Нормальная матрица

В математике комплексная квадратная матрица $A$ является нормальной , если она коммутирует с сопряженным ей транспонированием $A *$ :

A{\text{normal}}\iff A^{*}A=AA^{*}.

Понятие нормальных матриц можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных нормированных пространствах и на нормальные элементы в С*-алгебрах . Как и в матричном случае, нормальность означает, что коммутативность сохраняется, насколько это возможно, в некоммутативной ситуации. Это делает нормальные операторы и нормальные элементы C*-алгебр более поддающимися анализу.

Спектральная теорема утверждает, что матрица является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице , и, следовательно, любая матрица $A$ , удовлетворяющая уравнению $A * A = AA *,$ является диагонализуемой . Обратное неверно, поскольку диагонализуемые матрицы могут иметь неортогональные собственные пространства.

Левый и правый сингулярные векторы в разложении по сингулярным значениям нормальной матрицы отличаются только комплексной фазой друг от друга и от соответствующих собственных векторов, поскольку для образования сингулярных значений фазу необходимо вынести из собственных значений. $\mathbf {A} =\mathbf {U} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {V} ^{*}$

Особые случаи

Среди комплексных матриц все унитарные , эрмитовы и косоэрмитовы матрицы являются нормальными, причем все собственные значения имеют единичный модуль, действительный и мнимый соответственно. Аналогично, среди действительных матриц все ортогональные , симметричные и кососимметричные матрицы являются нормальными, причем все собственные значения представляют собой комплексно-сопряженные пары на единичной окружности, действительные и мнимые соответственно. Однако это не тот случай, когда все нормальные матрицы являются либо унитарными, либо (косо)эрмитовыми, поскольку их собственные значения, вообще говоря, могут быть любым комплексным числом. Например,

A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}

2,(1\pm я {\sqrt {3}})/2

AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.

Последствия

Утверждение . Нормальная треугольная матрица диагональна .

Доказательство

Пусть $A$ — любая нормальная верхнетреугольная матрица. С

(A^{*}A)_{ii}=(AA^{*})_{ii},

используя индексную запись, можно написать эквивалентное выражение, используя вместо этого

i

-й единичный вектор ( ), чтобы выбрать

i

-ю строку и

i

-й столбец:

{\hat {\mathbf {e} }}_{i}

{\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(A^{*}A\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i} = {\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(AA^{*}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}.

Выражение

\left(A {\hat {\mathbf {e}}}_{i}\right)^{*}\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right )=\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} } }_{Я прав)

эквивалентно, и поэтому

\left\|A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2} =\left\|A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2},

это показывает, что

i-

я строка должна иметь ту же норму, что и

i

-й столбец.

Рассмотрим $я = 1$ . Первая запись строки 1 и столбца 1 одинаковы, а остальная часть столбца 1 равна нулю (из-за треугольности). Это означает, что первая строка должна быть нулевой для записей со 2 по $n$ . Продолжение этого аргумента для пар строк и столбцов со 2 по $n$ показывает, что $A$ является диагональным. КЭД

Понятие нормальности важно, потому что нормальные матрицы — это именно те, к которым применима спектральная теорема :

Утверждение . Матрица $A$ является нормальной тогда и только тогда, когда существуют диагональная матрица $Λ$ и унитарная матрица $U$ такие, что $A = U Λ U *$ .

Диагональные элементы $Λ$ являются собственными значениями A $,$ а столбцы $U$ являются собственными векторами $A$ . Соответствующие собственные значения в $Λ$ идут в том же порядке, в котором собственные векторы упорядочены как столбцы $U$ .

Другой способ формулировки спектральной теоремы состоит в том $,$ $чтобы сказать ,$ что нормальные матрицы — это в точности те матрицы, которые могут быть представлены диагональной матрицей относительно правильно выбранного ортонормированного базиса Cn . Другими словами: матрица является нормальной тогда и только тогда, когда ее собственные пространства охватывают $C$ $n$ и попарно ортогональны относительно стандартного скалярного произведения $C$ $n$ .

Спектральная теорема для нормальных матриц представляет собой частный случай более общего разложения Шура , справедливого для всех квадратных матриц. Пусть $A$ — квадратная матрица. Тогда по разложению Шура она унитарна, как и верхнетреугольная матрица, скажем, $B$ . Если $А$ нормально, то и $Б$ нормально . Но тогда $B$ должна быть диагональной, ибо, как отмечалось выше, нормальная верхнетреугольная матрица диагональна.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы по их спектрам, например:

Утверждение . Нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда все ее собственные значения (ее спектр) лежат на единичной окружности комплексной плоскости.

