Формула Сильвестра

Формула в теории матриц

В теории матриц формула Сильвестра или матричная теорема Сильвестра (названная в честь Дж. Дж. Сильвестра ) или интерполяция Лагранжа-Сильвестра выражает аналитическую функцию f ( A ) матрицы A как полином от A , через собственные значения и собственные векторы A . [ 1 ^{] [2]} Она утверждает, что [ ^3]

${\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{k}f(\lambda _{i})~A_{i}~,}$

где λ _i — собственные значения A , а матрицы

${\displaystyle A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\left(A-\lambda _{j}I\right)}$

являются соответствующими ковариантами Фробениуса A , которые являются (проекционными) матричными полиномами Лагранжа A.

Условия

Формула Сильвестра применима для любой диагонализуемой матрицы A с k различными собственными значениями, λ ₁ , ..., λ _k , и любой функции f , определенной на некотором подмножестве комплексных чисел, таким образом, что f ( A ) хорошо определена. Последнее условие означает, что каждое собственное значение λ _i находится в области определения f , и что каждое собственное значение λ _i с кратностью m _i > 1 находится внутри области определения, причем f является ( m _i - 1 ) раз дифференцируемой в λ _i . ^{[1] : Опр.6.4}

Пример

Рассмотрим матрицу два на два:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.}$

Эта матрица имеет два собственных значения: 5 и −2. Ее коварианты Фробениуса:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A+2I}{5-(-2)}}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}\\-{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A-5I}{-2-5}}.\end{aligned}}}$

Формула Сильвестра тогда сводится к следующему:

${\displaystyle f(A)=f(5)A_{1}+f(-2)A_{2}.\,}$

Например, если f определяется как f ( x ) = x ⁻¹ , то формула Сильвестра выражает обратную матрицу f ( A ) = A ⁻¹ как

${\displaystyle {\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.2&0.3\\0.4&-0.1\end{bmatrix}}.}$

Обобщение

Формула Сильвестра верна только для диагонализуемых матриц ; расширение, предложенное Артуром Бухгеймом , основанное на интерполяционных многочленах Эрмита , охватывает общий случай: ^[4]

${\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{s}\left[\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {1}{j!}}\phi _{i}^{(j)}(\lambda _{i})\left(A-\lambda _{i}I\right)^{j}\prod _{j=1,j\neq i}^{s}\left(A-\lambda _{j}I\right)^{n_{j}}\right]}$,

где . ${\displaystyle \phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}}$

Краткую форму далее дает Ганс Швердтфегер , ^[5]

${\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{s}A_{i}\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {f^{(j)}(\lambda _{i})}{j!}}(A-\lambda _{i}I)^{j}}$,

где A _i — соответствующие коварианты Фробениуса для A

Особый случай

Если матрица A является одновременно эрмитовой и унитарной , то она может иметь только собственные значения , и, следовательно , , где — проектор на подпространство с собственным значением +1, а — проектор на подпространство с собственным значением ; В силу полноты собственного базиса, . Следовательно, для любой аналитической функции f , ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle A=A_{+}-A_{-}}$ ${\displaystyle A_{+}}$ ${\displaystyle A_{-}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle A_{+}+A_{-}=I}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\theta A)&=f(\theta )A_{+1}+f(-\theta )A_{-1}\\&=f(\theta ){\frac {I+A}{2}}+f(-\theta ){\frac {I-A}{2}}\\&={\frac {f(\theta )+f(-\theta )}{2}}I+{\frac {f(\theta )-f(-\theta )}{2}}A\\\end{aligned}}.}$

В частности, и . ${\displaystyle e^{i\theta A}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )A}$ ${\displaystyle A=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-A)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-A)}}$

Смотрите также

• Сопрягаемая матрица
• Голоморфное функциональное исчисление
• Резольвентный формализм

Ссылки

1. / Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы анализа матриц . Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-46713-1
2. Джон Ф. Клербоут (1976), Матричная теорема Сильвестра , раздел « Основы обработки геофизических данных» . Онлайн-версия на sepwww.stanford.edu, дата обращения 14.03.2010.
3. Сильвестр, Дж. Дж. (1883). «XXXIX. Об уравнении вековых неравенств в планетарной теории». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 16 (100): 267–269. doi :10.1080/14786448308627430. ISSN  1941-5982.
4. Бухгейм, Артур (1884). «О теории матриц». Труды Лондонского математического общества . s1-16 (1): 63–82. doi :10.1112/plms/s1-16.1.63. ISSN  0024-6115.
5. Швердтфегер, Ганс (1938). Матричные функции: Одновалентные функции. Я, Том 1 . Париж, Франция: Германн.

• Ф. Р. Гантмахер , Теория матриц v I (Chelsea Publishing, Нью-Йорк, 1960) ISBN 0-8218-1376-5 , стр. 101-103 
• Хайэм, Николас Дж. (2008). Функции матриц: теория и вычисления . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). ISBN 9780898717778. OCLC  693957820.
• Мерцбахер, Э. (1968). «Матричные методы в квантовой механике». Am. J. Phys . 36 (9): 814–821. Bibcode : 1968AmJPh..36..814M. doi : 10.1119/1.1975154.