Центральная серия

Нормальный ряд подгрупп, указывающих на почти коммутативность

В математике , особенно в областях теории групп и теории Ли , центральный ряд — это разновидность нормального ряда подгрупп или подалгебр Ли , выражающая идею о том, что коммутатор почти тривиален. Для групп существование центрального ряда означает, что это нильпотентная группа ; для матричных колец (рассматриваемых как алгебры Ли) это означает, что в некотором базисе кольцо состоит целиком из верхних треугольных матриц с постоянной диагональю.

В статье используется язык теории групп; аналогичные термины используются для алгебр Ли.

Общая группа обладает нижним центральным рядом и верхним центральным рядом (также называемыми нисходящим центральным рядом и восходящим центральным рядом соответственно), но они являются центральными рядами в строгом смысле (заканчивающимися в тривиальной подгруппе) тогда и только тогда, когда группа нильпотентна . Связанная, но отличная конструкция — это производный ряд , который заканчивается в тривиальной подгруппе всякий раз, когда группа разрешима .

Определение

Центральная серия — это последовательность подгрупп

${\displaystyle \{1\}=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \dots \triangleleft A_{n}=G}$

так что последовательные факторы являются центральными ; то есть, , где обозначает коммутантную подгруппу, порожденную всеми элементами вида , с g в G и h в H . Поскольку , подгруппа нормальна в G для каждого i . Таким образом, мы можем перефразировать «центральное» условие выше как: является нормальным в G и является центральным в для каждого i . Как следствие, является абелевым для каждого i . ${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}}$ ${\displaystyle [G,H]}$ ${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$ ${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}}$ ${\displaystyle A_{i+1}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$ ${\displaystyle G/A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$

Центральный ряд аналогичен в теории Ли флагу , который строго сохраняется присоединенным действием (более прозаично, базису, в котором каждый элемент представлен строго верхней треугольной матрицей); сравните теорему Энгеля .

Группа не обязательно должна иметь центральный ряд. Фактически, группа имеет центральный ряд тогда и только тогда, когда она является нильпотентной группой . Если группа имеет центральный ряд, то существуют два центральных ряда, члены которых являются экстремальными в определенных смыслах. Поскольку A ₀ = {1}, центр Z ( G ) удовлетворяет A ₁ ≤ Z ( G ). Следовательно, максимальный выбор для A ₁ — это A ₁ = Z ( G ). Продолжая таким образом выбирать наибольшее возможное A _{i + 1} при заданном A _{i ,} получаем то, что называется верхним центральным рядом . Двойственно, поскольку A _n  =  G , коммутантная подгруппа [ G , G ] удовлетворяет [ G , G ] = [ _G , An ] _≤ An − ₁ . Следовательно, минимальный выбор для A _{n − 1} — это [ G , G ]. Продолжая выбирать A _i минимально заданное A _{i + 1} такое, что [ G , A _{i + 1} ] ≤ A _{i ,} получаем то, что называется нижним центральным рядом . Эти ряды можно построить для любой группы, и если группа имеет центральный ряд (является нильпотентной группой), эти процедуры дадут центральный ряд.

Нижняя центральная серия

Нижний центральный ряд (или нисходящий центральный ряд ) группы G — это нисходящий ряд подгрупп

Г = Г ₁ ⊵ Г ₂ ⊵ ⋯ ⊵ Г _n ⊵ ⋯,

где, для каждого n ,

${\displaystyle G_{n+1}=[G_{n},G]}$,

подгруппа G , порожденная всеми коммутаторами с и . Таким образом, , производная подгруппа G , в то время как , и т.д. Нижний центральный ряд часто обозначается . Мы говорим , что ряд заканчивается или стабилизируется, когда , и наименьшее такое n является длиной ряда. ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x\in G_{n}}$ ${\displaystyle y\in G}$ ${\displaystyle G_{2}=[G,G]=G^{(1)}}$ ${\displaystyle G_{3}=[[G,G],G]}$ ${\displaystyle \gamma _{n}(G)=G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots }$

Это не следует путать с производным рядом , члены которого

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]}$,

не . Два ряда связаны соотношением . Например, симметрическая группа S ₃ разрешима класса 2: производный ряд — S ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ { e } . Но он не нильпотентен: его нижний центральный ряд S ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} не заканчивается на { e }. Нильпотентная группа — это разрешимая группа , и ее производная длина логарифмична в ее классе нильпотентности (Schenkman 1975, p. 201,216). ${\displaystyle G_{n}=[G_{n-1},G]}$ ${\displaystyle G^{(n)}\leq G_{n}}$

Для бесконечных групп можно продолжить нижний центральный ряд до бесконечных порядковых чисел с помощью трансфинитной рекурсии : для предельного порядкового числа λ определим

${\displaystyle G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}}$.

