Функция Ламберта W

Многозначная функция в математике

Функция Ламберта W логарифма произведения, построенная на комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

График y = W ( x ) для действительных x < 6 и y > −4 . Верхняя ветвь (синяя) при y ≥ −1 является графиком функции W ₀ (главная ветвь), нижняя ветвь (фиолетовая) при y ≤ −1 является графиком функции W ₋₁ . Минимальное значение x находится при {−1/ e , −1}

В математике функция Ламберта W , также называемая омега-функцией или логарифмом произведения , ^[1] является многозначной функцией , а именно ветвями обратного отношения функции f ( w ) = we ^w , где w — любое комплексное число , а e ^w — показательная функция . Функция названа в честь Иоганна Ламберта , который рассматривал связанную с ней задачу в 1758 году. Основываясь на работе Ламберта, Леонард Эйлер описал функцию W как таковую в 1783 году. ^{[ необходима цитата ]}

Для каждого целого числа k существует одна ветвь, обозначаемая W _k ( z ) , которая является комплекснозначной функцией одного комплексного аргумента. W ₀ известна как главная ветвь . Эти функции обладают следующим свойством: если z и w — любые комплексные числа, то

${\displaystyle we^{w}=z}$

выполняется тогда и только тогда, когда

${\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ for some integer }}k.}$

При работе только с действительными числами достаточно двух ветвей W ₀ и W ₋₁ : для действительных чисел x и y уравнение

${\displaystyle ye^{y}=x}$

может быть решено относительно y только если x ≥ − ⁠1/е⁠ ; дает y = W ₀ ( x ) , если x ≥ 0 и два значения y = W ₀ ( x ) и y = W ₋₁ ( x ) , если − ⁠1/е⁠ ≤ х < 0 .

Ветви функции Ламберта W не могут быть выражены в терминах элементарных функций . ^[2] Она полезна в комбинаторике , например, при перечислении деревьев . Она может быть использована для решения различных уравнений, включающих экспоненты (например, максимумы распределений Планка , Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака ), а также встречается в решении дифференциальных уравнений с задержкой , таких как y ′( t ) = a y ( t − 1) . В биохимии , и в частности в кинетике ферментов , решение в открытой форме для анализа кинетики течения времени кинетики Михаэлиса-Ментен описывается в терминах функции Ламберта W.

Основная ветвь функции Ламберта W в комплексной плоскости, построенная с помощью раскраски домена . Обратите внимание на ветвь, срезанную вдоль отрицательной действительной оси, заканчивающуюся в точке − ⁠1/е⁠ .

Модуль главной ветви функции Ламберта W , раскрашенный в соответствии с arg W ( z )

Терминология

Выбранное здесь соглашение об обозначениях (с W ₀ и W ₋₁ ) следует канонической ссылке на функцию Ламберта W, предложенной Корлессом, Гонне, Хэром, Джеффри и Кнутом . ^[3]

Название «логарифм произведения» можно понимать так: поскольку обратная функция f ( w ) = e ^w называется логарифмом , имеет смысл называть обратную «функцию» произведения we w ^« логарифмом произведения». (Техническое примечание: как и комплексный логарифм , он многозначен, и поэтому W описывается как обратное отношение, а не обратная функция.) Он связан с константой омега , которая равна W ₀ (1) .

История

Ламберт впервые рассмотрел связанное с ним трансцендентное уравнение Ламберта в 1758 году ^[4] , что привело к статье Леонарда Эйлера в 1783 году ^[5] , в которой обсуждался особый случай we ^w .

Уравнение, которое рассмотрел Ламберт, было

${\displaystyle x=x^{m}+q.}$

Эйлер преобразовал это уравнение к виду

${\displaystyle x^{a}-x^{b}=(a-b)cx^{a+b}.}$

Оба автора вывели решение своих уравнений в виде ряда.

Когда Эйлер решил это уравнение, он рассмотрел случай ⁠ ⁠ ${\displaystyle a=b}$ . Взяв пределы, он вывел уравнение

${\displaystyle \ln x=cx^{a}.}$

Затем он подставил ⁠ ⁠ ${\displaystyle a=1}$ и получил решение в виде сходящегося ряда для полученного уравнения, выразив ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ через ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ .

После взятия производных по ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ и некоторых преобразований получается стандартная форма функции Ламберта.

В 1993 году было сообщено, что функция Ламберта ⁠ ⁠ ${\displaystyle W}$ обеспечивает точное решение квантово-механической модели двухъямной дельта-функции Дирака для равных зарядов ^[6] — фундаментальной проблемы в физике. Подталкиваемые этим, Роб Корлесс и разработчики системы компьютерной алгебры Maple поняли, что «функция Ламберта W широко использовалась во многих областях, но из-за различий в обозначениях и отсутствия стандартного названия осведомленность о функции была не такой высокой, как должна была быть». ^{[3] [7]}

Другой пример, где эта функция встречается, — кинетика Михаэлиса–Ментен . ^[8]

Хотя широко распространено мнение, что функция Ламберта ⁠ ⁠ ${\displaystyle W}$ не может быть выражена через элементарные ( лиувиллевские ) функции, первое опубликованное доказательство появилось только в 2008 году. ^[9]

Элементарные свойства, ветви и диапазон

Диапазон функции W , показывающий все ветви. Черные кривые (включая действительную ось) образуют изображение действительной оси, оранжевые кривые — изображение мнимой оси. Фиолетовая кривая и круг — изображение малого круга вокруг точки z = 0 ; красные кривые — изображение малого круга вокруг точки z = −1/e .

График мнимой части W _n ( x + iy ) для ветвей n = −2, −1, 0, 1, 2. График похож на график функции многозначного комплексного логарифма , за исключением того, что расстояние между листами не постоянно, а соединение главного листа отличается.

Существует счетное число ветвей функции W , обозначаемых как W _k ( z ) для целых k ; W ₀ ( z ) является главной (или главной) ветвью. W ₀ ( z ) определена для всех комплексных чисел z , тогда как W _k ( z ) с k ≠ 0 определена для всех ненулевых z . При W ₀ (0) = 0 илимг →0 W _k ( z ) = −∞ для всех k ≠ 0 .

Точка ветвления главной ветви находится при z = − ⁠1/е⁠ , с ветвью, которая простирается до −∞ вдоль отрицательной действительной оси. Эта ветвь отделяет главную ветвь от двух ветвей W ₋₁ и W ₁ . Во всех ветвях W _k с k ≠ 0 есть точка ветвления при z = 0 и ветвь, срезанная вдоль всей отрицательной действительной оси.

