Группа кватернионов

Неабелева группа восьмого порядка

Диаграмма цикла Q ₈ . Каждый цвет определяет ряд степеней любого элемента, связанного с единичным элементом e = 1. Например, цикл красного цвета отражает тот факт, что i ² = e , i ³ = i и i ⁴ = e. Красный цикл также отражает, что i ² = e , i ³ = i и i ⁴ = e.

В теории групп группа кватернионов Q ₈ (иногда просто обозначаемая Q) — неабелева группа восьмого порядка , изоморфная восьмиэлементному подмножеству кватернионов при умножении. Она задается групповым представлением ${\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}$

${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle {\bar {e}},i,j,k\mid {\bar {e}}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={\bar {e}}\rangle ,}$

где e — единичный элемент, а e коммутирует с другими элементами группы. Эти соотношения, открытые У. Р. Гамильтоном , также порождают кватернионы как алгебру над действительными числами.

Другая презентация Q ₈ :

${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle a,b\mid a^{4}=e,a^{2}=b^{2},ba=a^{-1}b\rangle .}$

Как и многие другие конечные группы, она может быть реализована как группа Галуа определенного поля алгебраических чисел . ^[1]

По сравнению с диэдральной группой

Группа кватернионов Q ₈ имеет тот же порядок, что и диэдральная группа D 4 , но другую структуру, как показывают их графы Кэли и циклы:

На диаграммах для D ₄ элементы группы отмечены их действием на букву F в определяющем представлении R ² . То же самое нельзя сделать для Q ₈ , поскольку он не имеет точного представления в R ² или R ³ . D ₄ можно реализовать как подмножество расщепленных кватернионов таким же образом, как Q ₈ можно рассматривать как подмножество кватернионов.

Таблица Кейли

Таблица Кэли (таблица умножения) для Q ₈ имеет вид: ^[2]

Характеристики

Элементы i , j и k имеют порядок четыре в Q ₈ , и любые два из них генерируют всю группу. Другое представление Q ₈ ^[3], основанное только на двух элементах, чтобы обойти эту избыточность, выглядит так:

${\displaystyle \left\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\right\rangle .}$

Например, записывая элементы группы в лексикографически минимальных нормальных формах, можно определить:

${\displaystyle \{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}\leftrightarrow \{e,x^{2},x,x^{3},y,x^{2}y,xy,x^{3}y\}.}$

Группа кватернионов обладает необычным свойством быть гамильтоновой : Q ₈ неабелева, но каждая подгруппа нормальна . ^{[4] Каждая гамильтонова} группа содержит копию Q ₈ . ^[5]

Группа кватернионов Q ₈ и диэдральная группа D ₄ являются двумя наименьшими примерами нильпотентной неабелевой группы.

Центр и коммутаторная подгруппа Q ₈ — это подгруппа . Внутренняя группа автоморфизмов Q ₈ задается группой по модулю ее центра, т.е. фактор-группой , которая изоморфна четверной группе Клейна V. Полная группа автоморфизмов Q ₈ изоморфна S ₄ , симметрической группе по четырем буквам (см. Матричные представления ниже), а внешняя группа автоморфизмов Q ₈ — это, таким образом, S _{4 /V , которая} изоморфна S ₃ . ${\displaystyle \{e,{\bar {e}}\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}/\{e,{\bar {e}}\},}$

Группа кватернионов Q ₈ имеет пять классов сопряженности и, следовательно, пять неприводимых представлений над комплексными числами с размерностями 1, 1, 1, 1, 2: ${\displaystyle \{e\},\{{\bar {e}}\},\{i,{\bar {i}}\},\{j,{\bar {j}}\},\{k,{\bar {k}}\},}$

Тривиальное представление .

Представления знаков с i, j, k-ядром : Q ₈ имеет три максимальные нормальные подгруппы: циклические подгруппы, порожденные i, j и k соответственно. Для каждой максимальной нормальной подгруппы N мы получаем одномерное представление, факторизующееся через 2-элементную факторгруппу G / N . Представление переводит элементы N в 1, а элементы вне N в −1.