Утверждение . Нормальная матрица самосопряжена тогда и только тогда, когда ее спектр содержится в . Другими словами: нормальная матрица является эрмитовой тогда и только тогда, когда все ее собственные значения действительны . $\mathbb {R}$

В общем, сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно должны быть нормальными. Однако справедливо следующее:

Утверждение : если $A$ и $B$ нормальны с $AB = BA$ , то и $AB$ , и $A + B$ также нормальны. Более того, существует унитарная матрица $U$ такая, что $UAU *$ и $UBU *$ являются диагональными матрицами. Другими словами, $A$ и $B$ одновременно диагонализуемы .

В этом особом случае столбцы $U *$ являются собственными векторами как $A$ , так и $B$ и образуют ортонормированный базис в $C n$ . Это следует из объединения теорем о том, что в алгебраически замкнутом поле коммутирующие матрицы одновременно триангуляризуемы , а нормальная матрица диагонализуема - дополнительный результат заключается в том, что и то, и другое можно сделать одновременно.

Эквивалентные определения

Можно дать довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть $A$ — комплексная матрица размера $n \times n$ . Тогда следующие условия эквивалентны:

$А -$ это нормально.
$A$ диагонализируема унитарной матрицей .
Существует набор собственных векторов $A$ $,$ который образует ортонормированный базис для $Cn$ .
$\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ для каждого $х$ .
Норма Фробениуса A может быть вычислена по собственным значениям $A$ $:$ . ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$
Эрмитова часть $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2( A + A * )$ и косоэрмитова часть $1 / 2 (A - A *)$ из $A$ коммутируют.
$A *$ — многочлен (степени $\leq n - 1$ )от $A.$ ^[а]
$A * = AU$ для некоторой унитарнойматрицы $U.$ ^[1]
$U$ и $P$ коммутируют, где мы имеем полярное разложение $A = UP$ с унитарной матрицей $U$ и некоторой положительной полуопределенной матрицей $P$ .
$A$ коммутирует с некоторой нормальной матрицей $N$ с различными ^{( необходимы пояснения )} собственными значениями.
$σ я знак равно | λ я |$ для всех $1 \leq i \leq n$ , где $A$ имеет сингулярные значения $σ 1 \geq \dots \geq σ n$ и имеет собственные значения, индексированные с упорядочением $| λ 1 | \geq \dots \geq | λ п |$ .^[2]

Некоторые, но не все из вышеизложенного обобщаются на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Например, ограниченный оператор, удовлетворяющий (9), является только квазинормальным .

Аналогия с нормальной матрицей

Иногда полезно (но иногда вводит в заблуждение) думать об отношениях особых видов нормальных матриц как об отношениях соответствующего типа комплексных чисел, из которых состоят их собственные значения. Это связано с тем, что любая функция недефектной матрицы действует непосредственно на каждое из ее собственных значений, а сопряженное транспонирование ее спектрального разложения равно , где – диагональная матрица собственных значений. Аналогично, если две нормальные матрицы коммутируют и, следовательно, одновременно диагонализуемы, любая операция между этими матрицами также действует на каждую соответствующую пару собственных значений. $ВДВ^{*}$ $VD^{*}V^{*}$ $D$

Сопряженное транспонирование аналогично комплексному сопряжению .
Унитарные матрицы аналогичны комплексным числам на единичном круге .
Эрмитова матрица аналогична действительным числам .
Эрмитовы положительно определенные матрицы аналогичны положительным действительным числам .
Косые эрмитовы матрицы аналогичны чисто мнимым числам .
Обратимые матрицы аналогичны ненулевым комплексным числам .
В обратной матрице каждое собственное значение инвертировано.
Матрица равномерного масштабирования аналогична постоянному числу.
В частности, ноль аналогичен 0, а
единичная матрица аналогична 1.
Идемпотентная матрица — это ортогональная проекция, каждое собственное значение которой равно 0 или 1.
Нормальная инволюция имеет собственные значения . $\pm 1$

В частном случае комплексные числа могут быть вложены в нормальные вещественные матрицы 2 × 2 с помощью отображения

a+bi\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}=a\, {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b\,{ \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,.

Смотрите также

Примечания

^ Доказательство: Когда это нормально, используйте формулу интерполяции Лагранжа, чтобы построить полином такой, что , где являются собственными значениями . $А$ $P$ ${\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})$ $\lambda _{j}$ $А$

Цитаты

^ Хорн и Джонсон (1985), с. 109
^ Хорн и Джонсон (1991), с. 157

Источники

Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Роял (1985), матричный анализ , издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-38632-6.
Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Роял (1991). Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-30587-7.