Правило трапеции

Метод численного интегрирования

Функция f ( x ) (синего цвета) аппроксимируется линейной функцией (красного цвета).

В исчислении правило трапеции (также известное как правило трапеции или правило трапеции ) ^[а] представляет собой метод численного интегрирования , т. е. приближения определенного интеграла : $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Правило трапеции работает путем аппроксимации области под графиком функции в виде трапеции и вычисления ее площади. Из этого следует, что ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\cdot {\tfrac {1}{2}}(f(a)+f(b)).}$$

Анимация, показывающая, что такое правило трапеций и как уменьшается ошибка аппроксимации по мере уменьшения размера шага.

Правило трапеции можно рассматривать как результат, полученный путем усреднения левой и правой сумм Римана , и иногда его определяют таким образом. Интеграл можно еще лучше аппроксимировать , разбив интервал интегрирования , применив правило трапеции к каждому подынтервалу и суммировав результаты. На практике это «связанное» (или «составное») правило трапеции обычно означает «интегрирование по правилу трапеции». Пусть будет разбиением таким образом, что и будет длиной -го подынтервала (то есть ), тогда Когда разбиение имеет регулярный интервал, как это часто бывает, то есть когда все имеют одинаковое значение, формулу можно упростить для эффективности вычислений, вынеся :. ${\displaystyle \{x_{k}\}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}$ ${\displaystyle \Delta x_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}.}$$ ${\displaystyle \Delta x_{k}}$ ${\displaystyle \Delta x,}$ ${\displaystyle \Delta x}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right).}$$

Приближение становится более точным по мере увеличения разрешения разбиения (то есть при большем все уменьшаются). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Delta x_{k}}$

Как обсуждается ниже, также можно установить границы погрешности для точности значения определенного интеграла, оцененного с использованием формулы трапеций.

Иллюстрация «цепной трапециевидной формулы», используемой на неравномерно разбросанном участке . ${\displaystyle [a,b]}$

История

В научной статье 2016 года сообщается, что правило трапеции использовалось в Вавилоне до 50 г. до н. э. для интегрирования скорости Юпитера вдоль эклиптики . ^[1]

Численная реализация

Неравномерная сетка

Если шаг сетки неравномерный, можно использовать формулу , в которой $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k},}$$ ${\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}.}$

Равномерная сетка

Для области, дискретизированной на равноотстоящие панели, может возникнуть значительное упрощение. Пусть приближение к интегралу становится ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \Delta x_{k}=\Delta x={\frac {b-a}{N}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k-1})+f(x_{k})\right)\\[1ex]&={\frac {\Delta x}{2}}{\Biggl (}f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N}){\Biggr )}\\[1ex]&=\Delta x\left({\frac {f(x_{N})+f(x_{0})}{2}}+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\right).\end{aligned}}}$$

Анализ ошибок

Анимация, показывающая, как аппроксимация трапецеидальной формулы улучшается с увеличением количества полос для интервала с и . По мере увеличения количества интервалов увеличивается и точность результата. ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=8}$ ${\displaystyle N}$

Ошибка составного правила трапеций — это разница между значением интеграла и численным результатом: $${\displaystyle {\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]}$$

Существует число ξ между a и b , такое, что ^[2] $${\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )}$$

Из этого следует, что если подынтегральное выражение вогнуто вверх (и, таким образом, имеет положительную вторую производную), то ошибка отрицательна, и правило трапеций переоценивает истинное значение. Это также можно увидеть из геометрической картины: трапеции включают всю площадь под кривой и простираются над ней. Аналогично, вогнутая вниз функция дает заниженную оценку, поскольку площадь под кривой не учитывается, но не учитывается над ней. Если интервал аппроксимируемого интеграла включает точку перегиба, знак ошибки сложнее определить.

Асимптотическая оценка погрешности при N → ∞ определяется выражением: Дальнейшие члены в этой оценке погрешности определяются формулой суммирования Эйлера–Маклорена. $${\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).}$$

Для анализа ошибки можно использовать несколько методов, в том числе: ^[3]

1. ряд Фурье
2. Расчет остатков
3. Формула суммирования Эйлера–Маклорена ^{[4] [5]}
4. Полиномиальная интерполяция ^[6]

Утверждается, что скорость сходимости формулы трапеций отражает и может быть использована в качестве определения классов гладкости функций. ^[7]

Доказательство

Сначала предположим, что и . Пусть будет функцией такой, что есть ошибка формулы трапеций на одном из интервалов, . Тогда и ${\displaystyle h={\frac {b-a}{N}}}$ ${\displaystyle a_{k}=a+(k-1)h}$ $${\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)\,dx}$$ ${\displaystyle |g_{k}(h)|}$ ${\displaystyle [a_{k},a_{k}+h]}$ $${\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),}$$ $${\displaystyle {d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).}$$

