Норма оператора

Мера «размера» линейных операторов

В математике норма оператора измеряет «размер» некоторых линейных операторов , присваивая каждому из них действительное число , называемое его нормой оператора . Формально это норма , определенная на пространстве ограниченных линейных операторов между двумя заданными нормированными векторными пространствами . Неформально норма оператора линейного отображения — это максимальный множитель, на который оно «удлиняет» векторы. ${\displaystyle \|T\|}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

Введение и определение

Для двух нормированных векторных пространств ( над одним и тем же базовым полем , либо действительных чисел , либо комплексных чисел ) линейное отображение непрерывно тогда и только тогда, когда существует действительное число такое, что ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \|Av\|\leq c\|v\|\quad {\text{ for all }}v\in V.}$$

Норма слева — это норма в , а норма справа — это норма в . Интуитивно понятно, что непрерывный оператор никогда не увеличивает длину любого вектора более чем в раз Таким образом, изображение ограниченного множества при непрерывном операторе также ограничено. Из-за этого свойства непрерывные линейные операторы также известны как ограниченные операторы . Чтобы «измерить размер» можно взять инфимум чисел таким образом, что указанное выше неравенство выполняется для всех Это число представляет собой максимальный скалярный множитель, на который «удлиняет» векторы. Другими словами, «размер» измеряется тем, насколько он «удлиняет» векторы в «самом большом» случае. Поэтому мы определяем норму оператора как ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\inf\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\text{ for all }}v\in V\}.}$$

Нижняя грань достигается, когда множество всех таких множеств замкнуто , непусто и ограничено снизу . ^[2] ${\displaystyle c}$

Важно иметь в виду, что эта операторная норма зависит от выбора норм для нормированных векторных пространств и . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Примеры

Каждая вещественная матрица размером , соответствует линейному отображению из в Каждая пара множества (векторных) норм, применимых к вещественным векторным пространствам, индуцирует операторную норму для всех вещественных матриц размером , ; эти индуцированные нормы образуют подмножество матричных норм . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Если мы специально выберем евклидову норму для обоих и тогда матричная норма, заданная для матрицы, будет квадратным корнем наибольшего собственного значения матрицы (где обозначает сопряженное транспонирование ) . ^[3] Это эквивалентно назначению наибольшего сингулярного значения ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Переходя к типичному бесконечномерному примеру, рассмотрим пространство последовательностей , которое является пространством L p , определяемым формулой ${\displaystyle \ell ^{2},}$ $${\displaystyle \ell ^{2}=\left\{(a_{n})_{n\geq 1}:\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \right\}.}$$

Это можно рассматривать как бесконечномерный аналог евклидова пространства. Теперь рассмотрим ограниченную последовательность. Последовательность является элементом пространства с нормой, заданной формулой ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$ $${\displaystyle \left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }=\sup _{n}\left|s_{n}\right|.}$$

Определим оператор поточечным умножением: ${\displaystyle T_{s}}$ $${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\;{\stackrel {T_{s}}{\mapsto }}\;\ \left(s_{n}\cdot a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$$

Оператор ограничен нормой оператора ${\displaystyle T_{s}}$ $${\displaystyle \left\|T_{s}\right\|_{\text{op}}=\left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }.}$$

Это обсуждение распространяется непосредственно на случай, когда заменяется общим пространством с и заменяется на ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }.}$

Эквивалентные определения

Пусть — линейный оператор между нормированными пространствами. Первые четыре определения всегда эквивалентны, а если вдобавок , то они все эквивалентны: ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle V\neq \{0\}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|A\|_{\text{op}}&=\inf &&\{c\geq 0~&&:~\|Av\|\leq c\|v\|~&&~{\text{ for all }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\leq 1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|<1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\in \{0,1\}~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|=1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}~&&:~v\neq 0~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}.\\\end{alignedat}}}$

Если тогда множества в последних двух строках будут пустыми, и, следовательно, их супремумы по множеству будут равны вместо правильного значения Если супремум берется по множеству вместо этого, то супремум пустого множества равен и формулы верны для любого ${\displaystyle V=\{0\}}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V.}$

