Неопределенная топология

В математике , особенно в области функционального анализа и топологических векторных пространств , нечеткая топология является примером слабой* топологии , которая возникает при изучении мер на локально компактных хаусдорфовых пространствах .

Пусть будет локально компактным хаусдорфовым пространством . Пусть будет пространством комплексных радоновских мер на и обозначим сопряженное банахово пространство комплексных непрерывных функций на , исчезающих на бесконечности , снабженное равномерной нормой . По теореме Рисса о представлении изометрично Изометрия отображает меру в линейный функционал ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}}$ ${\displaystyle C_{0}(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle I_{\mu }(f):=\int _{X}f\,d\mu .}$

Нечеткая топология — это слабая-* топология на Соответствующая топология на , индуцированная изометрией из , также называется нечеткой топологией на Таким образом, в частности, последовательность мер нечетко сходится к мере всякий раз, когда для всех тестовых функций ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}.}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}}$ ${\displaystyle M(X).}$ ${\displaystyle \left(\mu _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f\in C_{0}(X),}$

${\displaystyle \int _{X}fd\mu _{n}\to \int _{X}fd\mu .}$

Также не редкость определять нечеткую топологию посредством двойственности с непрерывными функциями, имеющими компактный носитель , то есть последовательность мер сходится нечетко к мере всякий раз, когда указанная выше сходимость имеет место для всех тестовых функций. Эта конструкция приводит к другой топологии. В частности, топология, определяемая двойственностью с , может быть метризуемой, тогда как топология, определяемая двойственностью с , не является метризуемой. ${\displaystyle C_{c}(X),}$ ${\displaystyle \left(\mu _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f\in C_{c}(X).}$ ${\displaystyle C_{c}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$

Одно из приложений этого — теория вероятностей : например, центральная предельная теорема по сути является утверждением о том, что если являются вероятностными мерами для определенных сумм независимых случайных величин , то они слабо (а затем неопределенно) сходятся к нормальному распределению , то есть мера является «приблизительно нормальной» для больших ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Смотрите также

• Список топологий  – Список конкретных топологий и топологических пространств

Ссылки

• Дьедонне, Жан (1970), "§13.4. Неопределенная топология", Трактат об анализе , т. II, Academic Press.
• Дж. Б. Фолланд , Реальный анализ: современные методы и их применение, 2-е изд., John Wiley & Sons, Inc., 1999.

В данной статье использованы материалы из Weak-* топологии пространства мер Радона на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .