Аналитическая функция матрицы

Функция, которая отображает матрицы в матрицы

В математике каждая аналитическая функция может быть использована для определения матричной функции , которая отображает квадратные матрицы с комплексными элементами в квадратные матрицы того же размера.

Это используется для определения экспоненты матрицы , которая участвует в решении в замкнутой форме систем линейных дифференциальных уравнений .

Расширение скалярной функции до матричных функций

Существует несколько методов подъема действительной функции до квадратной матричной функции, при которых сохраняются интересные свойства. Все следующие методы дают одну и ту же матричную функцию, но области, на которых определена функция, могут различаться.

Ряд мощности

Если аналитическая функция f имеет разложение Тейлора , то матричная функция может быть определена путем замены x на квадратную матрицу : степени становятся матричными степенями , сложения становятся матричными суммами, а умножения на коэффициенты становятся скалярными умножениями . Если ряд сходится для , то соответствующий матричный ряд сходится для матриц A таких, что для некоторой матричной нормы , которая удовлетворяет . $${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots }$$ ${\displaystyle A\mapsto f(A)}$ ${\displaystyle |x|<r}$ ${\displaystyle \|A\|<r}$ ${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}$

Диагонализуемые матрицы

Квадратная матрица A диагонализируема , если существует обратимая матрица P такая, что является диагональной матрицей , то есть D имеет вид ${\displaystyle D=P^{-1}\,A\,P}$ $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &d_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Как естественно установить ${\displaystyle A=P\,D\,P^{-1},}$ $${\displaystyle f(A)=P\,{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &f(d_{n})\end{bmatrix}}\,P^{-1}.}$$

Можно проверить, что матрица f ( A ) не зависит от конкретного выбора P .

Например, предположим, что кто-то ищет ${\displaystyle \Gamma (A)=(A-1)!}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}}.}$$

Один имеет для $${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt {6}}&0\\0&1+{\sqrt {6}}\end{bmatrix}}P^{-1}~,}$$ $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}~.}$$

Применение формулы тогда просто дает $${\displaystyle \Gamma (A)={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (1-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (1+{\sqrt {6}})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}2.8114&0.4080\\0.2720&2.8114\end{bmatrix}}~.}$$

Так же, $${\displaystyle A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}73&84\\56&73\end{bmatrix}}~.}$$

разложение Жордана

Все комплексные матрицы, независимо от того, диагонализируемы они или нет, имеют жорданову нормальную форму , где матрица J состоит из жордановых блоков . Рассмотрим эти блоки по отдельности и применим степенной ряд к жордановому блоку: ${\displaystyle A=P\,J\,P^{-1}}$ $${\displaystyle f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\cdots &{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\vdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{bmatrix}}.}$$

Это определение можно использовать для расширения области определения матричной функции за пределы множества матриц со спектральным радиусом, меньшим радиуса сходимости степенного ряда. Обратите внимание, что также существует связь с разделенными разностями .

Связанным понятием является разложение Жордана–Шевалле , которое выражает матрицу как сумму диагонализируемой и нильпотентной частей.

Эрмитовы матрицы

Эрмитова матрица имеет все действительные собственные значения и всегда может быть диагонализирована унитарной матрицей P, согласно спектральной теореме . В этом случае определение Жордана является естественным. Более того, это определение позволяет расширить стандартные неравенства для действительных функций:

Если для всех собственных значений , то . (По соглашению, — положительно-полуопределенная матрица .) Доказательство следует непосредственно из определения. ${\displaystyle f(a)\leq g(a)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A)\preceq g(A)}$ ${\displaystyle X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X}$

Интеграл Коши

Интегральная формула Коши из комплексного анализа также может быть использована для обобщения скалярных функций на матричные функции. Интегральная формула Коши утверждает, что для любой аналитической функции f, определенной на множестве D ⊂ C , имеем где C — замкнутая простая кривая внутри области D, охватывающей x . $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {f(z)}{z-x}}\,\mathrm {d} z~,}$$

Теперь заменим x на матрицу A и рассмотрим путь C внутри D , который охватывает все собственные значения A. Одна из возможностей добиться этого — позволить C быть окружностью вокруг начала координат с радиусом, большим, чем ‖ A ‖ для произвольной матричной нормы ‖ · ‖ . Тогда f  ( A ) определяется как $${\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)\left(zI-A\right)^{-1}\mathrm {d} z\,.}$$

Этот интеграл можно легко оценить численно, используя правило трапеции , которое в этом случае сходится экспоненциально. Это означает, что точность результата удваивается при удвоении числа узлов. В обычных случаях это обходит формула Сильвестра .

Эта идея, примененная к ограниченным линейным операторам в банаховом пространстве , которые можно рассматривать как бесконечные матрицы, приводит к голоморфному функциональному исчислению .

