Таблица символов

Двумерная таблица теории групп

В теории групп , разделе абстрактной алгебры , таблица характеров — это двумерная таблица, строки которой соответствуют неприводимым представлениям , а столбцы — классам сопряженности групповых элементов. Записи состоят из символов , следов матриц , представляющих групповые элементы класса столбца в групповом представлении данной строки. В химии , кристаллографии и спектроскопии таблицы характеров точечных групп используются для классификации, например, молекулярных колебаний в соответствии с их симметрией и для предсказания того, запрещен ли переход между двумя состояниями по причинам симметрии. Многие университетские учебники по физической химии , квантовой химии , спектроскопии и неорганической химии посвящают главу использованию таблиц характеров групп симметрии. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

Определение и пример

Неприводимые комплексные характеры конечной группы образуют таблицу характеров , которая кодирует много полезной информации о группе G в сжатой форме. Каждая строка помечена неприводимым характером , а записи в строке являются значениями этого характера для любого представителя соответствующего класса сопряженности G (потому что характеры являются функциями класса ). Столбцы помечены (представителями) классов сопряженности G . Принято помечать первую строку характером тривиального представления , который является тривиальным действием G на одномерном векторном пространстве для всех . Каждая запись в первой строке, следовательно, равна 1. Аналогично, принято помечать первый столбец тождеством . Записи первого столбца являются значениями неприводимых характеров в тождестве, степенями неприводимых характеров. Характеры степени 1 известны как линейные характеры . ${\displaystyle \rho (g)=1}$ ${\displaystyle g\in G}$

Вот таблица характеров C ₃ = <u> , циклической группы с тремя элементами и генератором u :

где ω — примитивный кубический корень из единицы . Таблица характеров для общих циклических групп — это (скалярное кратное) матрицы DFT .

Другим примером является таблица символов : ${\displaystyle S_{3}}$

где (12) представляет класс сопряженности, состоящий из (12), (13), (23), а (123) представляет класс сопряженности, состоящий из (123), (132). Чтобы узнать больше о таблице характеров симметричных групп, см. [1].

Первая строка таблицы характеров всегда состоит из единиц и соответствует тривиальному представлению (одномерное представление, состоящее из матриц 1×1, содержащих элемент 1). Кроме того, таблица характеров всегда квадратная, потому что (1) неприводимые характеры попарно ортогональны, и (2) никакая другая нетривиальная функция класса не ортогональна каждому характеру. (Функция класса — это функция, которая постоянна на классах сопряженности.) Это связано с важным фактом, что неприводимые представления конечной группы G находятся во взаимной однозначности с ее классами сопряженности. Эта взаимность также следует из того, что суммы классов образуют базис для центра групповой алгебры G , размерность которого равна числу неприводимых представлений G.

Отношения ортогональности

Пространство комплекснозначных функций класса конечной группы G имеет естественное скалярное произведение :

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}$

где обозначает комплексное сопряжение значения на . Относительно этого внутреннего произведения неприводимые характеры образуют ортонормированный базис для пространства функций класса, и это дает отношение ортогональности для строк таблицы характеров: ${\displaystyle {\overline {\beta (g)}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}$

Для столбцов соотношение ортогональности выглядит следующим образом: ${\displaystyle g,h\in G}$

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate}}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

где сумма берется по всем неприводимым характерам группы G , а символ обозначает порядок централизатора . ${\displaystyle \chi _{i}}$ ${\displaystyle \left|C_{G}(g)\right|}$ ${\displaystyle g}$

Для произвольного характера он неприводим тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \chi _{i}}$ ${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{i}\right\rangle =1}$

Соотношения ортогональности могут помочь во многих вычислениях, включая:

• Разложение неизвестного символа в линейную комбинацию неприводимых символов, т.е. # копий неприводимого представления V _i в . ${\displaystyle V=\left\langle \chi ,\chi _{i}\right\rangle }$
• Построение полной таблицы символов, когда известны только некоторые неприводимые символы.
• Нахождение порядков централизаторов представителей классов сопряженности группы.
• Нахождение порядка группы , для любого g из G. ${\displaystyle \left|G\right|=\left|Cl(g)\right|*\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(g)}}}$

Если неприводимое представление V нетривиально, то ${\displaystyle \sum _{g}\chi (g)=0.}$

Более конкретно, рассмотрим регулярное представление , которое является перестановкой, полученной из конечной группы G, действующей на ( свободное векторное пространство, натянутое на) себя. Характеры этого представления — и для не тождества. Тогда, учитывая неприводимое представление , ${\displaystyle \chi (e)=\left|G\right|}$ ${\displaystyle \chi (g)=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \left\langle \chi _{\text{reg}},\chi _{i}\right\rangle ={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{\text{reg}}(g)}}={\frac {1}{\left|G\right|}}\chi _{i}(1){\overline {\chi _{\text{reg}}(1)}}=\operatorname {dim} V_{i}}$.

Тогда, разложив регулярные представления в сумму неприводимых представлений группы G , получим , откуда заключаем ${\displaystyle V_{\text{reg}}=\bigoplus V_{i}^{\operatorname {dim} V_{i}}}$

${\displaystyle |G|=\operatorname {dim} V_{\text{reg}}=\sum (\operatorname {dim} V_{i})^{2}}$

по всем неприводимым представлениям . Эта сумма может помочь сузить размерности неприводимых представлений в таблице характеров. Например, если группа имеет порядок 10 и 4 класса сопряженности (например, диэдральная группа порядка 10), то единственный способ выразить порядок группы как сумму четырех квадратов — это , поэтому мы знаем размерности всех неприводимых представлений. ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle 10=1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}}$

Характеристики

Комплексное сопряжение действует на таблицу символов: поскольку комплексное сопряжение представления снова является представлением, то же самое верно и для символов, и, таким образом, символ, принимающий недействительные комплексные значения, имеет сопряженный символ.

Некоторые свойства группы G можно вывести из ее таблицы характеров:

• Порядок G задается суммой квадратов элементов первого столбца (степени неприводимых символов). В более общем смысле, сумма квадратов абсолютных значений элементов любого столбца дает порядок централизатора элемента соответствующего класса сопряженности.
• Все нормальные подгруппы группы G (и, следовательно, является ли группа G простой ) можно узнать из ее таблицы характеров. Ядро характера χ — это множество элементов g в группе G, для которых χ(g) = χ(1); это нормальная подгруппа группы G. Каждая нормальная подгруппа группы G является пересечением ядер некоторых неприводимых характеров группы G.
• Число неприводимых представлений группы G равно числу классов сопряженности, которые имеет G.
• Коммутант группы G является пересечением ядер линейных характеров группы G.
• Если G конечен, то, поскольку таблица характеров является квадратной и имеет столько же строк, сколько классов сопряженности, следует, что G является абелевой тогда и только тогда, когда каждый класс сопряженности имеет размер 1, тогда и только тогда, когда таблица характеров группы G является абелевой тогда и только тогда, когда каждый неприводимый характер является линейным. ${\displaystyle |G|\!\times \!|G|}$
• Из некоторых результатов Ричарда Брауэра из теории модульных представлений следует , что простые делители порядков элементов каждого класса сопряженности конечной группы могут быть выведены из ее таблицы характеров (наблюдение Грэма Хигмана ).

Таблица характеров в общем случае не определяет группу с точностью до изоморфизма : например, группа кватернионов и диэдральная группа порядка 8 имеют одну и ту же таблицу характеров. Брауэр задался вопросом, определяет ли таблица характеров вместе со знанием того, как распределены степени элементов ее классов сопряженности, конечную группу с точностью до изоморфизма. В 1964 году на это ответил отрицательно EC Dade .

Линейные представления G сами по себе являются группой относительно тензорного произведения , поскольку тензорное произведение одномерных векторных пространств снова является одномерным . То есть, если и являются линейными представлениями, то определяет новое линейное представление. Это приводит к группе линейных характеров, называемой группой характеров относительно операции . Эта группа связана с характерами Дирихле и анализом Фурье . ${\displaystyle \rho _{1}:G\to V_{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}:G\to V_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))}$ ${\displaystyle [\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)}$

Внешние автоморфизмы

Группа внешних автоморфизмов действует на таблицу характеров, переставляя столбцы (классы сопряженности) и, соответственно, строки, что придает таблице еще одну симметрию. Например, абелевы группы имеют внешний автоморфизм , который нетривиален, за исключением элементарных абелевых 2-групп , и внешний, потому что абелевы группы — это именно те, для которых сопряжение ( внутренние автоморфизмы ) действует тривиально. В примере выше это отображение посылает и соответственно переключает и (переключая их значения и ). Обратите внимание, что этот конкретный автоморфизм (отрицательный в абелевых группах) согласуется с комплексным сопряжением. ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle u\mapsto u^{2},u^{2}\mapsto u,}$ ${\displaystyle \chi _{1}}$ ${\displaystyle \chi _{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$

