Подгруппа серии

В математике , в частности в теории групп , ряд подгрупп группы — это цепочка подгрупп : ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G}$

где — тривиальная подгруппа . Ряды подгрупп могут упростить изучение группы до изучения более простых подгрупп и их отношений, и несколько рядов подгрупп могут быть определены инвариантно и являются важными инвариантами групп. Ряд подгрупп используется в методе подгрупп . ${\displaystyle 1}$

Ряды подгрупп представляют собой частный пример использования фильтраций в абстрактной алгебре .

Определение

Нормальная серия, субнормальная серия

Субнормальный ряд (также нормальный ряд , нормальная башня , субинвариантный ряд или просто ряд ) группы G — это последовательность подгрупп , каждая из которых является нормальной подгруппой следующей. В стандартной записи

${\displaystyle 1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G.}$

Не требуется, чтобы A _i была нормальной подгруппой G , а только нормальной подгруппой A _{i  +1} . Фактор-группы A _{i  +1} / A _i называются фактор-группами ряда.

Если при этом каждый A _i является нормальным в G , то ряд называется нормальным рядом , когда этот термин не используется в более слабом смысле, или инвариантным рядом .

Длина

Ряд с дополнительным свойством, что A _i ≠ A _{i  +1} для всех i, называется рядом без повторений ; эквивалентно, каждое A _i является собственной подгруппой A _{i  +1} . Длина ряда — это число строгих включений A _i < A _{i  +1} . Если ряд не имеет повторений, то длина равна n .

Для субнормального ряда длина равна числу нетривиальных фактор-групп. Каждая нетривиальная группа имеет нормальный ряд длины 1, а именно , и любая нетривиальная собственная нормальная подгруппа дает нормальный ряд длины 2. Для простых групп тривиальный ряд длины 1 является самым длинным возможным субнормальным рядом. ${\displaystyle 1\triangleleft G}$

Восходящий ряд, нисходящий ряд

Ряды можно записывать в любом порядке возрастания:

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G}$

или в порядке убывания:

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq B_{n}=1.}$

Для данной конечной серии нет различия между «возрастающей серией» или «нисходящей серией» за пределами обозначений. Для бесконечной серии, однако, есть различие: восходящая серия

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

имеет наименьший член, второй наименьший член и так далее, но не имеет наибольшего собственного члена, второго по величине члена и так далее, в то время как наоборот, нисходящий ряд

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq 1}$

имеет наибольший член, но не имеет наименьшего собственного члена.

Далее, учитывая рекурсивную формулу для получения ряда, полученные члены являются либо восходящими, либо нисходящими, и результирующий ряд называется восходящим или нисходящим рядом соответственно. Например, производный ряд и нижний центральный ряд являются нисходящими рядами, в то время как верхний центральный ряд является восходящим рядом.

Нётеровы группы, Артиновы группы

Группа, удовлетворяющая условию обрыва восходящей цепи (ACC) на подгруппах, называется нётеровой группой , а группа, удовлетворяющая условию обрыва нисходящей цепи (DCC), называется артиновой группой (не путать с группами Артина ), по аналогии с нётеровыми кольцами и артиновыми кольцами . ACC эквивалентно максимальному условию : каждый непустой набор подгрупп имеет максимальный элемент, а DCC эквивалентно аналогичному минимальному условию .

Группа может быть нётеровой, но не артиновой, как бесконечная циклическая группа , и в отличие от колец , группа может быть артиновой, но не нётеровой, как группа Прюфера . Каждая конечная группа, очевидно, нётерова и артинова.

Гомоморфные образы и подгруппы нётеровых групп являются нётеровыми, а расширение нётеровой группы нётеровой группой является нётеровым. Аналогичные результаты справедливы для артиновых групп.

Нётеровы группы эквивалентно тем, что каждая подгруппа является конечно порождённой , что сильнее, чем конечно порождённость самой группы: свободная группа с 2 или конечно большим числом образующих конечно порождёна, но содержит свободные группы бесконечного ранга.