Теперь предположим, что выполняется, если достаточно гладко. Тогда следует, что эквивалентно , или ${\displaystyle \left|f''(x)\right|\leq \left|f''(\xi )\right|,}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \left|f''(a_{k}+t)\right|\leq f''(\xi )}$$ ${\displaystyle -f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )}$ ${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.}$

Так как и , и ${\displaystyle g_{k}'(0)=0}$ ${\displaystyle g_{k}(0)=0}$ $${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).}$$

Используя эти результаты, мы находим и $${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}}$$ $${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}}$$

Позвольте нам найти ${\displaystyle t=h}$ $${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}.}$$

Суммируя все локальные погрешности, находим $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.}$$

Но у нас также есть и $${\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}},}$$

так что

$${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.}$$

Поэтому общая ошибка ограничена

$${\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.}$$

Периодические и пиковые функции

Правило трапеций сходится быстро для периодических функций. Это простое следствие формулы суммирования Эйлера-Маклорена , которая гласит, что если непрерывно дифференцируемо с периодом , где и является периодическим расширением многочлена Бернулли th. ^[8] Из-за периодичности производные в конечной точке сокращаются, и мы видим, что ошибка равна . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0))-(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,dx}$$ ${\displaystyle h:=T/N}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle O(h^{p})}$

Аналогичный эффект доступен для пикообразных функций, таких как гауссова , экспоненциально модифицированная гауссова и других функций с производными на пределах интегрирования, которыми можно пренебречь. ^[9] Оценка полного интеграла гауссовой функции по правилу трапеций с точностью 1% может быть выполнена с использованием всего 4 точек. ^[10] Правило Симпсона требует в 1,8 раза больше точек для достижения той же точности. ^{[10] [11]}

Хотя были предприняты некоторые усилия по расширению формулы суммирования Эйлера-Маклорена на более высокие размерности, ^[12] наиболее простым доказательством быстрой сходимости формулы трапеций в более высоких размерностях является сведение проблемы к проблеме сходимости рядов Фурье. Эта линия рассуждений показывает, что если является периодической на -мерном пространстве с непрерывными производными, скорость сходимости составляет . Для очень больших размерностей показывает, что интегрирование Монте-Карло, скорее всего, является лучшим выбором, но для 2 и 3 измерений эффективна равномерная выборка. Это используется в вычислительной физике твердого тела, где равномерная выборка по примитивным ячейкам в обратной решетке известна как интегрирование Монкхорста-Пака . ^[13] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle O(h^{p/d})}$

«Грубые» функции

Для функций, которые не находятся в C 2 , указанная выше граница ошибки не применима. Тем не менее, границы ошибки для таких грубых функций могут быть выведены, что обычно показывает более медленную сходимость с числом оценок функции, чем поведение, указанное выше. Интересно, что в этом случае правило трапеций часто имеет более точные границы, чем правило Симпсона для того же числа оценок функции. ^[14] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle O(N^{-2})}$

Применимость и альтернативы

Правило трапеции является одной из семейства формул для численного интегрирования, называемых формулами Ньютона–Котеса , из которых правило средней точки похоже на правило трапеции. Правило Симпсона является другим членом того же семейства и в целом имеет более быструю сходимость, чем правило трапеции для функций, которые дважды непрерывно дифференцируемы, хотя и не во всех конкретных случаях. Однако для различных классов более грубых функций (с более слабыми условиями гладкости) правило трапеции имеет более быструю сходимость в целом, чем правило Симпсона. ^[14]

Более того, правило трапеций имеет тенденцию становиться чрезвычайно точным, когда периодические функции интегрируются по их периодам, которые можно анализировать различными способами. ^{[7] [11]} Похожий эффект доступен для пиковых функций. ^{[10] [11]}

Однако для непериодических функций методы с неравномерно расположенными точками, такие как квадратура Гаусса и квадратура Кленшоу–Кертиса, как правило, гораздо точнее; квадратуру Кленшоу–Кертиса можно рассматривать как замену переменных для выражения произвольных интегралов через периодические интегралы, в этой точке можно точно применить формулу трапеций.