Важно отметить, что линейный оператор , в общем случае, не гарантирует достижения своей нормы на замкнутом единичном шаре, что означает, что может не существовать никакого вектора нормы, такого что (если такой вектор существует и если то обязательно будет иметь единичную норму ). RC James доказал теорему Джеймса в 1964 году, которая гласит, что банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда каждый ограниченный линейный функционал достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре. ^[4] Из этого следует, в частности, что каждое нерефлексивное банахово пространство имеет некоторый ограниченный линейный функционал (тип ограниченного линейного оператора), который не достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре. ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\sup\{\|Av\|:\|v\|\leq 1,v\in V\}}$ ${\displaystyle \{v\in V:\|v\|\leq 1\},}$ ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle \|u\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\|Au\|}$ ${\displaystyle A\neq 0,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\in V^{*}}$

Если ограничено, то ^[5] и ^[5] где — транспонирование , которое является линейным оператором, определяемым соотношением ${\displaystyle A:V\to W}$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\sup \left\{\left|w^{*}(Av)\right|:\|v\|\leq 1,\left\|w^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}v\in V,w^{*}\in W^{*}\right\}}$$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\left\|{}^{t}A\right\|_{\text{op}}}$$ ${\displaystyle {}^{t}A:W^{*}\to V^{*}}$ ${\displaystyle A:V\to W,}$ ${\displaystyle w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.}$

Характеристики

Норма оператора действительно является нормой на пространстве всех ограниченных операторов между и . Это означает ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}\geq 0{\mbox{ and }}\|A\|_{\text{op}}=0{\mbox{ if and only if }}A=0,}$$ $${\displaystyle \|aA\|_{\text{op}}=|a|\|A\|_{\text{op}}{\mbox{ for every scalar }}a,}$$ $${\displaystyle \|A+B\|_{\text{op}}\leq \|A\|_{\text{op}}+\|B\|_{\text{op}}.}$$

Следующее неравенство является непосредственным следствием определения: $${\displaystyle \|Av\|\leq \|A\|_{\text{op}}\|v\|\ {\mbox{ for every }}\ v\in V.}$$

Норма оператора также совместима с композицией или умножением операторов: если , и — три нормированных пространства над одним и тем же базовым полем, а и — два ограниченных оператора, то это субмультипликативная норма , то есть: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle B:W\to X}$ $${\displaystyle \|BA\|_{\text{op}}\leq \|B\|_{\text{op}}\|A\|_{\text{op}}.}$$

Для ограниченных операторов на это означает, что умножение операторов является совместно непрерывным. ${\displaystyle V}$

Из определения следует, что если последовательность операторов сходится по операторной норме, то она сходится равномерно на ограниченных множествах.

Таблица общих норм операторов

Выбирая различные нормы для области значений, используемой в вычислениях , и области значений, используемой в вычислениях , мы получаем различные значения для нормы оператора. Некоторые общие нормы операторов легко вычисляются, а другие являются NP-трудными . За исключением NP-трудных норм, все эти нормы могут быть вычислены в операциях (для матрицы), за исключением нормы (которая требует операций для точного ответа, или меньше, если вы аппроксимируете ее степенным методом или итерациями Ланцоша ). ${\displaystyle \|Av\|}$ ${\displaystyle \|v\|}$ ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \ell _{2}-\ell _{2}}$ ${\displaystyle N^{3}}$

Норма сопряженного или транспонированного элемента может быть вычислена следующим образом. Мы имеем, что для любого тогда где являются сопряженными по Гёльдеру , то есть, и ${\displaystyle p,q,}$ ${\displaystyle \|A\|_{p\rightarrow q}=\|A^{*}\|_{q'\rightarrow p'}}$ ${\displaystyle p',q'}$ ${\displaystyle p,q,}$ ${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$ ${\displaystyle 1/q+1/q'=1.}$