Если для некоторого ординала λ , то говорят, что G является гипоцентральной группой . Для каждого ординала λ существует группа G такая, что , но для всех , (Мальцев 1949). ${\displaystyle G_{\lambda }=1}$ ${\displaystyle G_{\lambda }=1}$ ${\displaystyle G_{\alpha }\neq 1}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda }$

Если — первый бесконечный ординал, то — наименьшая нормальная подгруппа группы G , такая, что фактор-группа является нильпотентно аппроксимируемой , то есть такой, что каждый нетождественный элемент имеет нетождественный гомоморфный образ в нильпотентной группе (Schenkman 1975, p. 175,183). В области комбинаторной теории групп важным и ранним результатом является то, что свободные группы являются нильпотентно аппроксимируемыми. Фактически факторы нижнего центрального ряда являются свободными абелевыми группами с естественным базисом, определяемым базисными коммутаторами (Hall 1959, Ch. 11). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G_{\omega }}$

Если для некоторого конечного n , то — наименьшая нормальная подгруппа группы G с нильпотентным фактором и называется нильпотентным остатком группы G . Это всегда так для конечной группы и определяет член в нижнем ряду Фиттинга для G . ${\displaystyle G_{\omega }=G_{n}}$ ${\displaystyle G_{\omega }}$ ${\displaystyle G_{\omega }}$ ${\displaystyle F_{1}(G)}$

Если для всех конечных n , то не является нильпотентным, но является резидуально нильпотентным . ${\displaystyle G_{\omega }\neq G_{n}}$ ${\displaystyle G/G_{\omega }}$

Не существует общего термина для пересечения всех членов трансфинитного нижнего центрального ряда, аналогичного гиперцентру (ниже).

Верхний центральный ряд

Верхний центральный ряд (или восходящий центральный ряд ) группы G — это последовательность подгрупп

${\displaystyle 1=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft Z_{i}\triangleleft \cdots ,}$

где каждая последующая группа определяется:

${\displaystyle Z_{i+1}=\{x\in G\mid \forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}}$

и называется i- м центром G (соответственно, вторым центром , третьим центром и т. д.). В этом случае является центром G , и для каждой последующей группы фактор-группа является центром , и называется верхним центральным фактором ряда . Опять же, мы говорим, что ряд заканчивается, если он стабилизируется в цепочку равенств, а его длина равна числу различных групп в нем. ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}}$ ${\displaystyle G/Z_{i}}$

Для бесконечных групп можно продолжить верхний центральный ряд до бесконечных порядковых чисел с помощью трансфинитной рекурсии : для предельного порядкового числа λ определим

${\displaystyle Z_{\lambda }(G)=\bigcup _{\alpha <\lambda }Z_{\alpha }(G).}$

Предел этого процесса (объединение высших центров) называется гиперцентром группы.

Если трансфинитный верхний центральный ряд стабилизируется на всей группе, то группа называется гиперцентральной . Гиперцентральные группы обладают многими свойствами нильпотентных групп, такими как нормализаторное условие (нормализатор собственной подгруппы собственно содержит подгруппу), элементы взаимно простого порядка коммутируют, а периодические гиперцентральные группы являются прямой суммой своих силовских p -подгрупп (Schenkman 1975, Ch. VI.3). Для каждого ординала λ существует группа G с Z _λ ( G ) = G , но Z _α ( G ) ≠ G для α < λ , (Gluškov 1952) и (McLain 1956).

Связь между нижней и верхней центральной серией

Существуют различные связи между нижним центральным рядом (НЦР) и верхним центральным рядом (ВЦР) (Эллис 2001), особенно для нильпотентных групп .

Для нильпотентной группы длины LCS и UCS совпадают, и эта длина называется классом нильпотентности группы. Однако LCS и UCS нильпотентной группы не обязательно имеют одинаковые члены. Например, в то время как UCS и LCS совпадают для циклической группы C ₂ ⊵ { e } и группы кватернионов Q ₈ ⊵ {1, −1} ⊵ {1}, UCS и LCS их прямого произведения C ₂ × Q ₈ не совпадают: его LCS равен C ₂ × Q ₈ ⊵ { e } × {−1, 1} ⊵ { e } × {1}, в то время как его UCS равен C ₂ × Q ₈ ⊵ C ₂ × {−1, 1} ⊵ { e } × {1}.