Двумерное представление : Описано ниже в разделе Матричные представления . Оно не реализуемо над действительными числами , но является комплексным представлением: в действительности, это просто кватернионы, рассматриваемые как алгебра над , а действие — это левое умножение на . ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Q_{8}\subset \mathbb {H} }$

Таблица символов Q ₈ оказывается такой же, как и у D ₄ :

Тем не менее, все неприводимые характеры в строках выше имеют действительные значения, это дает разложение действительной групповой алгебры на минимальные двусторонние идеалы : ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Q} _{8}}$

${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]=\bigoplus _{\rho }(e_{\rho }),}$

где идемпотенты соответствуют неприводимым: ${\displaystyle e_{\rho }\in \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$

${\displaystyle e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1})g,}$

так что

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{\text{triv}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{i{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{j{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{k{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{2}&={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\end{aligned}}}$

Каждый из этих неприводимых идеалов изоморфен действительной центральной простой алгебре , первые четыре — действительному полю . Последний идеал изоморфен телу кватернионов соответствием: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (e_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})&\longleftrightarrow 1,\\{\tfrac {1}{2}}(i-{\bar {i}})&\longleftrightarrow i,\\{\tfrac {1}{2}}(j-{\bar {j}})&\longleftrightarrow j,\\{\tfrac {1}{2}}(k-{\bar {k}})&\longleftrightarrow k.\end{aligned}}}$

Более того, проекционный гомоморфизм, заданный формулой, имеет ядерный идеал, порожденный идемпотентом: ${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H} }$ ${\displaystyle r\mapsto re_{2}}$

${\displaystyle e_{2}^{\perp }=e_{1}+e_{i{\text{-ker}}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),}$

поэтому кватернионы также могут быть получены как фактор-кольцо . Обратите внимание, что это неприводимо как вещественное представление , но распадается на две копии двумерного неприводимого при расширении до комплексных чисел. Действительно, комплексная групповая алгебра имеет вид , где — алгебра бикватернионов . ${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H} }$ ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [\mathrm {Q} _{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$

Матричные представления

Таблица умножения группы кватернионов как подгруппы SL (2, C ). Элементы представлены секторами, соответствующими их аргументам: 1 (зеленый), i (синий), −1 (красный), − i (желтый).

Двумерное неприводимое комплексное представление, описанное выше, дает группу кватернионов Q ₈ как подгруппу общей линейной группы . Группа кватернионов является мультипликативной подгруппой алгебры кватернионов: ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=\mathbb {C} 1+\mathbb {C} j,}$

которое имеет регулярное представление левым умножением на себя, рассматриваемое как комплексное векторное пространство с базисом, так что соответствует -линейному отображению. Результирующее представление ${\displaystyle \rho :\mathbb {H} \to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \{1,j\},}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{z}:a+jb\mapsto z\cdot (a+jb).}$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )\\g\longmapsto \rho _{g}\end{cases}}}$

определяется по формуле:

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Поскольку все вышеперечисленные матрицы имеют единичный определитель, это представление Q ₈ в специальной линейной группе . ^[6] ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$

Вариант дает представление унитарными матрицами (таблица справа). Пусть соответствует линейному отображению, так что задается как: ${\displaystyle g\in \mathrm {Q} _{8}}$ ${\displaystyle \rho _{g}:a+bj\mapsto (a+bj)\cdot jg^{-1}j^{-1},}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Стоит отметить, что физики используют исключительно другое соглашение для представления матриц, чтобы соотнести их с обычными матрицами Паули : ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\quad \,1_{2\times 2}&i\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-i\!\\\!\!-i\!\!&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{x}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-1\!\\1&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{y}&k\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-i\!\!&0\\0&i\end{pmatrix}}=-i\sigma _{z}\\&{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-1\!&0\\0&\!\!\!-1\!\end{pmatrix}}=-1_{2\times 2}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{x}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!-1\!\!&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{y}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!-i\!\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{z}.\end{matrix}}}$

Этот конкретный выбор удобен и элегантен, когда в базисе описываются состояния со спином 1/2 и рассматриваются операторы лестницы углового момента. ${\displaystyle ({\vec {J}}^{2},J_{z})}$ ${\displaystyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}.}$

Таблица умножения группы кватернионов как подгруппы SL(2,3) . Элементы поля обозначены 0, +, −.

