Обратное гамма-распределение

Two-parameter family of continuous probability distributions

В теории вероятностей и статистике обратное гамма-распределение представляет собой двухпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей на положительной действительной линии , которое представляет собой распределение обратной величины переменной , распределенной согласно гамма-распределению .

Возможно, обратное гамма-распределение главным образом используется в байесовской статистике , где распределение возникает как предельное апостериорное распределение для неизвестной дисперсии нормального распределения , если используется неинформативное априорное распределение , и как аналитически управляемое сопряженное априорное распределение , если информативное распределение. предварительный требуется. Среди некоторых байесовцев принято рассматривать альтернативную параметризацию нормального распределения с точки зрения точности , определяемой как обратную величину дисперсии, что позволяет использовать гамма-распределение непосредственно в качестве сопряженного априорного значения. Другие байесовцы предпочитают параметризовать обратное гамма-распределение по-другому, как масштабированное обратное распределение хи-квадрат .

Характеристика

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности обратного гамма-распределения определяется на носителе ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)}$

с параметром формы и параметром масштаба . ^[1] Здесь обозначается гамма-функция . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

В отличие от гамма-распределения , которое содержит несколько похожий экспоненциальный член, является параметром масштаба, которому удовлетворяет функция распределения: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}}$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения представляет собой регуляризованную гамма-функцию.

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!}$

где числитель — верхняя неполная гамма-функция , а знаменатель — гамма-функция . Многие математические пакеты позволяют напрямую вычислять регуляризованную гамма-функцию. ${\displaystyle Q}$

Моменты

При условии , что -й момент обратного гамма-распределения определяется выражением ^[2] ${\displaystyle \alpha >n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.}$

Характеристическая функция

${\displaystyle K_{\alpha }(\cdot )}$в выражении характеристической функции используется модифицированная функция Бесселя 2-го рода.

Характеристики

Для и , ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$

${\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,}$

и

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,}$

Информационная энтропия – это

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$

где - дигамма-функция . ${\displaystyle \psi (\alpha )}$

Расхождение Кульбака -Лейблера обратной гаммы( α _p , β _p ) от обратной гаммы ( α _q , β _q ) такое же, как КЛ-дивергенция гаммы ( α _p , β _p ) от гамма ( α _q , β _q ):

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}$

где PDF-файлы обратного гамма-распределения и PDF-файлы гамма-распределений, распределена гамма ( α _p , β _p ). ${\displaystyle \rho ,\pi }$ ${\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}$

Связанные дистрибутивы

• Если тогда , для ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,}$ ${\displaystyle k>0}$
• Если тогда ( распределение обратное хи-квадрат ) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,}$
• Если тогда ( масштабированное распределение обратного хи-квадрата ) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,}$
• Если тогда ( распределение Леви ) ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}$
• Если тогда ( Показательное распределение ) ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,}$
• Если ( гамма-распределение с параметром скорости ), то (подробнее см. вывод в следующем параграфе) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$
• Обратите внимание, что если (гамма-распределение с параметром масштаба ), то ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,1/\theta )}$
• Обратное гамма-распределение является частным случаем распределения Пирсона 5-го типа.
• Многомерным обобщением обратного гамма-распределения является обратное распределение Вишарта .
• О распределении суммы независимых инвертированных гамма-переменных см. Витковский (2001).

Вывод из гамма-распределения

Пусть , и напомним, что PDF- распределение гамма-распределения равно ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$, . ${\displaystyle x>0}$

Обратите внимание, что это параметр скорости с точки зрения гамма-распределения. ${\displaystyle \beta }$

Дайте определение трансформации . Затем PDF- файл ${\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что это параметр масштаба с точки зрения обратного гамма-распределения. Это можно напрямую продемонстрировать, увидев, что оно удовлетворяет условиям масштабного параметра . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{\beta }(y/\beta )}{\beta }}&={\frac {1}{\beta }}{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {y}{\beta }}\right)^{-\alpha -1}\exp(-y)\\[6pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp(-y)\\[6pt]&=f_{\beta =1}(y)\end{aligned}}}$

Вхождение

• Распределение времени достижения винеровского процесса следует распределению Леви , которое является частным случаем обратного гамма-распределения с . ^[3] ${\displaystyle \alpha =0.5}$

Смотрите также

• Гамма-распределение
• Распределение обратного хи-квадрата
• Нормальное распределение
• Распределение Пирсона

Рекомендации

1. «InverseGammaDistribution — Документация по языку Wolfram». ссылка.wolfram.com . Проверено 9 апреля 2018 г.
2. Джон Д. Кук (3 октября 2008 г.). «Инверсноегаммараспределение» (PDF) . Проверено 3 декабря 2018 г.
3. Людковски, Майк (2007). «Математика 526: Заметки о броуновском движении» (PDF) . Калифорнийский университет в Санта-Барбаре. стр. 5–6.

• Хофф, П. (2009). «Первый курс байесовских статистических методов». Спрингер.
• Витковский, В. (2001). «Вычисление распределения линейной комбинации инвертированных гамма-переменных». Кибернетика . 37 (1): 79–90. МР  1825758. Збл  1263.62022.