Лучистый перенос

Передача энергии в виде электромагнитного излучения

Перенос излучения (также называемый переносом излучения ) — это физическое явление переноса энергии в форме электромагнитного излучения. Распространение излучения через среду зависит от процессов поглощения , испускания и рассеяния . Уравнение переноса излучения математически описывает эти взаимодействия. Уравнения переноса излучения применяются в самых разных областях, включая оптику, астрофизику, науку об атмосфере и дистанционное зондирование. Аналитические решения уравнения переноса излучения (УПИ) существуют для простых случаев, но для более реалистичных сред со сложными эффектами многократного рассеяния требуются численные методы. Настоящая статья в значительной степени сосредоточена на состоянии равновесия излучения . ^{[1] [2]}

Определения

Основная величина, описывающая поле излучения, в радиометрических терминах называется спектральной яркостью (в других областях ее часто называют удельной интенсивностью ). Для очень малого элемента площади в поле излучения может быть электромагнитное излучение, проходящее в обоих смыслах в каждом пространственном направлении через него. В радиометрических терминах прохождение может быть полностью охарактеризовано количеством энергии, излучаемой в каждом из двух смыслов в каждом пространственном направлении, в единицу времени, на единицу площади поверхности источника прохождения, на единицу телесного угла приема на расстоянии, на единицу рассматриваемого интервала длин волн ( поляризация будет игнорироваться в данный момент).

В терминах спектральной яркости энергия, протекающая через элемент площади, расположенный в момент времени в телесном угле относительно направления в частотном интервале to , равна ${\displaystyle I_{\nu }}$ ${\displaystyle da\,}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle dt\,}$ ${\displaystyle d\Omega }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle \nu \,}$ ${\displaystyle \nu +d\nu \,}$

${\displaystyle dE_{\nu }=I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)\cos \theta \ d\nu \,da\,d\Omega \,dt}$

где — угол, который единичный вектор направления образует с нормалью к элементу площади. Единицами спектральной яркости являются энергия/время/площадь/телесный угол/частота. В единицах МКС это будет Вт·м ⁻² ·ср ⁻¹ ·Гц ⁻¹ (ватт на квадратный метр-стерадиан-герц). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

Уравнение переноса излучения

Уравнение переноса излучения просто говорит, что по мере того, как луч излучения движется, он теряет энергию из-за поглощения, получает энергию из-за процессов излучения и перераспределяет энергию посредством рассеяния. Дифференциальная форма уравнения переноса излучения:

${\displaystyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}I_{\nu }+{\hat {\Omega }}\cdot \nabla I_{\nu }+(k_{\nu ,s}+k_{\nu ,a})\rho I_{\nu }=j_{\nu }\rho +{\frac {1}{4\pi }}k_{\nu ,s}\rho \int _{\Omega }I_{\nu }d\Omega }$

где — скорость света, — коэффициент излучения, — непрозрачность рассеяния, — непрозрачность поглощения, — плотность массы, а термин представляет собой излучение, рассеянное с других направлений на поверхность. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu ,s}}$ ${\displaystyle k_{\nu ,a}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}k_{\nu ,s}\int _{\Omega }I_{\nu }d\Omega }$

Решения уравнения переноса излучения

Решения уравнения переноса излучения образуют огромный объем работы. Однако различия, по сути, обусловлены различными формами коэффициентов излучения и поглощения. Если рассеяние игнорируется, то общее решение стационарного состояния в терминах коэффициентов излучения и поглощения может быть записано:

${\displaystyle I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau _{\nu }(s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}j_{\nu }(s')e^{-\tau _{\nu }(s',s)}\,ds'}$

где — оптическая глубина среды между положениями и : ${\displaystyle \tau _{\nu }(s_{1},s_{2})}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$

${\displaystyle \tau _{\nu }(s_{1},s_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{s_{1}}^{s_{2}}\alpha _{\nu }(s)\,ds}$

Локальное термодинамическое равновесие

Особенно полезное упрощение уравнения переноса излучения происходит в условиях локального термодинамического равновесия (ЛТР). Важно отметить, что локальное равновесие может применяться только к определенному подмножеству частиц в системе. Например, ЛТР обычно применяется только к массивным частицам. В излучающем газе фотоны, испускаемые и поглощаемые газом, не обязательно должны находиться в термодинамическом равновесии друг с другом или с массивными частицами газа для того, чтобы существовало ЛТР.

В этой ситуации поглощающая/излучающая среда состоит из массивных частиц, которые локально находятся в равновесии друг с другом и, следовательно, имеют определяемую температуру ( нулевой закон термодинамики ). Поле излучения, однако, не находится в равновесии и полностью управляется присутствием массивных частиц. Для среды в ЛТР коэффициент излучения и коэффициент поглощения являются функциями только температуры и плотности и связаны соотношением:

${\displaystyle {\frac {j_{\nu }}{\alpha _{\nu }}}=B_{\nu }(T)}$

где - спектральная яркость черного тела при температуре T. Тогда решение уравнения переноса излучения будет: ${\displaystyle B_{\nu }(T)}$

${\displaystyle I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau _{\nu }(s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}B_{\nu }(T(s'))\alpha _{\nu }(s')e^{-\tau _{\nu }(s',s)}\,ds'}$

Знание профиля температуры и профиля плотности среды достаточно для расчета решения уравнения переноса излучения.

