Нормальный график вероятности

Графический метод в статистике

Нормальный вероятностный график — это графический метод для выявления существенных отклонений от нормальности . Он включает в себя выявление выбросов , асимметрии , эксцесса , необходимости преобразований и смесей . Нормальные вероятностные графики строятся на основе необработанных данных, остатков от подгонки модели и оценочных параметров.

Нормальный вероятностный график

На нормальном вероятностном графике (также называемом «нормальным графиком») отсортированные данные наносятся на график в зависимости от значений, выбранных таким образом, чтобы полученное изображение выглядело близко к прямой линии, если данные распределены приблизительно нормально. Отклонения от прямой линии указывают на отклонения от нормальности. Построение графика можно выполнить вручную с помощью специальной миллиметровой бумаги , называемой нормальной вероятностной бумагой . На современных компьютерах нормальные графики обычно создаются с помощью программного обеспечения.

Нормальный график вероятности является частным случаем графика вероятности Q–Q для нормального распределения. Теоретические квантили обычно выбираются для аппроксимации либо среднего значения, либо медианы соответствующих порядковых статистик .

Определение

Нормальный график вероятности формируется путем построения графика отсортированных данных в сравнении с приближением к средним или медианным значениям соответствующих порядковых статистик ; см. rankit . Некоторые строят графики данных на вертикальной оси; ^[1] другие строят графики данных на горизонтальной оси. ^{[2] [3]}

Различные источники используют немного разные приближения для rankits . Формула, используемая функцией "qqnorm" в базовом пакете "stats" в R (язык программирования), выглядит следующим образом:

${\displaystyle z_{i}=\Phi ^{-1}\left({\frac {i-a}{n+1-2a}}\right),}$

для i = 1, 2, ..., n , где

а = 3/8 , если n  ≤ 10 и

0,5 для n  > 10,

а Φ ⁻¹ — стандартная нормальная функция квантиля .

Если данные соответствуют выборке из нормального распределения, точки должны лежать близко к прямой линии. В качестве ориентира можно подогнать прямую линию к точкам. Чем дальше точки отклоняются от этой линии, тем больше указание на отклонение от нормальности. Если выборка имеет среднее значение 0, стандартное отклонение 1, то можно использовать линию, проходящую через 0 с наклоном 1.

При большем количестве точек случайные отклонения от линии будут менее выраженными. Нормальные графики часто используются всего с 7 точками, например, при построении графиков эффектов в насыщенной модели из 2-уровневого дробного факторного эксперимента . При меньшем количестве точек становится сложнее отличить случайную изменчивость от существенного отклонения от нормальности.

Другие дистрибутивы

Вероятностные графики для распределений, отличных от нормального, вычисляются точно таким же образом. Нормальная функция квантиля Φ ⁻¹ просто заменяется функцией квантиля желаемого распределения. Таким образом, вероятностный график может быть легко сгенерирован для любого распределения, для которого имеется функция квантиля.

С семейством распределений масштаба-местоположения параметры распределения масштаба и местоположения можно оценить по пересечению и наклону линии . Для других распределений параметры должны быть сначала оценены, прежде чем можно будет построить график вероятности.

Типы участков

Это выборка размером 50 из нормального распределения, представленная как гистограмма и график нормальной вероятности.

• 
  График нормальной вероятности выборки из нормального распределения — выглядит довольно прямолинейно, по крайней мере, если игнорировать несколько больших и малых значений.
• 
  Гистограмма выборки из нормального распределения – выглядит довольно симметричной и унимодальной.

Это выборка размером 50 из распределения со смещением вправо, представленная как гистограмма и график нормальной вероятности.

• 
  График нормальной вероятности выборки из распределения со скошенной вправо асимметрией имеет форму перевернутой буквы С.
• 
  Гистограмма выборки из распределения со смещением вправо – она выглядит унимодальной и смещенной вправо.

Это выборка размером 50 из равномерного распределения, представленная как гистограмма и график нормальной вероятности.

• 
  График нормальной вероятности выборки из равномерного распределения имеет S-образную форму.
• 
  Гистограмма выборки из равномерного распределения – она выглядит многомодальной и предположительно примерно симметричной.

Смотрите также

• График P–P
• График Q–Q
• Ранкит

Ссылки

 В статье использованы материалы, являющиеся общественным достоянием Национального института стандартов и технологий.

1. например, Чемберс и др. (1983, гл. 6. Оценка предположений о распределении данных, стр. 194)
2. Бокс, Джордж Э.П .; Дрейпер, Норман (2007), Поверхности отклика, смеси и анализ хребтов (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-470-05357-7
3. Титтерингтон, Д.М.; Смит, А.Ф.М.; Маков, У.Э. (1985), "4. Изучение параметров смеси", Статистический анализ распределений конечных смесей , Wiley, ISBN 0-471-90763-4

Дальнейшее чтение

• Чемберс, Джон; Уильям Кливленд; Бит Кляйнер; Пол Тьюки (1983). Графические методы анализа данных . Уодсворт.

Внешние ссылки

• Справочник по инженерной статистике: Нормальный график вероятности
• Поддержка Statit: Тестирование на «почти нормальность»: Вероятностный график