Формально, если — автоморфизм группы G и — представление, то — представление. Если — внутренний автоморфизм (сопряжение некоторым элементом a ), то он действует на представления тривиально, поскольку представления являются функциями класса (сопряжение не меняет их значения). Таким образом, задан класс внешних автоморфизмов, он действует на характеры — поскольку внутренние автоморфизмы действуют тривиально, действие группы автоморфизмов спускается к фактору . ${\displaystyle \phi \colon G\to G}$ ${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} }$ ${\displaystyle \rho ^{\phi }:=g\mapsto \rho (\phi (g))}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{a}}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} }$ ${\displaystyle \mathrm {Out} }$

Это отношение можно использовать обоими способами: имея внешний автоморфизм, можно создавать новые представления (если представление не равнозначно классам сопряженности, которые меняются местами внешним автоморфизмом), и наоборот, можно ограничивать возможные внешние автоморфизмы на основе таблицы символов.

Нахождение колебательных мод молекулы воды с использованием таблицы символов

Чтобы найти общее число колебательных мод молекулы воды, необходимо сначала вычислить неприводимое представление Γ _{неприводимого} из таблицы характеров молекулы воды.

Нахождение Γсводимыйиз Таблицы символов H²молекула О

Молекула воды ( ) относится к точечной группе . ^[7] Ниже приведена таблица характеров точечной группы, которая также является таблицей характеров для молекулы воды. ${\displaystyle {\ce {H2O}}}$ ${\displaystyle C_{2v}}$ ${\displaystyle C_{2v}}$

Здесь первая строка описывает возможные операции симметрии этой точечной группы, а первый столбец представляет символы Малликена. Пятый и шестой столбцы являются функциями переменных осей.

Функции:

• ${\displaystyle x}$, и связаны с поступательным движением и ИК-активными полосами. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle R_{x}}$, и связаны с вращением вокруг соответствующей оси. ${\displaystyle R_{y}}$ ${\displaystyle R_{z}}$
• Квадратичные функции (такие как , , , , , , , ) связаны с активными полосами Рамана. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle zx}$

При определении символов для представления, назначьте, если оно осталось неизменным, если оно сдвинулось, и если оно изменило свое направление. Простой способ определить символы для приводимого представления - умножить " число несмещенных атомов " на " вклад на атом " вдоль каждой из трех осей ( ), когда выполняется операция симметрии. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \Gamma _{\text{reducible}}}$ ${\displaystyle x,y,z}$

Если не указано иное, для операции тождества «вклад на несмещенный атом» для каждого атома всегда равен , так как ни один из атомов не меняет своего положения во время этой операции. Для любой операции отражательной симметрии «вклад на атом» всегда равен , так как для любого отражения атом остается неизменным вместе с двумя осями и меняет свое направление вместе с другой осью. Для операции обратной симметрии «вклад на несмещенный атом» всегда равен , так как каждая из трех осей атома меняет свое направление во время этой операции. Самый простой способ вычислить «вклад на несмещенный атом» для и операции симметрии — использовать приведенные ниже формулы ^[8] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -3}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle C_{n}=2\cos \theta +1}$

${\displaystyle S_{n}=2\cos \theta -1}$

где, ${\displaystyle \theta ={\frac {360}{n}}}$

Упрощенная версия приведенных выше утверждений представлена ​​в таблице ниже.

Характер для любой операции симметрии Количество несмещенных атомов во время этой операции Вклад на несмещенный атом вдоль каждой из трех осей ${\displaystyle \Gamma _{\text{reducible}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \times }$

Вычисление неприводимого представления Γнеприводимыйиз приводимого представления Γсводимыйвместе с таблицей символов

Из вышеизложенного новая таблица характеров для молекулы воды ( точечная группа) может быть записана как ${\displaystyle C_{2v}}$

Используя новую таблицу символов, включающую , приводимое представление для всех движений молекулы можно сократить с помощью следующей формулы: ${\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}$ ${\displaystyle {\ce {H2O}}}$

${\displaystyle N={\frac {1}{h}}\sum _{x}(X_{i}^{x}\times X_{r}^{x}\times n^{x})}$

где,

${\displaystyle h=}$порядок группы,

${\displaystyle X_{i}^{x}=}$характер для определенного класса, ${\displaystyle \Gamma _{\text{reducible}}}$

${\displaystyle X_{r}^{x}=}$характер из приводимого представления для конкретного класса,

${\displaystyle n^{x}=}$количество операций в классе

Так,

${\displaystyle N_{A_{1}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1)+((-1)\times 1\times 1)+(3\times 1\times 1)+(1\times 1\times 1)]=3}$

${\displaystyle N_{A_{2}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1+((-1)\times 1\times 1)+(3\times (-1)\times 1)+(1\times (-1)\times 1)]=1}$

