stringtranslate.com

Домен Безу

В математике область Безу — это целостная область , в которой сумма двух главных идеалов также является главным идеалом. Это означает, что тождество Безу выполняется для каждой пары элементов, и что каждый конечно порождённый идеал является главным. Области Безу являются формой области Прюфера .

Любая область главных идеалов (PID) является областью Безу, но область Безу не обязательно должна быть нётеровым кольцом , поэтому она может иметь неконечно порожденные идеалы; если это так, то она не является областью уникальной факторизации (UFD), но по-прежнему является областью GCD . Теория областей Безу сохраняет многие свойства PID, не требуя нётеровости.

Домены Безу названы в честь французского математика Этьена Безу .

Примеры

  1. Достаточно доказать, что для каждой пары a , b из S существуют s , t из S, такие, что as + bt делит как a, так и b .
  2. Если a и b имеют общий делитель d , то достаточно доказать это для a / d и b / d , поскольку подойдут те же s , t .
  3. Мы можем предположить, что многочлены a и b не равны нулю; если оба имеют нулевой постоянный член, то пусть n будет минимальным показателем степени, таким, что по крайней мере один из них имеет ненулевой коэффициент при X n ; можно найти f в F, такой, что fX n будет общим делителем a и b, и разделить на него.
  4. Поэтому мы можем предположить, что по крайней мере один из a , b имеет ненулевой постоянный член. Если a и b, рассматриваемые как элементы F [ X ], не являются взаимно простыми, то существует наибольший общий делитель a и b в этом UFD, который имеет постоянный член 1, и, следовательно, лежит в S ; мы можем делить на этот множитель.
  5. Поэтому мы можем также предположить, что a и b взаимно просты в F [ X ], так что 1 лежит в aF [ X ] + bF [ X ] , а некоторый постоянный многочлен r из R лежит в aS + bS . Кроме того, поскольку R является областью Безу, gcd d в R постоянных членов a 0 и b 0 лежит в a 0 R + b 0 R . Поскольку любой элемент без постоянного члена, такой как a − a 0 или b − b 0 , делится на любую ненулевую константу, константа d является общим делителем в S a и b ; мы покажем, что это на самом деле наибольший общий делитель, показав, что он лежит в aS + bS . Умножение a и b соответственно на коэффициенты Безу для d относительно a 0 и b 0 дает многочлен p из aS + bS с постоянным членом d . Тогда p − d имеет нулевой постоянный член, и поэтому является кратным в S постоянного многочлена r , и, следовательно, лежит в aS + bS . Но тогда и d тоже имеет такой же член, что завершает доказательство.

Характеристики

Кольцо является областью Безу тогда и только тогда, когда оно является областью целостности, в которой любые два элемента имеют наибольший общий делитель , являющийся их линейной комбинацией : это эквивалентно утверждению, что идеал, который порождается двумя элементами, также порождается одним элементом, и индукция показывает, что все конечно порожденные идеалы являются главными. Выражение наибольшего общего делителя двух элементов PID в виде линейной комбинации часто называют тождеством Безу , откуда и терминология.

Обратите внимание, что приведенное выше условие gcd сильнее, чем просто существование gcd. Целостная область, где gcd существует для любых двух элементов, называется областью GCD , и, таким образом, области Безу являются областями GCD. В частности, в области Безу неприводимые являются простыми (но, как показывает пример с алгебраическими целыми числами, они не обязаны существовать).

Для области Безу R следующие условия эквивалентны:

  1. R — область главных идеалов.
  2. R — нётерово.
  3. R — это уникальный домен факторизации (UFD).
  4. R удовлетворяет условию возрастающей цепи главных идеалов (ACCP).
  5. Каждый ненулевой элемент, не являющийся единицей, в R разлагается в произведение неприводимых элементов (R — атомная область ).

Эквивалентность (1) и (2) была отмечена выше. Поскольку область Безу является областью НОД, отсюда немедленно следует, что (3), (4) и (5) эквивалентны. Наконец, если R не является нётеровым, то существует бесконечная возрастающая цепочка конечно порожденных идеалов, поэтому в области Безу существует бесконечная возрастающая цепочка главных идеалов. (4) и (2) таким образом эквивалентны.

Область Безу — это область Прюфера , то есть область, в которой каждый конечно порождённый идеал обратим, или, другими словами, коммутативная полунаследственная область.)

Следовательно, можно рассматривать эквивалентность «домен Безу тогда и только тогда, когда домен Прюфера и домен НОД» как аналогичную более знакомому «PID тогда и только тогда, когда домен Дедекинда и UFD».

Домены Прюфера можно охарактеризовать как целостные области, локализации которых во всех простых (эквивалентно, во всех максимальных ) идеалах являются областями оценки . Таким образом, локализация области Безу в простом идеале является областью оценки. Поскольку обратимый идеал в локальном кольце является главным, локальное кольцо является областью Безу тогда и только тогда, когда оно является областью оценки. Более того, область оценки с нециклической (эквивалентно недискретной ) группой значений не является нётеровой, и каждая полностью упорядоченная абелева группа является группой значений некоторой области оценки. Это даёт множество примеров ненётеровых областей Безу.

В некоммутативной алгебре правые домены Безу — это домены, чьи конечно порожденные правые идеалы являются главными правыми идеалами, то есть имеют вид xR для некоторого x из R. Одним из примечательных результатов является то, что правый домен Безу является правым доменом Оре . Этот факт не представляет интереса в коммутативном случае, поскольку каждый коммутативный домен является доменом Оре. Правые домены Безу также являются правыми полунаследственными кольцами.

Модули в домене Bézout

Некоторые факты о модулях над PID распространяются на модули над областью Безу. Пусть R — область Безу, а M — конечно порожденный модуль над R. Тогда M плоский тогда и только тогда, когда он не имеет кручения. [2]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Кон
  2. ^ Бурбаки 1989, гл. I, §2, № 4, предложение 3

Библиография