Существует также важное действие Q ₈ на 2-мерном векторном пространстве над конечным полем (таблица справа). Модулярное представление задается как ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}=\{0,1,-1\}}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SL} (2,3)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&1\\1&1\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Это представление можно получить из поля расширения :

${\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathbb {F} _{3}[k]=\mathbb {F} _{3}1+\mathbb {F} _{3}k,}$

где и мультипликативная группа имеет четыре генератора порядка 8. Для каждого двумерное векторное пространство допускает линейное отображение: ${\displaystyle k^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}^{\times }}$ ${\displaystyle \pm (k\pm 1),}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {F} _{9},}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mu _{z}:\mathbb {F} _{9}\to \mathbb {F} _{9}\\\mu _{z}(a+bk)=z\cdot (a+bk)\end{cases}}}$

Кроме того, у нас есть автоморфизм Фробениуса, удовлетворяющий и Тогда приведенные выше матрицы представления имеют вид: ${\displaystyle \phi (a+bk)=(a+bk)^{3}}$ ${\displaystyle \phi ^{2}=\mu _{1}}$ ${\displaystyle \phi \mu _{z}=\mu _{\phi (z)}\phi .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ({\bar {e}})&=\mu _{-1},\\\rho (i)&=\mu _{k+1}\phi ,\\\rho (j)&=\mu _{k-1}\phi ,\\\rho (k)&=\mu _{k}.\end{aligned}}}$

Это представление реализует Q ₈ как нормальную подгруппу GL (2, 3) . Таким образом, для каждой матрицы мы имеем групповой автоморфизм ${\displaystyle m\in \operatorname {GL} (2,3)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{m}:\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {Q} _{8}\\\psi _{m}(g)=mgm^{-1}\end{cases}}}$

Фактически , они дают полную группу автоморфизмов как: ${\displaystyle \psi _{I}=\psi _{-I}=\mathrm {id} _{\mathrm {Q} _{8}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {Q} _{8})\cong \operatorname {PGL} (2,3)=\operatorname {GL} (2,3)/\{\pm I\}\cong S_{4}.}$

Это изоморфно симметрической группе S4 _, поскольку линейные отображения переставляют четыре одномерных подпространства , т.е. четыре точки проективного пространства. ${\displaystyle m:\mathbb {F} _{3}^{2}\to \mathbb {F} _{3}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {F} _{3})=\operatorname {PG} (1,3).}$

Кроме того, это представление переставляет восемь ненулевых векторов, давая вложение Q ₈ в симметрическую группу S ₈ , в дополнение к вложениям, даваемым регулярными представлениями. ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2},}$

Группа Галуа

Ричард Дедекинд рассматривал эту область , пытаясь связать группу кватернионов с теорией Галуа . ^[7] В 1936 году Эрнст Витт опубликовал свой подход к группе кватернионов через теорию Галуа. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]}$

В 1981 году Ричард Дин показал, что группа кватернионов может быть реализована как группа Галуа Gal(T/ Q ), где Q — поле рациональных чисел , а T — поле разложения многочлена.

${\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}$.

В разработке используется фундаментальная теорема теории Галуа для определения четырех промежуточных полей между Q и T и их групп Галуа, а также две теоремы о циклическом расширении степени четыре над полем. ^[1]

Обобщенная группа кватернионов

Обобщенная группа кватернионов Q _{4 n} порядка 4 n определяется представлением ^[3]

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle }$

для целого числа n ≥ 2 , с обычной группой кватернионов, заданной как n = 2. ^[9] Коксетер называет Q _{4 n} дициклической группой , частным случаем бинарной полиэдральной группы и связанной с полиэдральной группой и диэдральной группой . Обобщенная группа кватернионов может быть реализована как подгруппа, порожденная ${\displaystyle \langle 2,2,n\rangle }$ ${\displaystyle \langle \ell ,m,n\rangle }$ ${\displaystyle (p,q,r)}$ ${\displaystyle (2,2,n)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right){\mbox{ and }}\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$

