Обозначение абстрактного индекса

Математическая нотация для тензоров и спиноров

Абстрактная индексная нотация (также называемая индексной нотацией с именами слотов) ^[1] — это математическая нотация для тензоров и спиноров , которая использует индексы для указания их типов, а не их компонентов в определенном базисе. ^[2] Индексы — это просто заполнители, не связанные ни с каким базисом и, в частности, нечисловые. Таким образом, ее не следует путать с исчислением Риччи . Нотация была введена Роджером Пенроузом как способ использования формальных аспектов соглашения о суммировании Эйнштейна для компенсации трудностей в описании сокращений и ковариантного дифференцирования в современной абстрактной тензорной нотации, при этом сохраняя явную ковариантность задействованных выражений. ^[3]

Пусть будет векторным пространством , а его сопряженное пространство . Рассмотрим, например, ковариантный тензор порядка 2 . Тогда можно отождествить с билинейной формой на . Другими словами, это функция двух аргументов, в которой можно представить как пару слотов : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle h\in V^{*}\otimes V^{*}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle h=h(-,-).}$

Абстрактная индексная нотация представляет собой просто обозначение слотов латинскими буквами, которые не имеют никакого значения, кроме их обозначения в качестве меток слотов (т.е. они не являются числовыми):

${\displaystyle h=h_{ab}.}$

Свертка тензора (или след) между двумя тензорами представлена ​​повторением индексной метки, где одна метка является контравариантной ( верхний индекс, соответствующий фактору ), а другая метка является ковариантной ( нижний индекс, соответствующий фактору ). Таким образом, например, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle t_{ab}{}^{b}}$

является следом тензора по его последним двум слотам. Этот способ представления тензорных сокращений повторяющимися индексами формально похож на соглашение Эйнштейна о суммировании . Однако, поскольку индексы не являются числовыми, это не подразумевает суммирования: скорее, это соответствует абстрактной независимой от базиса операции следа (или естественному спариванию ) между тензорными факторами типа и факторами типа . ${\displaystyle t=t_{ab}{}^{c}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

Абстрактные индексы и тензорные пространства

Общий однородный тензор является элементом тензорного произведения копий и , например ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

Обозначьте каждый фактор в этом тензорном произведении латинской буквой в приподнятом положении для каждого контравариантного фактора и в приподнятом положении для каждой ковариантной позиции. Таким образом, запишите произведение как ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}}$

или просто

${\displaystyle V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}.}$

Последние два выражения обозначают тот же объект, что и первое. Тензоры этого типа обозначаются с помощью схожих обозначений, например:

${\displaystyle h^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}\in V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}=V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

Сокращение

В общем случае, когда в тензорном произведении пространств встречается один контравариантный и один ковариантный фактор, существует связанная с ними карта сжатия (или следа ). Например,

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}}$

— след на первых двух пространствах тензорного произведения. — след на первом и последнем пространстве. $${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$$

Эти операции трассировки обозначаются на тензорах повторением индекса. Таким образом, первая карта трассировки задается как

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^{a}{}_{a}{}_{c}{}^{d}{}_{e}}$

и второй по

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{a}.}$

Плетение

Для любого тензорного произведения на одном векторном пространстве существуют ассоциированные сплетения . Например, сплетение

${\displaystyle \tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$

меняет местами два тензорных фактора (так что его действие на простые тензоры задается как ). В общем случае, сплетенные отображения находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами симметрической группы , действуя путем перестановки тензорных факторов. Здесь обозначает сплетенное отображение, связанное с перестановкой (представленное как произведение непересекающихся циклических перестановок ). ${\displaystyle \tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v}$ ${\displaystyle \tau _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$

Сплетения карт важны в дифференциальной геометрии , например, для выражения тождества Бианки . Здесь пусть обозначает тензор Римана , рассматриваемый как тензор в . Первое тождество Бианки тогда утверждает, что ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$

${\displaystyle R+\tau _{(123)}R+\tau _{(132)}R=0.}$

Абстрактная индексная нотация обрабатывает плетение следующим образом. На конкретном тензорном произведении порядок абстрактных индексов фиксируется (обычно это лексикографический порядок ). Затем коса представляется в нотации путем перестановки меток индексов. Так, например, с тензором Римана

${\displaystyle R=R_{abc}{}^{d}\in V_{abc}{}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V,}$

идентичность Бьянки становится

${\displaystyle R_{abc}{}^{d}+R_{cab}{}^{d}+R_{bca}{}^{d}=0.}$

Антисимметризация и симметризация

Общий тензор может быть антисимметризованным или симметризованным, и для этого существуют соответствующие обозначения.

Продемонстрируем обозначения на примере. Давайте антисимметризуем тензор типа (0,3) , где — симметрическая группа по трем элементам. ${\displaystyle \omega _{abc}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$

${\displaystyle \omega _{[abc]}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}(-1)^{{\text{sgn}}(\sigma )}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

Аналогично мы можем симметризировать:

${\displaystyle \omega _{(abc)}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

Смотрите также

• Графическая нотация Пенроуза
• Обозначение Эйнштейна
• Индексная нотация
• Тензор
• Антисимметричный тензор
• Повышение и понижение индексов
• Ковариантность и контравариантность векторов

Ссылки

1. Кип С. Торн и Роджер Д. Блэндфорд (2017). Современная классическая физика: оптика, жидкости, плазма, упругость, теория относительности и статистическая физика . Princeton University Press. ISBN 978-0-69115902-7.
2. Роджер Пенроуз (2007). Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной . Винтаж. ISBN 978-0-67977631-4.
3. Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер (1984). Спиноры и пространство-время, том 1: Двухспинорное исчисление и релятивистские поля . Cambridge University Press. ISBN 978-0-52133707-6.