Норма оператора

Мера «размера» линейных операторов

В математике норма оператора измеряет «размер» некоторых линейных операторов , присваивая каждому действительное число, называемое его нормой оператора . Формально это норма , определенная в пространстве ограниченных линейных операторов между двумя заданными нормированными векторными пространствами . Неформально, операторная норма линейного отображения — это максимальный коэффициент, на который оно «удлиняет» векторы. ${\displaystyle \|T\|}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

Введение и определение

Учитывая два нормированных векторных пространства и (над одним и тем же базовым полем , действительными или комплексными числами ), линейное отображение является непрерывным тогда и только тогда, когда существует действительное число такое, что ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \|Av\|\leq c\|v\|\quad {\mbox{ for all }}v\in V.}$$

Норма слева — это норма в , а норма справа — та, что в . Интуитивно понятно, что непрерывный оператор никогда не увеличивает длину любого вектора более чем в раз. Таким образом, образ ограниченного множества под непрерывным оператором также ограничен. Из-за этого свойства непрерывные линейные операторы также известны как ограниченные операторы . Чтобы «измерить размер», можно взять нижнюю грань чисел так, чтобы приведенное выше неравенство выполнялось для всех. Это число представляет собой максимальный скалярный коэффициент, на который «удлиняются» векторы. Другими словами, «размер» измеряется тем, насколько он «удлиняет» векторы в «самом большом» случае. Итак, мы определяем операторную норму как ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \|A\|_{op}=\inf\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\mbox{ for all }}v\in V\}.}$$

Нижняя грань достигается , если множество всех таких чисел замкнуто , непусто и ограничено снизу. ^[2] ${\displaystyle c}$

Важно иметь в виду, что эта операторная норма зависит от выбора норм нормированных векторных пространств и . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Примеры

Каждая действительная матрица соответствует линейному отображению от до . Каждая пара множества (векторных) норм , применимых к вещественным векторным пространствам, индуцирует операторную норму для всех матриц действительных чисел; эти индуцированные нормы образуют подмножество матричных норм . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Если мы специально выберем евклидову норму для обоих, а затем матричная норма, заданная матрице, будет квадратным корнем из наибольшего собственного значения матрицы (где обозначает сопряженное транспонирование ) . ^[3] Это эквивалентно присвоению наибольшего сингулярного значения ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Переходя к типичному бесконечномерному примеру, рассмотрим пространство последовательностей , которое является пространством Lp , определяемым формулой ${\displaystyle \ell ^{2},}$

$${\displaystyle l^{2}=\left\{\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}:\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \right\}.}$$

Это можно рассматривать как бесконечномерный аналог евклидова пространства. Теперь рассмотрим ограниченную последовательность. Последовательность является элементом пространства с нормой, заданной выражением ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$

$${\displaystyle \left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }=\sup _{n}\left|s_{n}\right|.}$$

Определите оператор поточечным умножением: ${\displaystyle T_{s}}$

$${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\;{\stackrel {T_{s}}{\mapsto }}\;\ \left(s_{n}\cdot a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$$

Оператор ограничен операторной нормой ${\displaystyle T_{s}}$

$${\displaystyle \left\|T_{s}\right\|_{op}=\left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }.}$$

Это обсуждение распространяется непосредственно на случай, когда заменяется общим пространством с и заменяется на ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }.}$

Эквивалентные определения

Пусть – линейный оператор между нормированными пространствами. Первые четыре определения всегда эквивалентны, а если дополнительно, то эквивалентны все: ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle V\neq \{0\}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|A\|_{op}&=\inf &&\{c\geq 0~&&:~\|Av\|\leq c\|v\|~&&~{\mbox{ for all }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\leq 1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|<1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\in \{0,1\}~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|=1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}~&&:~v\neq 0~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}.\\\end{alignedat}}}$

Если тогда множества в последних двух строках будут пустыми, и, следовательно, их верхние пределы по множеству будут равны вместо правильного значения. Если вместо этого берется верхняя грань по множеству , то верхняя грань пустого множества равна и формулы верны для любого ${\displaystyle V=\{0\}}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V.}$

