В теории вероятностей и статистике нормальное обратное гамма-распределение (или обратное гамма-распределение Гаусса ) представляет собой четырехпараметрическое семейство многомерных непрерывных распределений вероятностей . Это сопряженное априорное нормальное распределение с неизвестными средним значением и дисперсией .
Определение
Предполагать
![{\displaystyle x\mid \sigma ^{2},\mu,\lambda \sim \mathrm {N} (\mu,\sigma ^{2}/\lambda)\,\!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
имеет нормальное распределение со средним значением и дисперсией , где
![{\displaystyle \sigma ^{2}/\lambda }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma ^{2}\mid \alpha,\beta \sim \Gamma ^{-1}(\alpha,\beta)\!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
имеет обратное гамма-распределение . Тогда
имеет нормальное обратное гамма-распределение, обозначаемое как![{\displaystyle (x,\sigma ^{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (x,\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu,\lambda,\alpha,\beta)\!.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
( также используется вместо )![{\displaystyle {\text{НИГ}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\text{N-}}\Гамма ^{-1}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Нормальное обратное распределение Уишарта является обобщением нормального обратного гамма-распределения, которое определено для многомерных случайных величин.
Характеристика
Функция плотности вероятности
![{\displaystyle f(x,\sigma ^{2}\mid \mu,\lambda,\alpha,\beta) = {\frac {\sqrt {\lambda }}{\sigma {\sqrt {2\pi} }}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^ {\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\beta +\lambda (x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для многомерной формы где – случайный вектор,![{\displaystyle \mathbf {x} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\times 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(\mathbf {x},\sigma ^{2}\mid \mu,\mathbf {V} ^{-1},\alpha,\beta)=|\mathbf {V} |^{- 1/2}{(2\pi )^{-k/2}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac { 1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1+k/2}\exp \left(-{\frac {2\beta +(\mathbf {x} -{\boldsymbol { \mu }})^{T}\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})}{2\sigma ^{2}}}\right). }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – определитель матрицы . _ Обратите внимание, как это последнее уравнение сводится к первой форме, если это скаляры .![{\displaystyle |\mathbf {V} |}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {V} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {x},\mathbf {V}, {\boldsymbol {\mu }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Альтернативная параметризация
Также можно указать, в этом случае pdf становится![{\displaystyle \gamma =1/\lambda }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x,\sigma ^{2}\mid \mu,\gamma,\alpha,\beta) = {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \gamma }}}} \,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\gamma \beta +(x-\mu )^{2}}{2\gamma \sigma ^{2}}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В многомерной форме соответствующим изменением будет рассматриваться в качестве параметра ковариационная матрица , а не ее обратная .
![{\displaystyle \mathbf {V} ^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кумулятивная функция распределения
![{\displaystyle F(x,\sigma ^{2}\mid \mu,\lambda,\alpha,\beta) = {\frac {e^{- {\frac {\beta }{\sigma ^{2} }}}\left({\frac {\beta }{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha }\left(\operatorname {erf} \left({\frac {{\sqrt {\ лямбда }}(x-\mu )}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)+1\right)}{2\sigma ^{2}\Gamma (\alpha )}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Характеристики
Маржинальные распределения
Учитывая вышеизложенное, само по себе следует обратное гамма-распределение :![{\displaystyle (x,\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu,\lambda,\alpha,\beta)\!.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma ^{2}\sim \Gamma ^{-1}(\alpha,\beta)\!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
в то время как следует t-распределению со степенями свободы. [1]![{\displaystyle {\sqrt {\frac {\alpha \lambda }{\beta }}}(x-\mu)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2\альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательство![{\displaystyle \lambda =1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для функции плотности вероятности![{\displaystyle \lambda =1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x,\sigma ^{2}\mid \mu,\alpha,\beta)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Маргинальное распределение более![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x\mid \mu,\alpha,\beta)&=\int _{0}^{\infty }d\sigma ^{2}f(x,\sigma ^ {2}\mid \mu ,\alpha ,\beta )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\ Гамма (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }d\sigma ^{2}\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1/2+1}\exp \left(-{\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
За исключением нормировочного коэффициента, выражение под интегралом совпадает с обратным гамма-распределением.