Матричные возмущения

Вышеуказанный ряд Тейлора позволяет заменить скаляр матрицей. Это неверно в общем случае при расширении по отношению к , если только . Контрпримером является , который имеет ряд Тейлора конечной длины . Мы вычисляем это двумя способами: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A(\eta )=A+\eta B}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle [A,B]=0}$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

• Распределительный закон: $${\displaystyle f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^{2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}}$$
• Используя скалярное разложение Тейлора и заменив скаляры матрицами в конце: ${\displaystyle f(a+\eta b)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(a+\eta b)&=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!}}+f''(a){\frac {(\eta b)^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}\\[.5em]&=a^{3}+3a^{2}(\eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\\[.5em]&\to A^{3}=+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B)^{2}+(\eta B)^{3}\end{aligned}}}$$

Скалярное выражение предполагает коммутативность, тогда как матричное выражение — нет, и поэтому их нельзя приравнять напрямую, если только . Для некоторых f ( x ) это можно сделать, используя тот же метод, что и скалярный ряд Тейлора. Например, . Если существует, то . Разложение первого члена следует приведенному выше степенному ряду, ${\displaystyle [A,B]=0}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle f(A+\eta B)=f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)f(A)}$

$${\displaystyle f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)=\mathbb {I} -\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}}$$

Затем применяются критерии сходимости степенного ряда, требующие, чтобы они были достаточно малы при соответствующей матричной норме. Для более общих задач, которые не могут быть переписаны таким образом, чтобы две матрицы коммутировали, необходимо отслеживать порядок матричных произведений, полученных повторным применением правила Лейбница. ${\displaystyle \Vert \eta A^{-1}B\Vert }$

Произвольная функция матрицы 2×2

Произвольная функция f ( A ) матрицы A размером 2×2 имеет упрощенную формулу Сильвестра , где — собственные значения ее характеристического уравнения, | A − λI | = 0 , и определяются как Однако, если имеется вырождение, используется следующая формула, где f' — производная f. $${\displaystyle f(A)={\frac {f(\lambda _{+})+f(\lambda _{-})}{2}}I+{\frac {A-\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I}{\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}}{\frac {f(\lambda _{+})-f(\lambda _{-})}{2}}~,}$$ ${\displaystyle \lambda _{\pm }}$ $${\displaystyle \lambda _{\pm }={\frac {tr(A)}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}.}$$ $${\displaystyle f(A)=f\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I+\mathrm {adj} \left({\frac {tr(A)}{2}}I-A\right)f'\left({\frac {tr(A)}{2}}\right).}$$

Примеры

• Матричный полином
• Матричный корень
• Матричный логарифм
• Матрица экспоненциальная
• Матричная знаковая функция ^[1]

Классы матричных функций

Используя полуопределенный порядок ( является положительно-полуопределенным и положительно определенным ), некоторые классы скалярных функций могут быть расширены до матричных функций эрмитовых матриц . ^[2] ${\displaystyle X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X}$ ${\displaystyle X\prec Y\Leftrightarrow Y-X}$

Оператор монотонный

Функция f называется операторно монотонной тогда и только тогда, когда для всех самосопряженных матриц A , H со спектрами в области определения f . Это аналогично монотонной функции в скалярном случае. ${\displaystyle 0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)}$

Оператор вогнутый/выпуклый

Функция f называется операторно вогнутой тогда и только тогда, когда для всех самосопряженных матриц A , H со спектрами в области определения f и . Это определение аналогично вогнутой скалярной функции . Операторно выпуклую функцию можно определить, перейдя к в определении выше. $${\displaystyle \tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)}$$ ${\displaystyle \tau \in [0,1]}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \succeq }$

Примеры

Матричный логарифм является как операторно монотонным, так и операторно вогнутым. Матричный квадрат является операторно выпуклым. Матричный экспоненциальный не является ни одним из них. Теорема Левнера утверждает, что функция на открытом интервале является операторно монотонной тогда и только тогда, когда она имеет аналитическое расширение на верхнюю и нижнюю комплексные полуплоскости так, что верхняя полуплоскость отображается на себя. ^[2]

Смотрите также

• Алгебраическое уравнение Риккати
• Формула Сильвестра
• заказ Лёвнера
• Матричное исчисление
• Прослеживать неравенства
• Тригонометрические функции матриц

Примечания

1. Хайэм, Ник (2020-12-15). «Что такое матричная знаковая функция?». Ник Хайэм . Получено 2020-12-27 .
2. Bhatia, R. (1997). Матричный анализ . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 169. Springer.

Ссылки

• Хайэм, Николас Дж. (2008). Функции теории матриц и вычисления . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 9780898717778.