Диапазон функции

Подмножество области значений функции

${\displaystyle f}$— это функция из области X в область значений Y. Желтый овал внутри Y — это изображение . Иногда «диапазон» относится к изображению, а иногда — к области значений. ${\displaystyle f}$

В математике область значений функции может относиться к одному из двух тесно связанных понятий:

• область значений функции , или
• изображение функции .

В некоторых случаях область значений и образ функции являются одним и тем же множеством; такая функция называется сюръективной или на . Для любой несюръективной функции область значений и образ различны; однако можно определить новую функцию с образом исходной функции в качестве области значений, где Эта новая функция сюръективна. ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\tilde {Y}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:X\to {\tilde {Y}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x).}$

Определения

Если заданы два множества X и Y , бинарное отношение f между X и Y является функцией (из X в Y ), если для каждого элемента x в X существует ровно один y в Y такой, что f связывает x с y . Множества X и Y называются доменом и кодоменом f соответственно. Изображение функции f является подмножеством Y , состоящим только из тех элементов y из Y , что существует по крайней мере один x в X с f ( x ) = y .

Использование

Поскольку термин «диапазон» может иметь разные значения, считается хорошей практикой определить его при первом использовании в учебнике или статье. В старых книгах, когда они используют слово «диапазон», как правило, оно используется для обозначения того, что сейчас называется кодоменом . [ ^1] В более современных книгах, если они вообще используют слово «диапазон», оно обычно используется для обозначения того, что сейчас называется изображением . [ ^2] Чтобы избежать путаницы, в ряде современных книг слово «диапазон» вообще не используется. ^[3]

Разработка и пример

Дана функция

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

с доменом , диапазон , иногда обозначаемый или , ^[4] может относиться к кодомуну или целевому набору (т. е. набору, в который все выходные данные ограничены), или к , образу домена под (т. е. подмножеству, состоящему из всех фактических выходных данных ). Образ функции всегда является подмножеством кодомуна функции. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {Range} (f)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

В качестве примера двух различных вариантов использования рассмотрим функцию , используемую в реальном анализе (то есть как функцию, которая вводит действительное число и выводит его квадрат). В этом случае ее область значений — это множество действительных чисел , но ее изображение — это множество неотрицательных действительных чисел , поскольку никогда не является отрицательным, если является действительным. Для этой функции, если мы используем «диапазон» для обозначения области значений , это относится к ; если мы используем «диапазон» для обозначения изображения , это относится к . ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{}} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Для некоторых функций изображение и область значений совпадают; эти функции называются сюръективными или на . Например, рассмотрим функцию , которая вводит действительное число и выводит его двойник. Для этой функции и область значений, и изображение являются множеством всех действительных чисел, поэтому диапазон слов однозначен. ${\displaystyle f(x)=2x,}$

Даже в случаях, когда образ и область значений функции различны, новая функция может быть однозначно определена с областью значений как образом исходной функции. Например, как функция от целых чисел к целым числам, функция удвоения не является сюръективной, поскольку только четные целые числа являются частью образа. Однако новая функция, областью значений которой являются целые числа, а областью значений которой являются четные целые числа, является сюръективная. Для диапазона слов это однозначно. ${\displaystyle f(n)=2n}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(n)=2n}$ ${\displaystyle {\tilde {f}},}$

Смотрите также

• Биекция, инъекция и сюръекция
• Основной ассортимент

Примечания и ссылки

1. Хангерфорд 1974, стр. 3; Чайлдс 2009, стр. 140.
2. Даммит и Фут 2004, стр. 2.
3. Рудин 1991, стр. 99.
4. Weisstein, Eric W. "Range". mathworld.wolfram.com . Получено 28.08.2020 .
5. Найкамп, Дуэйн. «Определение диапазона». Math Insight . Получено 28 августа 2020 г.

Библиография

• Чайлдс, Линдси Н. (2009). Чайлдс, Линдси Н. (ред.). Конкретное введение в высшую алгебру . Бакалаврские тексты по математике (3-е изд.). Springer. doi :10.1007/978-0-387-74725-5. ISBN 978-0-387-74527-5. OCLC  173498962.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. OCLC  52559229.
• Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра . Выпускные тексты по математике . Том 73. Springer. doi :10.1007/978-1-4612-6101-8. ISBN 0-387-90518-9. OCLC  703268.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ (2-е изд.). McGraw Hill. ISBN 0-07-054236-8.