Приближение Эддингтона

Приближение Эддингтона отличается от двухпотокового приближения . Двухпотоковое приближение предполагает, что интенсивность постоянна с углом в восходящей полусфере, с другим постоянным значением в нисходящей полусфере. Приближение Эддингтона вместо этого предполагает, что интенсивность является линейной функцией , т.е. ${\displaystyle \mu =\cos \theta }$

${\displaystyle I_{\nu }(\mu ,z)=a(z)+\mu b(z)}$

где - нормальное направление к среде, подобной пластине. Обратите внимание, что выражение угловых интегралов в терминах упрощает ситуацию, поскольку появляется в якобиане интегралов в сферических координатах . Приближение Эддингтона можно использовать для получения спектральной яркости в «плоскопараллельной» среде (в которой свойства изменяются только в перпендикулярном направлении) с изотропным частотно-независимым рассеянием. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle d\mu =-\sin \theta d\theta }$

Извлечение первых нескольких моментов спектрального излучения с учетом урожайности ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle J_{\nu }={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}I_{\nu }d\mu =a}$

${\displaystyle H_{\nu }={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}\mu I_{\nu }d\mu ={\frac {b}{3}}}$

${\displaystyle K_{\nu }={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}\mu ^{2}I_{\nu }d\mu ={\frac {a}{3}}}$

Таким образом, приближение Эддингтона эквивалентно установке . Существуют также более высокие версии приближения Эддингтона, состоящие из более сложных линейных соотношений моментов интенсивности. Это дополнительное уравнение можно использовать в качестве замыкающего соотношения для усеченной системы моментов. ${\displaystyle K_{\nu }=1/3J_{\nu }}$

Обратите внимание, что первые два момента имеют простой физический смысл. — изотропная интенсивность в точке, а — поток через эту точку в направлении. ${\displaystyle J_{\nu }}$ ${\displaystyle H_{\nu }}$ ${\displaystyle z}$

Перенос излучения через изотропно рассеивающую среду с коэффициентом рассеяния при локальном термодинамическом равновесии определяется выражением ${\displaystyle \sigma _{\nu }}$

${\displaystyle \mu {\frac {dI_{\nu }}{dz}}=-\alpha _{\nu }(I_{\nu }-B_{\nu })+\sigma _{\nu }(J_{\nu }-I_{\nu })}$

Интеграция по всем углам дает

${\displaystyle {\frac {dH_{\nu }}{dz}}=\alpha _{\nu }(B_{\nu }-J_{\nu })}$

Предварительное умножение на и последующее интегрирование по всем углам дает ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {dK_{\nu }}{dz}}=-(\alpha _{\nu }+\sigma _{\nu })H_{\nu }}$

Подстановка в замыкающее соотношение и дифференцирование по позволяет объединить два приведенных выше уравнения для формирования уравнения диффузии излучения ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}J_{\nu }}{dz^{2}}}=3\alpha _{\nu }(\alpha _{\nu }+\sigma _{\nu })(J_{\nu }-B_{\nu })}$

Это уравнение показывает, как эффективная оптическая глубина в системах с преобладанием рассеяния может существенно отличаться от той, которая определяется рассеивающей непрозрачностью, если поглощающая непрозрачность мала.

Смотрите также

• Закон Бера-Ламберта
• Закон Кирхгофа теплового излучения
• Список кодов переноса атмосферного излучения
• Оптическая глубина
• Закон Планка
• Уравнение переноса излучения и теория диффузии для переноса фотонов в биологической ткани
• Уравнение Шварцшильда для переноса излучения
• Векторный перенос излучения

Ссылки

1. S. Chandrasekhar (1960). Radiative Transfer . Dover Publications Inc. стр. 393. ISBN 978-0-486-60590-6.
2. Жаклин Ленобль (1985). Перенос излучения в рассеивающих и поглощающих атмосферах: стандартные вычислительные процедуры . A. Deepak Publishing. стр. 583. ISBN 978-0-12-451451-5.

Дальнейшее чтение

• Иван Хубени; Димитрий Михалас (2015). Теория звездных атмосфер. Введение в астрофизический неравновесный количественный спектроскопический анализ . Princeton University Press . стр. 944. ISBN 9780691163291.
• Субраманьян Чандрасекар (1960). Перенос излучения . Dover Publications Inc. стр. 393. ISBN 978-0-486-60590-6.
• Жаклин Ленобль (1985). Перенос излучения в рассеивающих и поглощающих атмосферах: стандартные вычислительные процедуры . A. Deepak Publishing. стр. 583. ISBN 978-0-12-451451-5.
• Грант Петти (2006). Первый курс по атмосферной радиации (2-е изд.). Sundog Publishing (Мэдисон, Висконсин). ISBN 978-0-9729033-1-8.
• Dimitri Mihalas ; Barbara Weibel-Mihalas (1984). Основы радиационной гидродинамики . Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-40925-2.
• Джордж Б. Рыбицки; Алан П. Лайтман (1985). Радиационные процессы в астрофизике . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-82759-7.
• GE Thomas & K. Stamnes (1999). Перенос излучения в атмосфере и океане . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-40124-1.
• C. Bohren (2006). Основы атмосферной радиации: введение с 400 проблемами . John Wiley & Sons . ISBN 978-3-527-40503-9.
• RT Pierrehumbert (2010). Принципы планетарного климата . Cambridge University Press . ISBN 9780521865562.