Функции W _k ( z ), k ∈ Z все инъективны и их области значений не пересекаются. Область значений всей многозначной функции W — комплексная плоскость. Образ действительной оси — это объединение действительной оси и квадратуры Гиппия , параметрической кривой w = − t cot t + it .

Обратный

Области комплексной плоскости, для которых ⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ , где z = x + iy . Более темные границы определенной области включены в более светлую область того же цвета. Точка в {−1, 0} включена как в ⁠ ⁠ ${\displaystyle n=-1}$ (синюю) область, так и в ⁠ ⁠ ${\displaystyle n=0}$ (серую) область. Горизонтальные линии сетки кратны π .

Приведенный выше график диапазона также описывает области на комплексной плоскости, где простая обратная связь ⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ верна. ⁠ ⁠ ${\displaystyle f=ze^{z}}$ подразумевает, что существует ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ такой, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle z=W(n,f)=W(n,ze^{z})}$ , где ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ зависит от значения ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ . Значение целого числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ резко меняется, когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle ze^{z}}$ находится на срезе ветви ⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ , что означает, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle ze^{z}}$≤ 0 , за исключением ⁠ ⁠ , ${\displaystyle n=0}$ где оно ⁠ ⁠ ${\displaystyle ze^{z}}$ ≤ −1/ ⁠ ⁠ ${\displaystyle e}$ .

Определяя ⁠ ⁠ ${\displaystyle z=x+iy}$ , где ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$ являются действительными, и выражая ⁠ ⁠ ${\displaystyle e^{z}}$ в полярных координатах, видно, что

${\displaystyle {\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x}(\cos y+i\sin y)\\&=e^{x}(x\cos y-y\sin y)+ie^{x}(x\sin y+y\cos y)\\\end{aligned}}}$

Для , ветвь для ⁠ ⁠ является неположительной действительной осью, так что ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$

${\displaystyle x\sin y+y\cos y=0\Rightarrow x=-y/\tan(y),}$

и

${\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq 0.}$

Для , ветвь для ⁠ ⁠ является действительной осью с , так что неравенство становится ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$ ${\displaystyle -\infty <z\leq -1/e}$

${\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq -1/e.}$

Внутри областей, ограниченных вышеприведенным выражением, нет никаких разрывных изменений в ⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ , и эти области указывают, где ⁠ ⁠ ${\displaystyle W}$ функция просто обратима, т. е. ⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ .

Исчисление

Производный

С помощью неявного дифференцирования можно показать, что все ветви W удовлетворяют дифференциальному уравнению

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

( W не дифференцируема для z = − ⁠1/е⁠ .) В результате получаем следующую формулу для производной W :

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.}$

Используя тождество e ^{W ( z )} = ⁠з/В ( з )⁠ , дает следующую эквивалентную формулу:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

В начале координат мы имеем

${\displaystyle W'_{0}(0)=1.}$

Интеграл

Функцию W ( x ) и многие другие выражения, включающие ^W ( x ) , можно интегрировать, используя подстановку w = W ( x ) , т.е. x = wew :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}}$

(Последнее уравнение более распространено в литературе, но не определено при x = 0 ). Одним из следствий этого (используя тот факт, что W ₀ ( e ) = 1 ) является тождество

${\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}$

Асимптотические разложения

Ряд Тейлора для W ₀ вокруг 0 ​​можно найти с помощью теоремы обращения Лагранжа , и он задается выражением

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

Радиус сходимости равен ⁠1/е⁠ , как можно увидеть с помощью теста отношения . Функция, определяемая этим рядом, может быть расширена до голоморфной функции, определенной на всех комплексных числах с ветвью, разрезанной вдоль интервала (−∞, − ⁠1/е⁠ ] ; эта голоморфная функция определяет главную ветвь функции Ламберта W.

Для больших значений x W ₀ асимптотически

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left[{\begin{smallmatrix}l+m\\l+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}}$

где L ₁ = ln x , L ₂ = ln ln x , и [^{л + м}
_{л + 1}] — неотрицательноечисло Стирлинга первого рода.^[3]Сохраняя только первые два члена разложения,

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).}$

Другая вещественная ветвь, W ₋₁ , определенная в интервале [− ⁠1/е⁠ , 0) , имеет приближение той же формы, когда x стремится к нулю, причем в этом случае L ₁ = ln(− x ) и L ₂ = ln(−ln(− x )) . ^[3]

Целые и комплексные степени

Целые степени W ₀ также допускают простые разложения в ряд Тейлора (или Лорана ) в нуле:

${\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}$

В более общем случае для r ∈ Z формула обращения Лагранжа дает

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},}$

который, в общем случае, является рядом Лорана порядка r . Эквивалентно, последний может быть записан в виде разложения Тейлора степеней W ₀ ( x ) / x :

${\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},}$

которое справедливо для любого r ∈ C и | x | < ⁠1/е⁠ .

Границы и неравенства

Для функции Ламберта известен ряд неасимптотических границ.

Хорфар и Хассани ^{[10] показали, что для} x ≥ e справедлива следующая оценка :

${\displaystyle \ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.}$

Они также показали общую границу

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x+y}{1+\ln(y)}}\right),}$

для каждого и , с равенством только для . Граница позволяет сделать много других границ, таких как взятие , что дает границу ${\displaystyle y>1/e}$ ${\displaystyle x\geq -1/e}$ ${\displaystyle x=y\ln(y)}$ ${\displaystyle y=x+1}$

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {2x+1}{1+\ln(x+1)}}\right).}$

В 2013 году было доказано ^[11] , что ветвь W ₋₁ может быть ограничена следующим образом:

${\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.}$

Роберто Иаконо и Джон П. Бойд ^[12] расширили границы следующим образом:

${\displaystyle \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-{\frac {\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\leq W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-\ln \left(\left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\left(1-{\frac {\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\right)\right).}$

Идентичности

График W _j ( x e ^x ), где синий цвет соответствует j = 0, а красный — j = −1. Диагональная линия представляет интервалы, где W _j ( x e ^x )= x

Логарифм произведения Ламберта W-функции W 2(z), построенной в комплексной плоскости от −2−2i до 2+2i

Из определения вытекает несколько тождеств:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что, поскольку f ( x ) = xe ^x не является инъективным , не всегда выполняется, что W ( f ( x )) = x , как и в случае с обратными тригонометрическими функциями . Для фиксированных x < 0 и x ≠ −1 уравнение xe ^x = ye ^y имеет два действительных решения относительно y , одно из которых, конечно, y = x . Тогда для i = 0 и x < −1 , а также для i = −1 и x ∈ (−1, 0) , y = W _i ( xe ^x ) является другим решением.

