В математике обратимый пучок — это пучок на кольцеобразном пространстве , который имеет обратный относительно тензорного произведения пучков модулей . Это эквивалент в алгебраической геометрии топологического понятия линейного расслоения . Благодаря их взаимодействию с дивизорами Картье , они играют центральную роль в изучении алгебраических многообразий .
Пусть ( X , O X ) — кольцевое пространство. Классы изоморфизма пучков O X -модулей образуют моноид относительно операции тензорного произведения O X -модулей. Единичным элементом для этой операции является сам O X . Обратимые пучки — это обратимые элементы этого моноида. В частности, если L — пучок O X -модулей, то L называется обратимым , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: [1] [2]
Каждый локально свободный пучок ранга один обратим. Если X — локально окольцованное пространство, то L обратимо тогда и только тогда, когда оно локально свободно ранга один. Из-за этого факта обратимые пучки тесно связаны с линейными расслоениями , до такой степени, что их иногда объединяют.
Пусть X — аффинная схема Spec R. Тогда обратимый пучок на X — это пучок, связанный с проективным модулем ранга один над R. Например, сюда входят дробные идеалы полей алгебраических чисел , поскольку они являются проективными модулями ранга один над кольцами целых чисел числового поля.
В общем случае классы изоморфизма обратимых пучков на X сами образуют абелеву группу относительно тензорного произведения. Эта группа обобщает идеальную группу классов . В общем случае это записывается
с Pic — функтором Пикара . Поскольку он также включает в себя теорию якобиева многообразия алгебраической кривой , изучение этого функтора является важной проблемой в алгебраической геометрии.
Прямое построение обратимых пучков с помощью данных о X приводит к понятию дивизора Картье .