Пример

Дан следующий интеграл: $${\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}{5xe^{-2x}{dx}}}$$

1.  Используйте составную формулу трапеций для оценки значения этого интеграла. Используйте три сегмента.
2.  Найдите истинную ошибку для части (а). ${\textstyle E_{t}}$
3.  Найдите абсолютную относительную истинную погрешность для части (а). ${\textstyle \left|\varepsilon _{t}\right|}$

Решение

1. Решение с использованием составной формулы трапеции с 3 сегментами применяется следующим образом.

   $${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}+f(b)\right\rbrack }$$

   $${\displaystyle {\begin{aligned}n&=3\\a&=0.1\\b&=1.3\\h&={\frac {b-a}{n}}={\frac {1.3-0.1}{3}}=0.4\end{aligned}}}$$

   Используя формулу составного правила трапеций $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\left\{\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}\right\}+f(b)\right\rbrack \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)\end{aligned}}}$$

   $${\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{3-1}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{2}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\&=0.2\lbrack f(0.1)+2f(0.5)+2f(0.9)+f(1.3)\rbrack \\&=0.2[5\times 0.1\times e^{-2(0.1)}+2(5\times 0.5\times e^{-2(0.5)})+2(5\times 0.9\times e^{-2(0.9)})+5\times 1.3\times e^{-2(1.3)}\rbrack \\&=0.84385\end{aligned}}}$$
2. Точное значение вышеуказанного интеграла можно найти путем интегрирования по частям и оно равно Таким образом, истинная ошибка равна $${\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}{dx}=0.89387}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{t}&={\text{True Value}}-{\text{Approximate Value}}\\&=0.89387-0.84385\\&=0.05002\end{aligned}}}$$
3. Абсолютная относительная истинная ошибка равна $${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}\left|\varepsilon _{t}\right|&=\left|{\frac {\text{True Error}}{\text{True Value}}}\right|\times 100\%\\&=\left|{\frac {0.05002}{0.89387}}\right|\times 100\%\\&=5.5959\%\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Гауссова квадратура
• Формулы Ньютона–Котеса
• Метод прямоугольника
• Метод Ромберга
• Правило Симпсона
• Интегральное уравнение Вольтерра § Численное решение с использованием правила трапеций

Примечания

1. Более подробную информацию о терминологии см. в разделе Трапеция .

1. Ossendrijver, Mathieu (29 января 2016 г.). «Древние вавилонские астрономы вычислили положение Юпитера из площади под графиком времени-скорости». Science . 351 (6272): 482–484. doi :10.1126/science.aad8085. PMID  26823423. S2CID  206644971.
2. Аткинсон (1989, уравнение (5.1.7))
3. (Weideman 2002, стр. 23, раздел 2)
4. Аткинсон (1989, уравнение (5.1.9))
5. Аткинсон (1989, стр. 285)
6. Бремя и ярмарки (2011, стр. 194)
7. (Рахман и Шмайссер 1990)
8. Кресс, Райнер (1998). Численный анализ, том 181 Graduate Texts in Mathematics . Springer-Verlag.
9. Гудвин, ET (1949). «Оценка интегралов формы». Математические труды Кембриджского философского общества . 45 (2): 241–245. doi :10.1017/S0305004100024786. ISSN  1469-8064.
10. Каламбет, Юрий; Козьмин, Юрий; Самохин, Андрей (2018). «Сравнение правил интегрирования в случае очень узких хроматографических пиков». Хемометрика и интеллектуальные лабораторные системы . 179 : 22–30. doi :10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN  0169-7439.
11. (Вейдеман 2002)
12. "Формула суммирования Эйлера-Маклорена для кратных сумм". math.stackexchange.com .
13. Томпсон, Ник. «Численное интегрирование по зонам Бриллюэна». bandgap.io . Получено 19 декабря 2017 г. .
14. (Круз-Урибе и Нойгебауэр, 2002)

Ссылки

• Аткинсон, Кендалл Э. (1989), Введение в численный анализ (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50023-0
• Рахман, Кази И.; Шмайссер, Герхард (декабрь 1990 г.), «Характеристика скорости сходимости формулы трапеций», Numerische Mathematik , 57 (1): 123–138, doi :10.1007/BF01386402, ISSN  0945-3245, S2CID  122245944
• Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас (2011), Численный анализ (9-е изд.), Брукс/Коул
• Weideman, JAC (январь 2002 г.), «Численное интегрирование периодических функций: несколько примеров», The American Mathematical Monthly , 109 (1): 21–36, doi :10.2307/2695765, JSTOR  2695765
• Cruz-Uribe, D.; Neugebauer, CJ (2002), "Точные границы погрешности для правила трапеций и правила Симпсона" (PDF) , Журнал неравенств в чистой и прикладной математике , 3 (4)

Внешние ссылки

• Формула трапеции. И. П. Мысовских, Энциклопедия математики , под ред. М. Хазевинкеля
• Заметки о сходимости квадратуры по правилу трапеций
• Реализация трапециевидной квадратуры, предоставленная Boost.Math