d} x+\int _{B}^{A}(-\mathrm {d} x)=2\int _{A}^{B}\mathrm {d} x=2AB}$$

Первый закон термодинамики

Неточные дифференциалы явно проявляются в первом законе термодинамики .

$${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q-\delta W}$$

цикла Карно ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \delta Q}$ ${\displaystyle \delta W}$ ${\displaystyle \delta Q=TdS}$ ${\displaystyle \delta W=PdV}$ ${\displaystyle \delta Q}$ ${\displaystyle \delta W}$

Внутренняя энергия U является функцией состояния , то есть ее изменение можно определить, просто сравнивая два разных состояния системы (независимо от пути ее перехода), которые мы поэтому можем указать с помощью U ₁ и U ₂ . Поскольку мы можем перейти из состояния U ₁ в состояние U ₂ либо за счет выделения тепла Q = U ₂ − U ₁ , либо работы W = U ₂ − U ₁ , такое изменение состояния не позволяет однозначно определить объем работы W, выполненной с системой передается или тепло Q , а только изменение внутренней энергии Δ U .

Тепло и работа

Для пожара требуется тепло, топливо и окислитель. Энергия, необходимая для преодоления энергетического барьера активации горения, передается в виде тепла в систему, что приводит к изменению внутренней энергии системы. В процессе затраты энергии для разжигания огня могут включать в себя как работу, так и тепло, например, когда человек трет трут (работа) и испытывает трение (тепло), чтобы разжечь огонь. Последующее горение является сильно экзотермическим с выделением тепла. Общее изменение внутренней энергии не раскрывает способ передачи энергии и количественно определяет только чистую работу и тепло. Разница между начальным и конечным состояниями внутренней энергии системы не учитывает масштабы происходящих энергетических взаимодействий. Следовательно, внутренняя энергия — это функция состояния (т. е. точный дифференциал), тогда как тепло и работа — это функции пути (т. е. неточные дифференциалы), поскольку интегрирование должно учитывать выбранный путь.

Интегрирующие факторы

Иногда удается преобразовать неточный дифференциал в точный с помощью интегрирующего множителя . Наиболее распространенным примером этого в термодинамике является определение энтропии :

$${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\delta Q_{\text{rev}}}{T}}}$$

δQδWтемпературу и_revS

Пример

Рассмотрим неточную дифференциальную форму:

$${\displaystyle \delta u=2y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y.}$$

(1,1)yxyxyxx ${\textstyle \int _{0}^{1}x\,dy|_{x=0}=0}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}2y\,\mathrm {\mathrm {d} } x|_{y=1}=2}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}2y\,\mathrm {d} x|_{y=0}+\int _{0}^{1}x\,\mathrm {d} y|_{x=1}=1}$ ${\displaystyle \delta u}$

$${\displaystyle x\,\delta u=2xy\,\mathrm {d} x+x^{2}\,\mathrm {d} y=\mathrm {\mathrm {d} } (x^{2}y)}$$

${\displaystyle x\,\delta u}$

Смотрите также

• Закрытые и точные дифференциальные формы для лечения более высокого уровня.
• Дифференциал (математика)
• Точный дифференциал
• Точное дифференциальное уравнение
• Интегрирующий коэффициент для решения неточных дифференциальных уравнений путем придания им точности
• Консервативное векторное поле

Рекомендации

1. Лейдлер, Кейт, Дж. (1993). Мир физической химии . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-855919-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Нойманн, Карл Г. (1875). Vorlesungen über die mechanische Theorie der Wärme [ Лекции по механической теории теплоты ]. Лейпциг: Тойбнер.
3. Рейф, Фредрик (1965). Основы статистической и теплофизики . МакГроу Хилл.
4. Рудин, Уолтер (2013). Принципы математического анализа . МакГроу Хилл.

Внешние ссылки

• Неточный дифференциал – из Wolfram MathWorld
• Точные и неточные дифференциалы – Университет Аризоны
• Точные и неточные дифференциалы – Техасский университет
• Точный дифференциал – из Wolfram MathWorld