Некоторые другие идентичности: ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}$^[14]

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}$

(который может быть расширен на другие n и x , если выбрана правильная ветвь).

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}$

Подставим −ln x в определение: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

С помощью итерированной экспоненты Эйлера h ( x ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

Особые ценности

Ниже приведены особые значения основной ветви: $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad \left(x\geqslant {\tfrac {1}{e}}\approx 0.36788\right)}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\quad \left(x>0\right)}$$ $${\displaystyle W_{0}(0)=0}$$

${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{\!-1}\!\!\!\!-\,1\approx 0.56714329\quad }$( константа омега )

$${\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln {\frac {1}{W_{0}(1)}}=-\ln W_{0}(1)}$$ $${\displaystyle W_{0}(e)=1}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e}$$ $${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt {e}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt[{n}]{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}$$ $${\displaystyle W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i}$$

Специальные значения ветви W ₋₁ : $${\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 4}$$

Представления

Основная ветвь функции Ламберта может быть представлена ​​собственным интегралом Пуассона: ^[16]

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

Другое представление главной ветви было найдено Калугиным–Джеффри–Корлессом: ^[17]

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

Следующее представление непрерывной дроби также справедливо для главной ветви: ^[18]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Также, если | W ₀ ( x ) | < 1 : ^[19]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

В свою очередь, если | W ₀ ( x ) | > e , то

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

Другие формулы

Определенные интегралы

Существует несколько полезных определенных интегральных формул, включающих главную ветвь функции W , включая следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

Первое тождество можно найти, записав гауссовский интеграл в полярных координатах .

Второе тождество можно вывести, сделав замену u = W ₀ ( x ) , что дает

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}}$

Таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

Третье тождество может быть получено из второго путем подстановки u = x ⁻² , а первое также может быть получено из третьего путем подстановки z = ⁠1/√ 2⁠ загар х .

За исключением z вдоль разреза ветви (−∞, − ⁠1/е⁠ ] (где интеграл не сходится), главная ветвь функции Ламберта W может быть вычислена с помощью следующего интеграла: ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}}$

где два интегральных выражения эквивалентны ввиду симметрии подынтегральной функции.

Неопределенные интегралы

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$$

1-е доказательство

Ввести замещающую переменную ${\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int (u+1)\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$

2-е доказательство

${\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-W(x)}\,dx}$

${\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{\,du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-u}(u+1)e^{u}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\cancel {\color {OliveGreen}{e^{-u}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {OliveGreen}{e^{u}}}}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int (u+1)\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$

$${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$$

Доказательство

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx}$

${\displaystyle u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du}$

${\displaystyle v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv}$

${\displaystyle w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw}$

${\displaystyle t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int (t+1)dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C}$

${\displaystyle t=W\left(w\right)}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle w=Av}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle v=e^{u}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle u=Bx}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}$$

Доказательство

Введем подстановочную переменную , которая дает нам и ${\displaystyle u=W(x)}$ ${\displaystyle ue^{u}=x}$ ${\displaystyle {\frac {d}{du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}}}$

${\displaystyle v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}$

${\displaystyle v=-u}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}}}$

Приложения

Решение уравнений

Функция Ламберта W используется для решения уравнений, в которых неизвестная величина встречается как в основании, так и в показателе степени, или как внутри, так и вне логарифма. Стратегия заключается в том, чтобы преобразовать такое уравнение в уравнение вида ze ^z = w , а затем решить для z с помощью функции W.

Например, уравнение

${\displaystyle 3^{x}=2x+2}$

(где x — неизвестное действительное число) можно решить, переписав его как

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}&({\mbox{multiply by }}3^{-x}/2)\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}&({\mbox{multiply by }}{-}1/3)\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}&({\mbox{multiply by }}\ln 3)\end{aligned}}}$

Последнее уравнение имеет желаемую форму, а решения для действительных x следующие:

${\displaystyle (\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)}$

и таким образом:

${\displaystyle x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011\ldots \ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456\ldots }$

В общем, решение

${\displaystyle x=a+b\,e^{cx}}$

является:

${\displaystyle x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})}$

где a , b и c — комплексные константы, причем b и c не равны нулю, а функция W имеет любой целый порядок.

Вязкие потоки

Фронты зернистых и обломочных потоков и отложений, а также фронты вязких жидкостей в природных явлениях и в лабораторных экспериментах можно описать с помощью омега-функции Ламберта–Эйлера следующим образом:

${\displaystyle H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),}$

где H ( x ) — высота селевого потока, x — положение русла ниже по течению, L — унифицированный параметр модели, состоящий из нескольких физических и геометрических параметров потока, высоты потока и градиента гидравлического давления.

В потоке трубы функция Ламберта W является частью явной формулировки уравнения Коулбрука для нахождения коэффициента трения Дарси . Этот коэффициент используется для определения падения давления через прямой участок трубы, когда поток турбулентный . ^[21]

Зависящий от времени поток в простых ветвях гидравлических систем

Основная ветвь функции Ламберта W применяется в области машиностроения при изучении зависящего от времени переноса ньютоновских жидкостей между двумя резервуарами с различными уровнями свободной поверхности с использованием центробежных насосов. ^[22] Функция Ламберта W дает точное решение для расхода жидкости как в ламинарном, так и в турбулентном режимах: где — начальный расход, а — время. $${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left[\zeta _{i}\,e^{(\zeta _{i}+\beta t/b)}\right]\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left[\xi _{i}\,e^{\left(\xi _{i}+\beta t/(b-\Gamma _{1})\right)}\right]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle t}$

Нейровизуализация

Функция Ламберта W используется в области нейровизуализации для связывания изменений мозгового кровотока и потребления кислорода в вокселе мозга с соответствующим сигналом, зависящим от уровня оксигенации крови (BOLD). ^[23]

Химическая инженерия

Функция Ламберта W используется в области химического машиностроения для моделирования толщины пористой электродной пленки в суперконденсаторе на основе стеклоуглерода для электрохимического хранения энергии. Функция Ламберта W обеспечивает точное решение для процесса термической активации в газовой фазе, где рост углеродной пленки и горение той же пленки конкурируют друг с другом. ^{[24] [25]}

Рост кристаллов

При росте кристаллов отрицательный принцип W-функции Ламберта можно использовать для расчета коэффициента распределения, и концентрации растворенного вещества в расплаве, [ ^{26] [27]} из уравнения Шейла : ${\textstyle k}$ ${\textstyle C_{L}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&k={\frac {W_{0}(Z)}{\ln(1-fs)}}\\&C_{L}={\frac {C_{0}}{(1-fs)}}e^{W_{0}(Z)}\\&Z={\frac {C_{S}}{C_{0}}}(1-fs)\ln(1-fs)\end{aligned}}}$

