Поглощающий элемент

Особый тип элемента множества

В математике поглощающий элемент ( или аннулирующий элемент ) — это особый тип элемента множества относительно бинарной операции над этим множеством. Результатом объединения поглощающего элемента с любым элементом множества является сам поглощающий элемент. В теории полугрупп поглощающий элемент называется нулевым элементом ^{[1] [2]} , поскольку нет риска путаницы с другими понятиями нуля , за исключением одного важного исключения: в аддитивной нотации ноль может, вполне естественно, обозначать нейтральный элемент моноида. В этой статье «нулевой элемент» и «поглощающий элемент» являются синонимами.

Определение

Формально, пусть ( S , •) будет множеством S с замкнутой бинарной операцией • на нем (известной как магма ). Нулевой элемент (или поглощающий / уничтожающий элемент ) — это элемент z такой, что для всех s в S , z • s = s • z = z . Это понятие можно уточнить до понятий левого нуля , где требуется только, чтобы z • s = z , и правого нуля , где s • z = z . ^[2]

Поглощающие элементы особенно интересны для полугрупп , особенно мультипликативной полугруппы полукольца . В случае полукольца с 0 определение поглощающего элемента иногда смягчается, так что не требуется поглощать 0; в противном случае 0 был бы единственным поглощающим элементом. ^[3]

Характеристики

• Если магма имеет как левый ноль z, так и правый ноль z ′, то она имеет ноль, поскольку z = z • z ′ = z ′ .
• В магме может быть максимум один нулевой элемент.

Примеры

• Самый известный пример поглощающего элемента взят из элементарной алгебры, где любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Таким образом, ноль является поглощающим элементом.
• Нуль любого кольца также является поглощающим элементом. Для элемента r кольца R , r 0 = r (0 + 0) = r 0 + r 0 , поэтому 0 = r 0 , так как нуль является единственным элементом a , для которого r − r = a для любого r в кольце R . Это свойство справедливо также в rng , поскольку мультипликативная идентичность не требуется.
• Арифметика с плавающей точкой , как определено в стандарте IEEE-754, содержит специальное значение, называемое Not-a-Number («NaN»). Это поглощающий элемент для каждой операции; т. е. x + NaN = NaN + x = NaN , x − NaN = NaN − x = NaN и т. д.
• Множество бинарных отношений над множеством X вместе с композицией отношений образует моноид с нулем, где нулевым элементом является пустое отношение ( пустое множество ).
• Замкнутый интервал H = [0, 1] с x • y = min( x , y ) также является моноидом с нулем, а нулевой элемент равен 0.
• Еще примеры:

Смотрите также

• Поглощающий набор  – набор, который можно «надуть», чтобы достичь любой точки.
• Аннигилятор (значения)
• Аннулятор (теория колец)  – идеал, который отображает в ноль подмножество модуля.
• Идемпотент (теория колец)  — в математике элемент, равный своему квадрату — элемент x кольца, такой что x ² = x
• Элемент тождества  – Конкретный элемент алгебраической структуры
• Нулевая полугруппа  – полугруппа с поглощающим элементом, называемым нулем, в которой произведение любых двух элементов равно нулю.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва

Примечания

1. Хауи 1995, стр. 2–3.
2. Килп, Кнауэр и Михалев 2000, стр. 14–15.
3. Голан 1999, стр. 67

Ссылки

• Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугрупп . Clarendon Press . ISBN 0-19-851194-9.
• Килп, М.; Кнауэр, У.; Михалев, А.В. (2000), «Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам», « Изложения де Грютера по математике » , 29 , Вальтер де Грюйтер, ISBN 3-11-015248-7
• Голан, Джонатан С. (1999). Полукольца и их приложения . Springer. ISBN 0-7923-5786-8.

Внешние ссылки

• Поглощающий элемент в PlanetMath