Контурный набор

В математике контурные множества обобщают и формализуют повседневные представления о

• все, что превосходит что-либо
• все, что превосходит или эквивалентно чему-либо
• все, что хуже чего-либо
• все, что ниже или эквивалентно чему-либо.

Формальные определения

Дано отношение пар элементов множества​ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \succcurlyeq ~\subseteq ~X^{2}}$

и элемент ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle x\in X}$

Верхний контурный набор — это набор всего того , что относится к : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}}$

Нижний контурный набор — это набор всех таких, которые с ними связаны: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}}$

Строгий верхний контурный набор — это набор всех тех, которые связаны с , не будучи при этом связанными ни с одним из них: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~(y\succcurlyeq x)\land \lnot (x\succcurlyeq y)\right\}}$

Строгий нижний контурный набор — это набор всех таких, которые связаны с ними, при этом ни один из них не связан таким образом с : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~(x\succcurlyeq y)\land \lnot (y\succcurlyeq x)\right\}}$

Формальные выражения последних двух можно упростить, если мы определили

${\displaystyle \succ ~=~\left\{\left(a,b\right)~\backepsilon ~\left(a\succcurlyeq b\right)\land \lnot (b\succcurlyeq a)\right\}}$

так что связано с , но не связано с , в этом случае строгий верхний контурный набор равен ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}}$

и строгий нижний контурный набор - это ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}}$

Контурные множества функции

В случае функции, рассматриваемой в терминах отношения , ссылка на контурные множества функции неявно относится к контурным множествам подразумеваемого отношения. ${\displaystyle f()}$ ${\displaystyle \triangleright }$

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\triangleright f(b)]}$

Примеры

Арифметика

Рассмотрим действительное число и отношение . Тогда ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \geq }$

• верхний контурный набор будет набором чисел, которые больше или равны , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• строгий верхний контурный набор будет набором чисел, которые больше , чем , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• нижний контурный набор будет набором чисел, которые меньше или равны , и ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• строгий нижний контурный набор будет представлять собой набор чисел, которые меньше . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Рассмотрим, в более общем плане, отношение

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]}$

Затем

• верхний контурный набор будет набором всех таких, что , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(y)\geq f(x)}$
• строгий верхний контурный набор будет набором всех таких, что , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(y)>f(x)}$
• нижний контурный набор будет набором всех таких, что , и ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$
• строгий нижний контурный набор будет набором всех таких , что . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)>f(y)}$

Технически было бы возможно определить контурные множества в терминах отношения

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\leq f(b)]}$

хотя такие определения, как правило, затрудняют непосредственное понимание.

В случае действительной функции (аргументы которой могут быть или не быть действительными числами) ссылка на контурные множества функции неявно относится к контурным множествам отношения ${\displaystyle f()}$

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]}$

Обратите внимание, что аргументами могут быть векторы , а используемая вместо этого нотация может быть ${\displaystyle f()}$

${\displaystyle [(a_{1},a_{2},\ldots )\succcurlyeq (b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]}$

Экономика

В экономике множество можно интерпретировать как набор товаров и услуг или возможных результатов , отношение как строгое предпочтение , а отношение как слабое предпочтение . Тогда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$

• верхний контурный набор, или лучше набор , ^[1] будет набором всех товаров, услуг или результатов, которые были бы по крайней мере столь же желаемы , как , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• строгий верхний контурный набор будет набором всех товаров, услуг или результатов, которые были бы более желательны , чем , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• нижний контурный набор, или худший набор , ^[1] будет набором всех товаров, услуг или результатов, которые не более желательны , чем , и ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• строгий нижний контурный набор будет представлять собой набор всех товаров, услуг или результатов, которые менее желательны , чем . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Такие предпочтения могут быть отражены функцией полезности , и в этом случае ${\displaystyle u()}$

• верхний контурный набор будет набором всех таких, что , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(y)\geq u(x)}$
• строгий верхний контурный набор будет набором всех таких, что , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(y)>u(x)}$
• нижний контурный набор будет набором всех таких, что , и ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(x)\geq u(y)}$
• строгий нижний контурный набор будет набором всех таких , что . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(x)>u(y)}$

Взаимодополняемость

При условии, что является полным упорядочением , дополнением к верхнему контурному множеству является строгий нижний контурный набор. ${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}}$

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}=\left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}}$

а дополнением строгого верхнего контурного множества является нижнее контурное множество.

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}=\left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}}$

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}}$

Смотрите также

• Эпиграф
• Гипограф

Ссылки

1. Роберт П. Жиль (1996). Экономический обмен и социальная организация: Эджвортианские основы теории общего равновесия. Springer. стр. 35. ISBN 9780792342007.

Библиография

• Андреу Мас-Колелл , Майкл Д. Уинстон и Джерри Р. Грин, Микроэкономическая теория ( LCC  HB172.M6247 1995), стр. 43. ISBN 0-19-507340-1 (ткань) ISBN 0-19-510268-1 (бумага)