Материаловедение

Функция Ламберта W используется в области эпитаксиального роста пленок для определения критической толщины пленки начала дислокации . Это расчетная толщина эпитаксиальной пленки, где из-за термодинамических принципов пленка будет развивать кристаллографические дислокации, чтобы минимизировать упругую энергию, запасенную в пленках. До применения Ламберта W для этой проблемы критическую толщину приходилось определять путем решения неявного уравнения. Ламберт W превращает его в явное уравнение для легкой аналитической обработки. ^[28]

Пористая среда

Функция Ламберта W использовалась в области течения жидкости в пористых средах для моделирования наклона интерфейса, разделяющего две гравитационно разделенные жидкости в однородном наклонном пористом слое с постоянным падением и толщиной, где более тяжелая жидкость, введенная в нижний конец, вытесняет более легкую жидкость, которая производится с той же скоростью из верхнего конца. Основная ветвь решения соответствует устойчивым смещениям, в то время как ветвь −1 применяется, если смещение нестабильно, когда более тяжелая жидкость течет под более легкой жидкостью. ^[29]

Числа Бернулли и род Тодда

Уравнение (связанное с производящими функциями чисел Бернулли и рода Тодда ):

${\displaystyle Y={\frac {X}{1-e^{X}}}}$

можно решить с помощью двух действительных ветвей W ₀ и W ₋₁ :

${\displaystyle X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}}$

Это приложение показывает, что разность ветвей функции W может быть использована для решения других трансцендентных уравнений. ^[30]

Статистика

Центроид набора гистограмм, определенных относительно симметризованного расхождения Кульбака-Лейблера (также называемого расхождением Джеффриса ^[31] ), имеет замкнутую форму с использованием функции Ламберта W. ^[32]

Объединение тестов на инфекционные заболевания

Решение для оптимального размера группы для объединения тестов таким образом, чтобы по крайней мере один человек был инфицирован, использует функцию Ламберта W. ^{[33] [34] [35]}

Точные решения уравнения Шредингера

Функция Ламберта W появляется в квантово-механическом потенциале, который дает пятое — после гармонического осциллятора плюс центробежный, кулоновского плюс обратный квадрат, Морзе и обратного квадратного корня — точное решение стационарного одномерного уравнения Шредингера в терминах конфлюэнтных гипергеометрических функций. Потенциал задается как

${\displaystyle V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.}$

Особенностью решения является то, что каждое из двух фундаментальных решений, составляющих общее решение уравнения Шредингера, задается комбинацией двух конфлюэнтных гипергеометрических функций аргумента, пропорционального ^[36]

${\displaystyle z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).}$

Функция Ламберта W также появляется в точном решении для энергии связанного состояния одномерного уравнения Шредингера с двойным дельта-потенциалом .

Точное решение константы связи КХД

В квантовой хромодинамике , квантовой теории поля Сильного взаимодействия , константа связи вычисляется пертурбативно, порядок n соответствует диаграммам Фейнмана, включающим n квантовых петель. ^[37] Решение первого порядка, n=1, является точным (в этом порядке) и аналитическим. При более высоких порядках, n>1, нет точного и аналитического решения, и обычно используется итерационный метод для получения приближенного решения. Однако для второго порядка, n=2, функция Ламберта обеспечивает точное (хотя и неаналитическое) решение. ^[37] ${\displaystyle \alpha _{\text{s}}}$

Точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна

В метрическом решении Шварцшильда вакуумных уравнений Эйнштейна функция W необходима для перехода от координат Эддингтона–Финкельштейна к координатам Шварцшильда. По этой причине она также появляется при построении координат Крускала–Шекереша .

Резонансы потенциала дельта-оболочки

S-волновые резонансы потенциала дельта-оболочки можно точно записать в терминах функции Ламберта W. ^[38]

Термодинамическое равновесие

Если в реакции участвуют реагенты и продукты, теплоемкость которых постоянна при изменении температуры, то константа равновесия К подчиняется закону

${\displaystyle \ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T}$

для некоторых констант a , b , и c . Когда c (равен ⁠Δ C _p/Р⁠ ) ​​не равно нулю, то значение или значения T можно найти, где K равно заданному значению следующим образом, где L можно использовать для ln T .

${\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}}$

Если a и c имеют одинаковый знак, то будет либо два решения, либо ни одного (или одно, если аргумент W равен в точности − ⁠1/е⁠ ). (Верхнее решение может быть нерелевантным.) Если они имеют противоположные знаки, то будет одно решение.

Фазовое разделение полимерных смесей

При расчете фазовой диаграммы термодинамически несовместимых полимерных смесей по модели Эдмонда-Огстона решения для бинодальных и конодных линий формулируются в терминах функций Ламберта W. ^[39]

Закон смещения Вина вД-мерная вселенная

Закон смещения Вина выражается как . При и , где - спектральная плотность энергии энергии, находим , где - число степеней свободы для пространственного переноса. Решение показывает, что спектральная плотность энергии зависит от размерности Вселенной. ^[40] ${\displaystyle \nu _{\max }/T=\alpha =\mathrm {const} }$ ${\displaystyle x=h\nu _{\max }/k_{\mathrm {B} }T}$ ${\displaystyle d\rho _{T}\left(x\right)/dx=0}$ ${\displaystyle \rho _{T}}$ ${\displaystyle e^{-x}=1-{\frac {x}{D}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x=D+W\left(-De^{-D}\right)}$

Соответствие AdS/CFT

Классические поправки конечного размера к дисперсионным соотношениям гигантских магнонов, одиночных пиков и струн GKP можно выразить через функцию Ламберта W. ^{[41] [42]}

Эпидемиология

В пределе t → ∞ модели SIR соотношение восприимчивых и выздоровевших лиц имеет решение в терминах функции Ламберта W. ^[43]

Определение времени полета снаряда

Полное время полета снаряда, испытывающего сопротивление воздуха, пропорциональное его скорости, можно точно определить с помощью функции Ламберта W.