Операторы в гильбертовом пространстве

Предположим, что — действительное или комплексное гильбертово пространство . Если — ограниченный линейный оператор, то имеем и где обозначает сопряженный оператор для (который в евклидовых пространствах со стандартным скалярным произведением соответствует сопряженному транспонированию матрицы ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A:H\to H}$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}}$$ $${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2},}$$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

В общем случае спектральный радиус ограничен сверху нормой оператора : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{\text{op}}.}$$

Чтобы увидеть, почему равенство не всегда может быть выполнено, рассмотрим каноническую форму Жордана матрицы в конечномерном случае. Поскольку на супердиагонали есть ненулевые элементы, равенство может быть нарушено. Квазинильпотентные операторы — один из классов таких примеров. Ненулевой квазинильпотентный оператор имеет спектр . Поэтому , пока ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle \rho (A)=0}$ ${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}>0.}$

Однако, когда матрица нормальна , ее жорданова каноническая форма диагональна (с точностью до унитарной эквивалентности ) ; это спектральная теорема . В этом случае легко видеть, что ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \rho (N)=\|N\|_{\text{op}}.}$$

Эту формулу иногда можно использовать для вычисления нормы оператора заданного ограниченного оператора : определить эрмитов оператор, определить его спектральный радиус и извлечь квадратный корень , чтобы получить норму оператора ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=A^{*}A,}$ ${\displaystyle A.}$

Пространство ограниченных операторов на с топологией, индуцированной нормой оператора, не является сепарабельным . Например, рассмотрим пространство Lp , которое является гильбертовым пространством. Для пусть будет характеристической функцией и будет оператором умножения, заданным как , то есть, ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle L^{2}[0,1],}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle [0,t],}$ ${\displaystyle P_{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{t},}$ $${\displaystyle P_{t}(f)=f\cdot \Omega _{t}.}$$

Тогда каждый из них является ограниченным оператором с операторной нормой 1 и ${\displaystyle P_{t}}$ $${\displaystyle \left\|P_{t}-P_{s}\right\|_{\text{op}}=1\quad {\mbox{ for all }}\quad t\neq s.}$$

Но — несчетное множество . Это означает, что пространство ограниченных операторов на не является сепарабельным в норме оператора. Можно сравнить это с тем фактом, что пространство последовательностей не является сепарабельным. ${\displaystyle \{P_{t}:0<t\leq 1\}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Ассоциативная алгебра всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве вместе с нормой оператора и сопряженной операцией дает C*-алгебру .

Смотрите также

• Компакт Банаха – Мазура  - Концепция функционального анализа.
• Непрерывный линейный оператор
• Сокращение (теория операторов)  – Ограниченные операторы с субъединичной нормой
• Прерывистое линейное отображение
• Двойственная норма  – измерение в нормированном векторном пространстве
• Матричная норма  – норма на векторном пространстве матриц
• Норма (математика)  – Длина в векторном пространстве
• Нормированное пространство  – векторное пространство, на котором определено расстояние.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Операторная алгебра  – Раздел функционального анализа
• Теория операторов  – Математическая область изучения
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Неограниченный оператор  – Линейный оператор, определенный на плотном линейном подпространстве.

Примечания

1. Крейсциг, Эрвин (1978), Вводный функциональный анализ с приложениями , John Wiley & Sons, стр. 97, ISBN 9971-51-381-1
2. См., например, лемму 6.2 из Aliprantis & Border (2007).
3. Weisstein, Eric W. "Operator Norm". mathworld.wolfram.com . Получено 14.03.2020 .
4. Дистель 1984, стр. 6.
5. Рудин 1991, стр. 92–115.
6. раздел 4.3.1, докторская диссертация Джоэла Троппа , [1]

Ссылки

• Алипрантис, Хараламбос Д.; Бордер, Ким К. (2007), Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом, Springer, стр. 229, ISBN 9783540326960.
• Конвей, Джон Б. (1990), «III.2 Линейные операторы в нормированных пространствах», Курс функционального анализа, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 67–69, ISBN 0-387-97245-5
• Diestel, Joe (1984). Последовательности и ряды в банаховых пространствах . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5. OCLC  9556781.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.