Нётеровы группы не обязательно должны быть конечными расширениями полициклических групп . ^[1]

Бесконечные и трансфинитные ряды

Бесконечные ряды подгрупп также могут быть определены и возникать естественным образом, в этом случае становится важным определенный ( полностью упорядоченный ) набор индексации, и существует различие между восходящими и нисходящими рядами. Восходящий ряд , где индексируются натуральными числами, может быть просто назван бесконечным восходящим рядом , и наоборот для бесконечного нисходящего ряда . Если подгруппы более обще индексируются порядковыми числами , то получается трансфинитный ряд , ^[2], такой как этот восходящий ряд: ${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$ ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{\omega }\leq A_{\omega +1}=G}$

Учитывая рекурсивную формулу для создания ряда, можно определить трансфинитный ряд с помощью трансфинитной рекурсии , определив ряд в предельных ординалах с помощью (для восходящих рядов) или (для нисходящих рядов). Фундаментальными примерами этой конструкции являются трансфинитный нижний центральный ряд и верхний центральный ряд . ${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcap _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$

Другие полностью упорядоченные множества возникают редко, если вообще возникают, как индексирующие множества рядов подгрупп. ^{[ требуется ссылка ]} Например, можно определить, но редко увидеть естественным образом двусторонние бесконечные ряды подгрупп (ряды, индексированные целыми числами ):

${\displaystyle 1\leq \cdots \leq A_{-1}\leq A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

Сравнение серий

Уточнение ряда — это другой ряд , содержащий каждый из членов исходного ряда. Два субнормальных ряда называются эквивалентными или изоморфными, если между множествами их фактор-групп существует биекция , такая что соответствующие фактор-группы изоморфны . Уточнение дает частичный порядок на рядах с точностью до эквивалентности, и они образуют решетку , в то время как субнормальные ряды и нормальные ряды образуют подрешетки. Существование супремума двух субнормальных рядов — это теорема Шрейера об уточнении . Особый интерес представляют максимальные ряды без повторений.

Примеры

Максимальная серия

• Композиционный ряд — это максимальный субнормальный ряд.

Эквивалентно, субнормальный ряд, для которого каждая из A _i является максимальной нормальной подгруппой A _{i  +1} . Эквивалентно, композиционный ряд — это субнормальный ряд, для которого каждая из фактор-групп является простой .

• Главный ряд — это максимальный нормальный ряд.

Разрешимый и нильпотентный

• Разрешимая группа , или разрешимая группа, — это группа с субнормальным рядом, все фактор-группы которой абелевы .
• Нильпотентный ряд — это субнормальный ряд, в котором последовательные частные являются нильпотентными .

Нильпотентный ряд существует тогда и только тогда, когда группа разрешима .

• Центральный ряд — это субнормальный ряд, такой, что последовательные частные являются центральными , т.е. для данного ряда выше для . ${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}\subseteq Z(G/A_{i})}$ ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n-2}$

Центральный ряд существует тогда и только тогда, когда группа нильпотентна .

Функциональная серия

Некоторые серии подгрупп определяются функционально , в терминах подгрупп, таких как центр, и операций, таких как коммутатор. Они включают:

• Нижняя центральная серия
• Верхний центральный ряд
• Производные серии
• Нижняя серия фитингов
• Серия верхних фитингов

п-ряд

Существуют ряды, происходящие из подгрупп порядка простой степени или индекса простой степени, связанные с такими идеями, как подгруппы Силова .

• Нижняя p -серия
• Верхняя p -серия

Ссылки

1. Ольшанский, А. Ю. (1979). «Бесконечные группы с циклическими подгруппами». Докл. АН СССР . 20 : 343–346.(Английский перевод Докл. АН СССР , 245 , 785–787)
2. Шарипов, РА (2009). «Трансфинитные нормальные и композиционные ряды групп». arXiv : 0908.2257 [math.GR].