Распространение электромагнитных поверхностных волн

Трансцендентное уравнение, которое появляется при определении волнового числа распространения электромагнитной аксиально-симметричной поверхностной волны (мода TM01 с малым затуханием), распространяющейся в цилиндрическом металлическом проводе, приводит к уравнению вида u ln u = v (где u и v объединяют геометрические и физические факторы задачи), которое решается функцией Ламберта W. Первое решение этой задачи, данное Зоммерфельдом около 1898 года, уже содержало итерационный метод определения значения функции Ламберта W. ^[44]

Ортогональные траектории действительных эллипсов

Семейство эллипсов с центром в параметризуется эксцентриситетом . Ортогональные траектории этого семейства задаются дифференциальным уравнением , общим решением которого является семейство . ${\displaystyle x^{2}+(1-\varepsilon ^{2})y^{2}=\varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}+y\right)dy=\left({\frac {1}{x}}-x\right)dx}$ ${\displaystyle y^{2}=}$ ${\displaystyle W_{0}(x^{2}\exp(-2C-x^{2}))}$

Обобщения

Стандартная функция Ламберта W выражает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений (относительно x ) вида:

где a ₀ , c и r — действительные константы. Решение: Обобщения функции Ламберта W ^{[45] [46] [47]} включают: $${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).}$$

• Приложение к общей теории относительности и квантовой механике ( квантовой гравитации ) в меньших измерениях, фактически связь (неизвестная до 2007 года ^[48] ) между этими двумя областями, где правая часть ( 1 ) заменяется квадратичным полиномом по x :

  где r ₁ и r ₂ — действительные различные константы, корни квадратного многочлена. Здесь решение — это функция, которая имеет один аргумент x, но члены типа r _i и a ₀ являются параметрами этой функции. В этом отношении обобщение напоминает гипергеометрическую функцию и функцию G Мейера, но оно принадлежит к другому классу функций. Когда r ₁ = r ₂ , обе стороны ( 2 ) можно разложить на множители и свести к ( 1 ) и, таким образом, решение сводится к решению стандартной функции W. Уравнение ( 2 ) выражает уравнение, управляющее полем дилатона , из которого выводится метрика R = T или линейная задача гравитации двух тел в 1 + 1 измерениях (одно пространственное измерение и одно временное измерение) для случая неравных масс покоя, а также собственные энергии квантово-механической модели дельта-функции Дирака с двумя ямами для неравных зарядов в одном измерении.

• Аналитические решения собственных энергий частного случая квантово-механической задачи трех тел , а именно (трехмерной) молекулы-иона водорода . ^[49] Здесь правая часть ( 1 ) заменяется отношением полиномов бесконечного порядка по x :

  где r _i и s _i — различные действительные константы, а x — функция собственной энергии и межъядерного расстояния R. Уравнение ( 3 ) с его частными случаями, выраженными в ( 1 ) и ( 2 ), относится к большому классу дифференциальных уравнений с задержкой . Понятие GH Hardy о «ложной производной» дает точные кратные корни частным случаям ( 3 ). ^[50]

Приложения функции Ламберта W в фундаментальных физических проблемах не исчерпываются даже для стандартного случая, выраженного в ( 1 ), как это было недавно замечено в области атомной, молекулярной и оптической физики . ^[51]

Участки

• Графики функции Ламберта W на комплексной плоскости
• 
  z = Re( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = Im( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = | W ₀ ( x + iy ) |
• 
  Наложение предыдущих трех графиков

Численная оценка

Функцию W можно аппроксимировать с помощью метода Ньютона , с последовательными приближениями к w = W ( z ) (то есть z = we ^w )

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.}$

Функцию W можно также аппроксимировать с помощью метода Галлея ,

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}}$

приведено в работе Корлесса и др. ^[3] для вычисления W.

Для действительных чисел это можно аппроксимировать квадратичной рекурсивной формулой Р. Яконо и Дж. П. Бойда: ^[12] ${\displaystyle x\geq -1/e}$

${\displaystyle w_{n+1}(x)={\frac {w_{n}(x)}{1+w_{n}(x)}}\left(1+\log \left({\frac {x}{w_{n}(x)}}\right)\right).}$

Лайош Лоци доказывает ^[52], что, используя эту итерацию с соответствующим начальным значением , ${\displaystyle w_{0}(x)}$

• Для основного отделения ${\displaystyle W_{0}:}$
  • если : ${\displaystyle x\in (e,\infty )}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(x)-\log(\log(x)),}$
  • если ${\displaystyle x\in (0,e):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=x/e,}$
  • если ${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)={\frac {ex\log(1+{\sqrt {1+ex}})}{1+ex+{\sqrt {1+ex}}}},}$
• Для филиала ${\displaystyle W_{-1}:}$
  • если ${\displaystyle x\in (-1/4,0):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(-x)-\log(-\log(-x)),}$
  • если ${\displaystyle x\in (-1/e,-1/4]:}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=-1-{\sqrt {2}}{\sqrt {1+ex}},}$

можно заранее определить максимальное количество шагов итерации для любой точности:

• если (теорема 2.4): ${\displaystyle x\in (e,\infty )}$ ${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<\left(\log(1+1/e)\right)^{2^{n}},}$
• если (теорема 2.9): ${\displaystyle x\in (0,e)}$ ${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<{\frac {\left(1-1/e\right)^{2^{n}-1}}{5}},}$
• если ${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$
  • для главной ветви (теорема 2.17): ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle 0<w_{n}(x)-W_{0}(x)<\left(1/10\right)^{2^{n}},}$
  • для ветви (теорема 2.23): ${\displaystyle W_{-1}}$ ${\displaystyle 0<W_{-1}(x)-w_{n}(x)<\left(1/2\right)^{2^{n}}.}$

Тосио Фукусима представил быстрый метод аппроксимации действительных частей главной и второстепенной ветвей функции W без использования итераций. ^[53] В этом методе функция W оценивается как условное переключение рациональных функций на преобразованных переменных: где x , u , y и v являются преобразованиями z : $${\displaystyle W_{0}(z)={\begin{cases}X_{k}(x),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=1,2,\ldots ,17),\\U_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=18,19),\end{cases}}}$$ $${\displaystyle W_{-1}(z)={\begin{cases}Y_{k}(y),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-1,-2,\ldots ,-7),\\V_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-8,-9,-10),\end{cases}}}$$

${\displaystyle x={\sqrt {z+1/e}},\quad u=\ln {z},\quad y=-z/(x+1/{\sqrt {e}}),\quad v=\ln(-z)}$.