Важно отметить, что линейный оператор , как правило, не гарантирует достижения своей нормы на замкнутом единичном шаре, что означает, что не может существовать такого вектора нормы (если такой вектор существует и если тогда он обязательно будет иметь единичную норму ). Р. К. Джеймс доказал теорему Джеймса в 1964 году, которая утверждает, что банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда каждый ограниченный линейный функционал достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре. ^[4] Отсюда, в частности, следует, что каждое нерефлексивное банахово пространство имеет некоторый ограниченный линейный функционал (разновидность ограниченного линейного оператора), который не достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре. ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|Av\|:\|v\|\leq 1,v\in V\}}$ ${\displaystyle \{v\in V:\|v\|\leq 1\},}$ ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle \|u\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|A\|_{op}=\|Au\|}$ ${\displaystyle A\neq 0,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\in V^{*}}$

Если ограничено, то ^[5] ${\displaystyle A:V\to W}$

$${\displaystyle \|A\|_{op}=\sup \left\{\left|w^{*}(Av)\right|:\|v\|\leq 1,\left\|w^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}v\in V,w^{*}\in W^{*}\right\}}$$

^[5]

$${\displaystyle \|A\|_{op}=\left\|{}^{t}A\right\|_{op}}$$

формулой ${\displaystyle {}^{t}A:W^{*}\to V^{*}}$ ${\displaystyle A:V\to W,}$ ${\displaystyle w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.}$

Характеристики

Норма оператора действительно является нормой в пространстве всех ограниченных операторов между и . Это означает ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle \|A\|_{op}\geq 0{\mbox{ and }}\|A\|_{op}=0{\mbox{ if and only if }}A=0,}$$

$${\displaystyle \|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}{\mbox{ for every scalar }}a,}$$

$${\displaystyle \|A+B\|_{op}\leq \|A\|_{op}+\|B\|_{op}.}$$

Следующее неравенство является непосредственным следствием определения:

$${\displaystyle \|Av\|\leq \|A\|_{op}\|v\|\ {\mbox{ for every }}\ v\in V.}$$

Норма оператора также совместима с композицией или умножением операторов: если и — три нормированных пространства над одним и тем же базовым полем, а и — два ограниченных оператора, то это субмультипликативная норма , то есть: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle B:W\to X}$

$${\displaystyle \|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op}.}$$

Для ограниченных операторов на это означает, что операторное умножение является совместно непрерывным. ${\displaystyle V}$

Из определения следует, что если последовательность операторов сходится в операторной норме, то она сходится равномерно на ограниченных множествах.

Таблица общих норм оператора

Выбирая разные нормы для кодомена, используемого в вычислениях , и домена, используемого в вычислениях , мы получаем разные значения операторной нормы. Некоторые общие операторные нормы легко вычислить, а другие NP-сложны . За исключением NP-жестких норм, все эти нормы можно вычислить за операции (для матрицы), за исключением нормы (которая требует операций для точного ответа или меньше, если аппроксимировать ее степенным методом или итерациями Ланцоша). ). ${\displaystyle \|Av\|}$ ${\displaystyle \|v\|}$ ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \ell _{2}-\ell _{2}}$ ${\displaystyle N^{3}}$

Норму сопряженного или транспонированного можно вычислить следующим образом. Мы имеем это для любого , где Гёльдер сопряжен с то есть, и ${\displaystyle p,q,}$ ${\displaystyle \|A\|_{p\rightarrow q}=\|A^{*}\|_{q'\rightarrow p'}}$ ${\displaystyle p',q'}$ ${\displaystyle p,q,}$ ${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$ ${\displaystyle 1/q+1/q'=1.}$

Операторы в гильбертовом пространстве

Пусть — вещественное или комплексное гильбертово пространство . Если – ограниченный линейный оператор, то имеем ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A:H\to H}$

$${\displaystyle \|A\|_{op}=\left\|A^{*}\right\|_{op}}$$

$${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{op}=\|A\|_{op}^{2},}$$

сопряженный операторевклидовых пространствахскалярным произведениемсопряженному транспонированию ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