Группа является абелевой тогда и только тогда, когда LCS заканчивается на первом шаге (коммутантная подгруппа является тривиальной подгруппой), тогда и только тогда, когда UCS заканчивается на первом шаге (центр — вся группа).

Напротив, LCS заканчивается на нулевом шаге тогда и только тогда, когда группа совершенна (коммутатор — вся группа), в то время как UCS заканчивается на нулевом шаге тогда и только тогда, когда группа не имеет центра (тривиальный центр), что является различными понятиями. Для совершенной группы UCS всегда стабилизируется к первому шагу ( лемма Грюна ). Однако группа без центра может иметь очень длинную LCS: свободная группа с двумя или более образующими не имеет центра, но ее LCS не стабилизируется до первого бесконечного ординала. Это показывает, что длины LCS и UCS не обязательно должны совпадать в общем случае.

Изысканная центральная серия

При изучении p -групп (которые всегда нильпотентны) часто важно использовать более длинные центральные ряды. Важным классом таких центральных рядов являются центральные ряды экспоненты p ; то есть центральные ряды, факторы которых являются элементарными абелевыми группами , или, что то же самое, имеют показатель p . Существует единственный наиболее быстро убывающий такой ряд, нижний центральный ряд экспоненты p λ, определяемый формулой:

${\displaystyle \lambda _{1}(G)=G}$, и

${\displaystyle \lambda _{n+1}(G)=[G,\lambda _{n}(G)](\lambda _{n}(G))^{p}}$.

Второй член, , равен , подгруппе Фраттини . Нижний показатель - p- центральный ряд иногда просто называют p -центральным рядом. ${\displaystyle \lambda _{2}(G)}$ ${\displaystyle [G,G]G^{p}=\Phi (G)}$

Существует единственный наиболее быстро возрастающий такой ряд, верхний показатель p- центрального ряда S, определяемый как:

С0 ( Г )= ₁

S _{n +1} ( G )/S _n ( G ) = Ω(Z( G /S _n ( G )))

где Ω( Z ( H )) обозначает подгруппу, порожденную (и равную) множеству центральных элементов H порядка, делящего p . Первый член, S ₁ ( G ), является подгруппой, порожденной минимальными нормальными подгруппами, и поэтому равен цоколю G . По этой причине верхний показатель p центральный ряд иногда называют цокольным рядом или даже рядом Леви , хотя последний обычно используется для обозначения нисходящего ряда.

Иногда полезны другие уточнения центрального ряда, такие как ряд Дженнингса κ, определяемый следующим образом:

κ ₁ ( G ) = G , и

κ _{n + 1} ( G ) = [ G , κ _n ( G )] (κ _i ( G )) ^p , где i — наименьшее целое число, большее или равное n / p .

Ряд Дженнингса назван в честь Стивена Артура Дженнингса , который использовал этот ряд для описания ряда Леви модулярного группового кольца p -группы .

Смотрите также

• Нильпотентный ряд , аналогичное понятие для разрешимых групп
• Отношения родитель-потомок для конечных p -групп, определяемых различными видами центральных рядов
• Унипотентная группа

Ссылки

• Эллис, Грэм (октябрь 2001 г.), «О связи между верхними центральными частными и нижними центральными рядами группы», Труды Американского математического общества , 353 (10): 4219–4234, doi : 10.1090/S0002-9947-01-02812-4 , JSTOR  2693793
• Глушков, В.М. (1952), «О центральном ряде бесконечных групп», Матем. сборник , Новая серия, 31 : 491–496, MR  0052427
• Холл, Маршалл (1959), Теория групп , Macmillan, MR  0103215
• Мальцев, А.И. (1949), «Обобщенные нильпотентные алгебры и их ассоциированные группы», Матем. сборник , Новая серия, 25 (67): 347–366, MR  0032644
• Маклейн, Д. Х. (1956), «Замечания о верхнем центральном ряде группы», Proc. Glasgow Math. Assoc. , 3 : 38–44, doi : 10.1017/S2040618500033414 , MR  0084498
• Шенкман, Юджин (1975), Теория групп , Robert E. Krieger Publishing, ISBN 978-0-88275-070-5, МР  0460422, особенно глава VI.