Здесь , , , и являются рациональными функциями, коэффициенты которых для различных значений k перечислены в указанной статье вместе со значениями, определяющими подобласти. С более высокими степенями полиномов в этих рациональных функциях метод может аппроксимировать функцию W более точно. ${\displaystyle X_{k}(x)}$ ${\displaystyle U_{k}(u)}$ ${\displaystyle Y_{k}(y)}$ ${\displaystyle V_{k}(v)}$ ${\displaystyle z_{k}}$

Например, когда , можно аппроксимировать до 24 бит точности на 64-битных значениях с плавающей точкой следующим образом: где x определяется с помощью преобразования выше, а коэффициенты и приведены в таблице ниже. ${\displaystyle -1/e\leq z\leq 2.0082178115844727}$ ${\displaystyle W_{0}(z)}$ ${\displaystyle W_{0}(z)\approx X_{1}(x)={\frac {\sum _{i}^{4}P_{i}x^{i}}{\sum _{i}^{3}Q_{i}x^{i}}}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$

Фукусима также предлагает аппроксимацию с точностью 50 бит на 64-битных числах с плавающей точкой, которая использует полиномы 8-й и 7-й степени.

Программное обеспечение

Функция Ламберта W реализована во многих языках программирования. Некоторые из них перечислены ниже:

Код C++ для всех ветвей комплексной функции Ламберта W также доступен на домашней странице Иштвана Мезо. ^[65]

Смотрите также

• Омега-функция Райта
• Трехчленное уравнение Ламберта
• Теорема обращения Лагранжа
• Экспериментальная математика
• Метод Гольштейна-Херринга
• Модель R = T
• Лемма Росса о π