![{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x;a,b)={\frac {b^{a}}{\Gamma (a)}}{\frac {e^{-b/x}}{ {x}^{a+1}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
с , , .![{\displaystyle x=\sigma ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a=\alpha +1/2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b={\frac {2\beta +(x-\mu)^{2}}{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку и![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }dx\Gamma ^{-1}(x;a,b)=1,\quad \int _{0}^{\infty }dxx^{-( a+1)}e^{-b/x}=\Gamma (a)b^{-a}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\sigma ^{2}\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1/2 +1}\exp \left(-{\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)=\Gamma (\alpha +1/ 2)\left({\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2}}\right)^{-(\alpha +1/2)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Подставив это выражение и факторизовав зависимость от ,![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x\mid \mu,\alpha,\beta)\propto _{x}\left(1+{\frac {(x-\mu)^{2}}{2\beta }}\ вправо)^{-(\alpha +1/2)}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Форма обобщенного t-распределения Стьюдента :
.
Маргинальное распределение соответствует t-распределению со степенями свободы.![{\ Displaystyle е (х \ середина \ му, \ альфа, \ бета)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2\альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
В многомерном случае предельное распределение представляет собой многомерное t-распределение :![{\displaystyle \mathbf {x} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {x} \sim t_{2\alpha }({\boldsymbol {\mu }}, {\frac {\beta }{\alpha }}\mathbf {V})\!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Суммирование
Масштабирование
Предполагать
![{\displaystyle (x,\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu,\lambda,\alpha,\beta)\!.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тогда для , ![{\displaystyle c>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (cx,c\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(c\mu,\lambda /c,\alpha,c\beta)\! .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательство: Чтобы доказать это, позвольте и исправьте . Определяя , обратите внимание, что PDF случайной величины, оцененной при , равна разу PDF случайной величины, оцененной при . Следовательно, PDF оценки at определяется следующим образом:![{\displaystyle (x,\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu,\lambda,\alpha,\beta)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y=(Y_{1},Y_{2})=(cx,c\sigma ^{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (y_{1},y_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1/c^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu,\lambda,\alpha,\beta)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (y_{1}/c,y_{2}/c)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (y_{1},y_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{Y}(y_{1},y_{2})={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2\ pi y_{2}/c}}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{y_{2}/ c}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\beta +\lambda (y_{1}/c-\mu )^{2}}{2y_{2} /c}}\right)={\frac {\sqrt {\lambda /c}}{\sqrt {2\pi y_{2}}}}\,{\frac {(c\beta )^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{y_{2}}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2c \beta +(\lambda /c)\,(y_{1}-c\mu )^{2}}{2y_{2}}}\right).\!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Правое выражение представляет собой PDF-файл для случайной величины, оцененной в , что завершает доказательство.![{\displaystyle {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(c\mu,\lambda /c,\alpha,c\beta)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (y_{1},y_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Экспоненциальное семейство
Распределения нормального обратного гамма-распределения образуют экспоненциальное семейство с естественными параметрами , , , и достаточной статистикой , , , и .![{\displaystyle \textstyle \theta _{1}={\frac {-\lambda }{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle \theta _{2} =\lambda \mu }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle \theta _{3}=\alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle \theta _{4}=-\beta +{\frac {-\lambda \mu ^{2}}{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle T_{1}={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle T_{2}={\frac {x}{\sigma ^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle T_{3}=\log {\big (}{\frac {1}{\sigma ^{2}}}{\big )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle T_{4}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Информационная энтропия
Расхождение Кульбака – Лейблера
Измеряет разницу между двумя распределениями.
Оценка максимального правдоподобия
Апостериорное распределение параметров
См. статьи о нормальном гамма-распределении и сопряженном априорном .
Интерпретация параметров
См. статьи о нормальном гамма-распределении и сопряженном априорном .
Генерация случайных величин нормальной-обратной гаммы
Генерация случайных величин проста:
- Выборка обратного гамма-распределения с параметрами и
![{\displaystyle \sigma ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \бета }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Выборка из нормального распределения со средним значением и дисперсией
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma ^{2}/\lambda }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Связанные дистрибутивы
- Нормальное гамма-распределение — это то же распределение, параметризованное точностью , а не дисперсией .
- Обобщением этого распределения, которое допускает многомерное среднее и полностью неизвестную положительно определенную ковариационную матрицу (тогда как в многомерном обратном гамма-распределении ковариационная матрица считается известной с точностью до масштабного коэффициента ), является нормальное обратное распределение Вишарта.
![{\displaystyle \sigma ^{2}\mathbf {V} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Рамирес-Хассан, Андрес. 4.2 Сопряжение до экспоненциального семейства | Введение в байесовскую эконометрику.
- Денисон, Дэвид Г.Т.; Холмс, Кристофер С.; Маллик, Бани К.; Смит, Адриан Ф.М. (2002) Байесовские методы нелинейной классификации и регрессии , Wiley. ISBN 0471490369
- Кох, Карл-Рудольф (2007) Введение в байесовскую статистику (2-е издание), Springer. ISBN 354072723X