В общем случае спектральный радиус ограничен сверху операторной нормой : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{op}.}$$

Чтобы понять, почему равенство не всегда может иметь место, рассмотрим йорданову каноническую форму матрицы в конечномерном случае. Поскольку на супердиагонали есть ненулевые записи, равенство может быть нарушено. Квазинильпотентные операторы — один из классов таких примеров. Ненулевой квазинильпотентный оператор имеет спектр . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle \rho (A)=0}$ ${\displaystyle \|A\|_{op}>0.}$

Однако когда матрица нормальна , ее жорданова каноническая форма диагональна (с точностью до унитарной эквивалентности) ; это спектральная теорема . В этом случае легко увидеть, что ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \rho (N)=\|N\|_{op}.}$$

Эту формулу иногда можно использовать для вычисления операторной нормы данного ограниченного оператора : определите эрмитов оператор, определите его спектральный радиус и извлеките квадратный корень , чтобы получить операторную норму ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=A^{*}A,}$ ${\displaystyle A.}$

Пространство ограниченных операторов с топологией , индуцированной операторной нормой, не сепарабельно . Например, рассмотрим пространство Lp , которое является гильбертовым пространством. Ибо пусть – характеристическая функция и – оператор умножения , заданный формулой: ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle L^{2}[0,1],}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle [0,t],}$ ${\displaystyle P_{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{t},}$

$${\displaystyle P_{t}(f)=f\cdot \Omega _{t}.}$$

Тогда каждый является ограниченным оператором с операторной нормой 1 и ${\displaystyle P_{t}}$

$${\displaystyle \left\|P_{t}-P_{s}\right\|_{op}=1\quad {\mbox{ for all }}\quad t\neq s.}$$

Но это бесчисленное множество . Это означает, что пространство ограниченных операторов на несепарабельно в операторной норме. Это можно сравнить с тем фактом, что пространство последовательностей не сепарабельно. ${\displaystyle \{P_{t}:0<t\leq 1\}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Ассоциативная алгебра всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве вместе с операторной нормой и присоединенной операцией дает С*-алгебру .

Смотрите также

• Компакт Банаха – Мазура  – ​​набор n-мерных подпространств нормированного пространства, преобразованных в компактное метрическое пространство.
• Непрерывный линейный оператор
• Сжатие (теория операторов)  - Ограниченные операторы с субъединичной нормой
• Прерывистая линейная карта
• Двойная норма  - измерение в нормированном векторном пространстве.
• Матричная норма  - Норма векторного пространства матриц.
• Норма (математика)  – Длина в векторном пространстве.
• Нормированное пространство  - векторное пространство, в котором определяется расстояние.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Операторная алгебра  - раздел функционального анализа.
• Теория операторов  - Математическая область исследования
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Неограниченный оператор  - линейный оператор, определенный в плотном линейном подпространстве.

Примечания

1. Крейциг, Эрвин (1978), Вводный функциональный анализ с приложениями , John Wiley & Sons, стр. 97, ISBN 9971-51-381-1
2. См., например, лемму 6.2 из Aliprantis & Border (2007).
3. Вайсштейн, Эрик В. «Оператор Норм». mathworld.wolfram.com . Проверено 14 марта 2020 г.
4. Дистель 1984, с. 6.
5. Рудин 1991, стр. 92–115.
6. раздел 4.3.1, докторская диссертация Джоэла Троппа , [1]

Рекомендации

• Алипрантис, Хараламбос Д.; Бордер, Ким К. (2007), Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом, Springer, стр. 229, ISBN 9783540326960.
• Конвей, Джон Б. (1990), «III.2 Линейные операторы в нормированных пространствах», Курс функционального анализа, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 67–69, ISBN 0-387-97245-5
• Дистель, Джо (1984). Последовательности и ряды в банаховых пространствах . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5. ОСЛК  9556781.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.