Примечания

1. Lehtonen, Jussi (апрель 2016 г.), Rees, Mark (ред.), «Функция Ламберта W в экологических и эволюционных моделях», Methods in Ecology and Evolution , 7 (9): 1110–1118, Bibcode : 2016MEcEv...7.1110L, doi : 10.1111/2041-210x.12568 , S2CID  124111881
2. Чоу, Тимоти И. (1999), «Что такое число в замкнутой форме?», American Mathematical Monthly , 106 (5): 440–448, arXiv : math/9805045 , doi : 10.2307/2589148, JSTOR  2589148, MR  1699262.
3. Corless, RM; Гонне, GH; Заяц, ДЭГ; Джеффри, диджей; Кнут, DE (1996). «О функции ЛамбертаW» (PDF) . Достижения в области вычислительной математики . 5 : 329–359. дои : 10.1007/BF02124750. S2CID  29028411.
4. Ламберт Дж. Х., «Наблюдения за вариациями в матезин пурам», Acta Helveticae физико-математическо-анатомико-ботанико-медика , Группа III, 128–168, 1758.
5. Эйлер, Л. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus". Акта Акад. Научный. Петрополь. 2 , 29–51, 1783. Перепечатано в книге Эйлера, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Алгебраические комментарии . Лейпциг, Германия: Тойбнер, стр. 350–369, 1921.
6. Скотт, TC; Бабб, JF; Далгарно, A; Морган, Джон Д. (15 августа 1993 г.). «Расчет обменных сил: общие результаты и конкретные модели». J. Chem. Phys . 99 (4). Американский институт физики: 2841–2854. Bibcode : 1993JChPh..99.2841S. doi : 10.1063/1.465193. ISSN  0021-9606.
7. Функция Ламберта ⁠ ⁠ в Maple». Технический бюллетень Maple . 9 : 12–22. CiteSeerX 10.1.1.33.2556 . ${\displaystyle W}$ 
8. Mező, István (2022). Функция Ламберта W: ее обобщения и приложения. doi : 10.1201/9781003168102. ISBN 9781003168102. S2CID  247491347.
9. Бронштейн, Мануэль; Корлесс, Роберт М.; Дэвенпорт, Джеймс Х.; Джеффри, DJ (2008). «Алгебраические свойства функции Ламберта ⁠ W {\displaystyle W} ⁠ из результата Розенлихта и Лиувилля» (PDF) . Интегральные преобразования и специальные функции . 19 (10): 709–712. doi :10.1080/10652460802332342. S2CID  120069437. Архивировано (PDF) из оригинала 2015-12-11.
10. А. Хорфар, М. Хассани, Неравенства для функции Ламберта W и гиперстепенной функции, JIPAM, Теорема 2.7, стр. 7, том 9, выпуск 2, статья 51. 2008.
11. Chatzigeorgiou, I. (2013). «Границы функции Ламберта и их применение к анализу сбоев в работе пользователей». IEEE Communications Letters . 17 (8): 1505–1508. arXiv : 1601.04895 . doi : 10.1109/LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.
12. Iacono, Roberto; Boyd, John P. (2017-12-01). «Новые приближения к главной вещественной ветви W-функции Ламберта». Advances in Computational Mathematics . 43 (6): 1403–1436. doi :10.1007/s10444-017-9530-3. ISSN  1572-9044. S2CID  254184098.
13. "Функция Ламберта: Тождества (формула 01.31.17.0001)".
14. «W-функция Ламберта».
15. https://isa-afp.org/entries/Lambert_W.html Примечание: хотя одно из предположений соответствующей леммы гласит, что x должно быть > 1/ e , проверка указанной леммы показывает, что это предположение не используется. Нижняя граница на самом деле x > 0. Причина переключения ветвей в точке e проста: для x > 1 всегда есть два решения, −ln  x и еще одно, которое вы получили бы из x с другой стороны e , которое передало бы то же значение в W ; они должны пересекаться в точке x = e : [1] W _n не может отличить значение ln x/x от x < e от того же значения от другого x > e , поэтому он не может инвертировать порядок своих возвращаемых значений.
16. Финч, SR (2003). Математические константы . Cambridge University Press. стр. 450.
17. Калугин, Герман А.; Джеффри, Дэвид Дж.; Корлесс, Роберт М. (2012). «Бернштейн, Пик, Пуассон и связанные с ними интегральные выражения для Ламберта W» (PDF) . Интегральные преобразования и специальные функции . 23 (11): 817–829. doi :10.1080/10652469.2011.640327. MR  2989751.См. теорему 3.4, стр. 821 опубликованной версии (стр. 5 препринта).
18. Дубинов, А.Е.; Дубинова, ИД; Сайков, СК (2006). W -функция Ламберта и ее приложения к математическим задачам физики . РФЯЦ-ВНИИЭФ. С. 53.
19. Роберт М., Корлесс; Дэвид Дж., Джеффри; Дональд Э., Кнут (1997). "Последовательность рядов для функции Ламберта W ". Труды международного симпозиума 1997 года по символьным и алгебраическим вычислениям - ISSAC '97 . стр. 197–204. doi :10.1145/258726.258783. ISBN 978-0897918756. S2CID  6274712.
20. «Функция Ламберта W». Исследовательский центр компьютерной алгебры Онтарио.
21. More, AA (2006). «Аналитические решения для уравнения Коулбрука и Уайта и для падения давления в потоке идеального газа в трубах». Chemical Engineering Science . 61 (16): 5515–5519. Bibcode :2006ChEnS..61.5515M. doi :10.1016/j.ces.2006.04.003.
22. Пеллегрини, CC; Заппи, GA; Вилалта-Алонсо, G. (2022-05-12). «Аналитическое решение для зависящего от времени потока в простых ветвях гидравлических систем с центробежными насосами». Arabian Journal for Science and Engineering . 47 (12): 16273–16287. doi :10.1007/s13369-022-06864-9. ISSN  2193-567X. S2CID  248762601.
23. Сотеро, Роберто С.; Итуррия-Медина, Яссер (2011). «От сигналов, зависящих от уровня оксигенации крови (BOLD), к картам температуры мозга». Bull Math Biol (Представленная рукопись). 73 (11): 2731–47. doi :10.1007/s11538-011-9645-5. PMID  21409512. S2CID  12080132.
24. Браун, Артур; Вокаун, Александр; Германс, Хайнц-Гюнтер (2003). «Аналитическое решение проблемы роста с двумя движущимися границами». Appl Math Model . 27 (1): 47–52. doi : 10.1016/S0307-904X(02)00085-9 .
25. Браун, Артур; Берч, Мартин; Шнайдер, Бернхард; Кётц, Рюдигер (2000). «Модель роста пленки в образцах с двумя движущимися границами – применение и расширение модели непрореагировавшего ядра». Chem Eng Sci . 55 (22): 5273–5282. doi :10.1016/S0009-2509(00)00143-3.
26. Asadian, M; Saeedi, H; Yadegari, M; Shojaee, M (июнь 2014 г.). «Определение равновесной сегрегации, эффективной сегрегации и коэффициентов диффузии для Nd+3, легированного расплавленным YAG». Journal of Crystal Growth . 396 (15): 61–65. Bibcode : 2014JCrGr.396...61A. doi : 10.1016/j.jcrysgro.2014.03.028.https://doi.org/10.1016/j.jcrysgro.2014.03.028
27. Асадиан, М; Забихи, Ф; Саиди, Х (март 2024 г.). «Сегрегация и конституционное переохлаждение при выращивании кристаллов Nd:YAG методом Чохральского». Журнал «Рост кристаллов » . 630 : 127605. Bibcode : 2024JCrGr.63027605A. doi : 10.1016/j.jcrysgro.2024.127605. S2CID  267414096.https://doi.org/10.1016/j.jcrysgro.2024.127605
28. Браун, Артур; Бриггс, Кит М.; Боени, Питер (2003). «Аналитическое решение для критической толщины образования дислокации Мэтьюза и Блейксли в эпитаксиально выращенных тонких пленках». J Cryst Growth . 241 (1–2): 231–234. Bibcode : 2002JCrGr.241..231B. doi : 10.1016/S0022-0248(02)00941-7.
29. Колла, Пьетро (2014). «Новый аналитический метод для движения двухфазного интерфейса в наклонной пористой среде». ТРУДЫ, Тридцать восьмой семинар по геотермальному проектированию резервуаров, Стэнфордский университет . SGP-TR-202.([2])
30. DJ Jeffrey и JE Jankowski, «Различия ветвей и Ламберт W»
31. Флавия-Корина Митрои-Симеонидис; Ион Ангел; Сигеру Фуруичи (2019). «Кодировки для расчета перестановочной гипоэнтропии и их применение к данным о пожарах в натуральных помещениях». Acta Technica Napocensis . 62, IV: 607–616.
32. Ф. Нильсен, «Центроиды Джеффри: выражение в замкнутой форме для положительных гистограмм и гарантированно точная аппроксимация для частотных гистограмм»
33. https://arxiv.org/abs/2005.03051 Дж. Бэтсон и др., «СРАВНЕНИЕ АРХИТЕКТУР ГРУППОВОГО ТЕСТИРОВАНИЯ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ COVID-19».
34. AZ Broder, «Заметка о тестах двойного объединения».
35. Рудольф Ханель, Стефан Тернер (2020). «Повышение эффективности тестирования путем объединенного тестирования на SARS-CoV-2 — Формула для оптимального размера пула». PLOS ONE . ​​15, 11 (11): e0240652. Bibcode :2020PLoSO..1540652H. doi : 10.1371/journal.pone.0240652 . PMC 7641378 . PMID  33147228. 
36. А. М. Ишханян, «Барьер Ламберта W – точно решаемый вырожденный гипергеометрический потенциал».
37. Deur, Alexandre; Brodsky, Stanley J.; De Téramond, Guy F. (2016). «Бегущая связь КХД». Progress in Particle and Nuclear Physics . 90 : 1–74. arXiv : 1604.08082 . Bibcode :2016PrPNP..90....1D. doi :10.1016/j.ppnp.2016.04.003. S2CID  118854278.
38. de la Madrid, R. (2017). «Численный расчет ширин распада, констант распада и энергетических спектров распада резонансов потенциала дельта-оболочки». Nucl. Phys. A. 962 : 24–45. arXiv : 1704.00047 . Bibcode : 2017NuPhA.962...24D. doi : 10.1016/j.nuclphysa.2017.03.006. S2CID  119218907.
39. Bot, A.; Dewi, BPC; Venema, P. (2021). «Фазово-разделяющиеся бинарные полимерные смеси: вырождение вириальных коэффициентов и их извлечение из фазовых диаграмм». ACS Omega . 6 (11): 7862–7878. doi : 10.1021/acsomega.1c00450 . PMC 7992149 . PMID  33778298. 
40. Кардосо, ТР; де Кастро, А.С. (2005). «Излучение черного тела в D-мерной Вселенной». Rev. Bras. Ens. Fis . 27 (4): 559–563. doi : 10.1590/S1806-11172005000400007 . hdl : 11449/211894 .
41. Флоратос, Эммануэль; Георгиу, Джордж; Линардопулос, Георгиос (2014). "Разложения струн GKP с большим спином". JHEP . 2014 (3): 0180. arXiv : 1311.5800 . Bibcode :2014JHEP...03..018F. doi :10.1007/JHEP03(2014)018. S2CID  53355961.
42. Флоратос, Эммануэль; Линардопулос, Георгиос (2015). «Большой спин и большие обмотки расширений гигантских магнонов и одиночных шипов». Nucl. Phys. B . 897 : 229–275. arXiv : 1406.0796 . Bibcode :2015NuPhB.897..229F. doi :10.1016/j.nuclphysb.2015.05.021. S2CID  118526569.
43. Wolfram Research, Inc. "Mathematica, версия 12.1". Шампейн, Иллинойс, 2020.
44. Мендонса, Дж. Р. Г. (2019). «Распространение электромагнитных поверхностных волн в металлическом проводе и функция Ламберта W ». American Journal of Physics . 87 (6): 476–484. arXiv : 1812.07456 . Bibcode : 2019AmJPh..87..476M. doi : 10.1119/1.5100943. S2CID  119661071.
45. Скотт, TC; Манн, RB; Мартинес Ii, Роберто Э. (2006). «Общая теория относительности и квантовая механика: на пути к обобщению функции Ламберта W ». AAECC (Применимая алгебра в инженерии, связи и вычислениях) . 17 (1): 41–47. arXiv : math-ph/0607011 . Bibcode :2006math.ph...7011S. doi :10.1007/s00200-006-0196-1. S2CID  14664985.
46. Скотт, TC; Фи, G.; Гротендорст, J. (2013). «Асимптотический ряд обобщенной функции Ламберта W». SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) . 47 (185): 75–83. doi :10.1145/2576802.2576804. S2CID  15370297.
47. Скотт, TC; Фи, G.; Гротендорст, J.; Чжан, WZ (2014). «Численные характеристики обобщенной функции Ламберта W». SIGSAM . 48 (1/2): 42–56. doi :10.1145/2644288.2644298. S2CID  15776321.
48. Фарругия, PS; Манн, RB; Скотт, TC (2007). " N -body Gravity and the Schrödinger Equation". Класс. Quantum Grav . 24 (18): 4647–4659. arXiv : gr-qc/0611144 . Bibcode : 2007CQGra..24.4647F. doi : 10.1088/0264-9381/24/18/006. S2CID  119365501.
49. Скотт, TC; Обер-Фрекон, M.; Гротендорст, J. (2006). «Новый подход к электронной энергии молекулярного иона водорода». Chem. Phys . 324 (2–3): 323–338. arXiv : physics/0607081 . Bibcode :2006CP....324..323S. CiteSeerX 10.1.1.261.9067 . doi :10.1016/j.chemphys.2005.10.031. S2CID  623114. 
50. Maignan, Aude; Scott, TC (2016). «Раскрытие обобщенной функции Ламберта W ». SIGSAM . 50 (2): 45–60. doi :10.1145/2992274.2992275. S2CID  53222884.
51. Scott, TC; Lüchow, A.; Bressanini, D.; Morgan, JD III (2007). "Узловые поверхности собственных функций атома гелия" (PDF) . Phys. Rev. A . 75 (6): 060101. Bibcode :2007PhRvA..75f0101S. doi :10.1103/PhysRevA.75.060101. hdl : 11383/1679348 . Архивировано (PDF) из оригинала 2017-09-22.
52. Лоци, Лайош (2022-11-15). «Гарантированная и высокоточная оценка функции Ламберта W». Прикладная математика и вычисления . 433 : 127406. doi : 10.1016/j.amc.2022.127406 . hdl : 10831/89771 . ISSN  0096-3003.
53. Фукусима, Тосио (2020-11-25). «Точное и быстрое вычисление функции Ламберта W с помощью кусочно-минимаксной рациональной аппроксимации функции с преобразованием переменной». doi : 10.13140/RG.2.2.30264.37128 .
54. "LambertW - Помощь Maple".
55. Ламбертв – MATLAB
56. "lambertw - specfun на Octave-Forge" . Получено 2024-09-12 .
57. Maxima, система компьютерной алгебры
58. ProductLog - Справочник по языку Wolfram
59. "Scipy.special.lambertw — Справочное руководство SciPy v0.16.1".
60. ntheory - MetaCPAN
61. «Функции Ламберта W — Научная библиотека GNU (GSL)».
62. "Функция Ламберта W - библиотеки Boost".
63. Адлер, Авраам (2017-04-24), lamW: Функция Ламберта W , получено 2017-12-19
64. Сёрнгард, Йоханна (28 июля 2024 г.), lambert_w , получено 11 сентября 2024 г.
65. Иштван Мезё - Персональная веб-страница