${\displaystyle N_{B_{1}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1)+((-1)\times (-1)\times 1)+(3\times 1\times 1)+(1\times (-1)\times 1)]=3}$

${\displaystyle N_{B_{2}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1)+((-1)\times (-1)\times 1)+(3\times (-1)\times 1)+(1\times 1\times 1)]=2}$

Итак, сокращенное представление для всех движений молекулы воды будет иметь вид

${\displaystyle \Gamma _{\text{irreducible}}=3A_{1}+A_{2}+3B_{1}+2B_{2}}$

Поступательное движение молекулы воды

Поступательное движение будет соответствовать приводимым представлениям в таблице символов, которые имеют , и функцию ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Так как только приводимые представления , и соответствуют функции , и , ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Gamma _{\text{translational}}=A_{1}+B_{1}+B_{2}}$

Вращательное движение молекулы воды

Вращательное движение будет соответствовать приводимым представлениям в таблице символов, которые имеют , и функцию ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle R_{y}}$ ${\displaystyle R_{z}}$

Так как только приводимые представления , и соответствуют функции , и , ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Gamma _{\text{rotational}}=A_{2}+B_{1}+B_{2}}$

Полные колебательные моды для молекулы воды

Общая колебательная мода, ${\displaystyle \Gamma _{\text{vibrational}}=\Gamma _{\text{irreducible}}-\Gamma _{\text{translational}}-\Gamma _{\text{rotational}}}$

${\displaystyle =(3A_{1}+A_{2}+3B_{1}+2B_{2})-(A_{1}+B_{1}+B_{2})-(A_{2}+B_{1}+B_{2})}$

${\displaystyle =2A_{1}+B_{1}}$

Итак, для молекул воды возможны полные колебательные моды, и две из них являются симметричными колебательными модами (как ), а другая колебательная мода является антисимметричной (как ). ${\displaystyle 2+1=3}$ ${\displaystyle 2A_{1}}$ ${\displaystyle 1B_{1}}$

Проверка того, активна ли молекула воды в ИК- или рамановском спектре

Существуют некоторые правила, по которым можно выбрать ИК- или рамановскую активность для определенного режима.

• Если есть , или для любого неприводимого представления, то режим ИК активен ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• Если существует квадратичная функция, такая как , , , , , , или для любого неприводимого представления, то мода является рамановской активной ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle xz}$
• Если для любого неприводимого представления нет ни , ни квадратичных функций, то мода не является ни ИК-активной, ни рамановской. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Поскольку колебательные моды молекулы воды содержат как , так и квадратичные функции, она имеет как ИК-активные колебательные моды, так и Рамановские активные колебательные моды. ${\displaystyle \Gamma _{\text{vibrational}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Аналогичные правила будут применяться для остальных неприводимых представлений. ${\displaystyle \Gamma _{\text{irreducible}},\Gamma _{\text{translational}},\Gamma _{\text{rotational}}}$

Смотрите также

• Неприводимое представление § Приложения в теоретической физике и химии
• Молекулярная симметрия
• Список таблиц характеров для химически важных 3D точечных групп
• Таблицы символов малых групп на GroupNames
• Айзекс, И. Мартин (1976). Теория характеров конечных групп . Dover Publications.
• Роуленд, Тодд; Вайсштейн, Эрик В. «Таблица символов». MathWorld .

Ссылки

1. Квантовая химия , 3-е изд. Джон П. Лоу, Кирк Петерсон ISBN 0-12-457551-X 
2. Физическая химия: молекулярный подход Дональда А. Маккуорри, Джона Д. Саймона ISBN 0-935702-99-7 
3. Химическая связь , 2-е изд. Дж. Н. Мюррелл, SFA Kettle, ISBN Дж. М. Теддера 0-471-90760-X 
4. Физическая химия , 8-е изд. PW Atkins и J. de Paula, WH Freeman, 2006 ISBN 0-7167-8759-8 , гл.12 
5. Молекулярная симметрия и спектроскопия , 2-е изд. Филип Р. Банкер и Пер Йенсен, NRC Research Press, Оттава, 1998 ISBN 9780660196282 
6. GL Miessler и DA Tarr Неорганическая химия , 2-е изд. Pearson, Prentice Hall, 1998 ISBN 0-13-841891-8 , гл.4. 
7. Реймерс, Дж. Р.; Уоттс, РО (1984-06-10). "Локальная модовая потенциальная функция для молекулы воды". Молекулярная физика . 52 (2): 357–381. doi :10.1080/00268978400101271. ISSN  0026-8976.
8. Дэвидсон, Джордж (1991-06-06). Теория групп для химиков. Macmillan International Higher Education. ISBN 978-1-349-21357-3.