где . ^[3] Его также можно реализовать как подгруппу единичных кватернионов, порожденную ^[10] и . ${\displaystyle \omega _{n}=e^{i\pi /n}}$ ${\displaystyle x=e^{i\pi /n}}$ ${\displaystyle y=j}$

Обобщенные группы кватернионов обладают тем свойством, что каждая абелева подгруппа является циклической. ^[11] Можно показать, что конечная p -группа с этим свойством (каждая абелева подгруппа является циклической) является либо циклической, либо обобщенной группой кватернионов, как определено выше. ^[12] Другая характеристика состоит в том, что конечная p -группа, в которой существует единственная подгруппа порядка p, является либо циклической, либо 2-группой, изоморфной обобщенной группе кватернионов. ^[13] В частности, для конечного поля F с нечетной характеристикой 2-силовская подгруппа SL ₂ ( F ) неабелева и имеет только одну подгруппу порядка 2, поэтому эта 2-силовская подгруппа должна быть обобщенной группой кватернионов (Горенштейн, 1980, стр. 42). Пусть p ^r — размер F , где p — простое число, тогда размер 2-силовской подгруппы SL ₂ ( F ) равен 2 ⁿ , где n = ord ₂ ( p ² − 1) + ord ₂ ( r ) .

Теорема Брауэра –Сузуки показывает, что группы, силовские 2-подгруппы которых являются обобщенными кватернионами, не могут быть простыми.

Другая терминология резервирует название «обобщенная группа кватернионов» для дициклической группы порядка степени 2, ^[14] которая допускает представление

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2^{m}}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$

Смотрите также

• 16-ячеечный
• Двоичная тетраэдрическая группа
• Алгебра Клиффорда
• Дициклическая группа
• Интегральный кватернион Гурвица
• Список малых групп

Примечания

1. Дин, Ричард (1981). «Рациональный многочлен, группа которого — кватернионы». The American Mathematical Monthly . 88 (1): 42–45. doi :10.2307/2320711. JSTOR  2320711.
2. См. также таблицу из Wolfram Alpha
3. Джонсон 1980, стр. 44–45
4. См. Холл (1999), стр. 190.
5. См. Курош (1979), стр. 67.
6. Артин 1991
7. Ричард Дедекинд (1887) "Konstrucktion der Quaternionkörpern", Ges. математика. Верк II 376–84
8. Эрнст Витт (1936) «Konstruktion von galoisschen Körpern...» Журнал Crelle 174: 237-45
9. Некоторые авторы (например, Ротман 1995, стр. 87, 351) называют эту группу дициклической группой, резервируя название обобщенной группы кватернионов для случая, когда n является степенью числа 2.
10. Браун 1982, стр. 98
11. Браун 1982, стр. 101, упражнение 1
12. Картан и Эйленберг 1999, теорема 11.6, с. 262
13. Браун 1982, Теорема 4.3, стр. 99
14. Роман, Стивен (2011). Основы теории групп: продвинутый подход . Springer. стр. 347–348. ISBN 9780817683016.

Ссылки

• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл, ISBN 978-0-13-004763-2
• Браун, Кеннет С. (1982), Когомологии групп (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1
• Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999), Гомологическая алгебра , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5
• Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• Дин, Ричард А. (1981) «Рациональный многочлен, группа которого — кватернионы», American Mathematical Monthly 88:42–5.
• Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0301-6, МР  0569209
• Джонсон, Дэвид Л. (1980), Темы теории групповых презентаций , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-23108-4, МР  0695161
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп (4-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
• PR Girard (1984) «Группа кватернионов и современная физика», European Journal of Physics 5:25–32.
• Холл, Маршалл (1999), Теория групп (2-е изд.), AMS Bookstore, ISBN 0-8218-1967-4
• Курош, Александр Г. (1979), Теория групп , AMS Bookstore, ISBN 0-8284-0107-1

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Группа кватернионов". MathWorld .
• Группы кватернионов на GroupNames
• Группа кватернионов на GroupProps
• Конрад, Кит. «Обобщенные кватернионы»