Ссылки

• Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996). "On the Lambert W function" (PDF) . Advances in Computational Mathematics . 5 : 329–359. doi :10.1007/BF02124750. ISSN  1019-7168. S2CID  29028411. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-12-14 . Получено 2007-03-10 .
• Шапо-Блондо, Ф.; Монир, А. (2002). "Оценка функции Ламберта W и ее применение к генерации обобщенного гауссовского шума с показателем 1/2" (PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 50 (9). doi :10.1109/TSP.2002.801912. Архивировано из оригинала (PDF) 28.03.2012 . Получено 10.03.2004 .
• Фрэнсис и др. (2000). «Количественная общая теория периодического дыхания». Circulation . 102 (18): 2214–21. CiteSeerX  10.1.1.505.7194 . doi :10.1161/01.cir.102.18.2214. PMID  11056095. S2CID  14410926.(Функция Ламберта используется для решения динамики дифференциальных задержек при заболеваниях человека.)
• Hayes, B. (2005). "Почему W?" (PDF) . American Scientist . 93 (2): 104–108. doi :10.1511/2005.2.104. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-10.
• Рой, Р.; Олвер, Ф. У. Дж. (2010), "Функция Ламберта W", в Олвер, Фрэнк У. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник математических функций NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Стюарт, Шон М. (2005). «Новая элементарная функция для наших учебных программ?» (PDF) . Australian Senior Mathematics Journal . 19 (2): 8–26. ISSN  0819-4564. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-10.
• Veberic, D., «Развлечение с функцией Ламберта W(x)» arXiv:1003.1628 (2010); Veberic, D. (2012). « Функция Ламберта W для приложений в физике». Computer Physics Communications . 183 (12): 2622–2628. arXiv : 1209.0735 . Bibcode :2012CoPhC.183.2622V. doi :10.1016/j.cpc.2012.07.008. S2CID  315088.
• Chatzigeorgiou, I. (2013). «Границы функции Ламберта и их применение к анализу сбоев в работе пользователей». IEEE Communications Letters . 17 (8): 1505–1508. arXiv : 1601.04895 . doi : 10.1109/LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.

Внешние ссылки

• Цифровая библиотека Национального института науки и технологий – Ламберт В.
• MathWorld – W-функция Ламберта
• Вычисление функции Ламберта W
• Корлесс и др. Заметки об исследовании Ламберта В.
• Реализация GPL C++ с итерациями Галлея и Фрича.
• Специальные функции научной библиотеки GNU – GSL
• [3]