Коэффициент Миллса

В теории вероятности

В теории вероятностей отношение Миллса (или коэффициент Миллса ^[1] ) непрерывной случайной величины — это функция ${\displaystyle X}$

${\displaystyle m(x):={\frac {{\bar {F}}(x)}{f(x)}},}$

где — функция плотности вероятности , а ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\bar {F}}(x):=\Pr[X>x]=\int _{x}^{+\infty }f(u)\,du}$

является дополнительной кумулятивной функцией распределения (также называемой функцией выживания ). Концепция названа в честь Джона П. Миллса. ^[2] Коэффициент Миллса связан с уровнем риска h ( x ), который определяется как ^[3]

${\displaystyle h(x):=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{\delta }}\Pr[x<X\leq x+\delta |X>x]}$

к

${\displaystyle m(x)={\frac {1}{h(x)}}.}$

Верхние и нижние границы

Если имеет стандартное нормальное распределение, то справедливы следующие границы : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+1}}<m(x)<{\frac {1}{x}}}$^{[4] [5]}

Пример

Если имеет стандартное нормальное распределение , то ${\displaystyle X}$

${\displaystyle m(x)\sim 1/x,\,}$

где знак означает, что частное двух функций сходится к 1 как , см. Q-функция для подробностей. Более точные асимптотики могут быть даны. ^[6] ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle x\to +\infty }$

Обратное отношение Миллса

Обратное отношение Миллса — это отношение функции плотности вероятности к дополнительной кумулятивной функции распределения распределения. Его использование часто мотивируется следующим свойством усеченного нормального распределения . Если X — случайная величина, имеющая нормальное распределение со средним значением μ и дисперсией σ ² , то

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [\,X\,|\ X>\alpha \,]=\mu +\sigma {\frac {\phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}{1-\Phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}},\\&\operatorname {E} [\,X\,|\ X<\alpha \,]=\mu -\sigma {\frac {\phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}{\Phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}},\end{aligned}}}$

где — константа, обозначает стандартную нормальную функцию плотности, а — стандартная нормальная кумулятивная функция распределения. Две дроби — обратные коэффициенты Миллса. ^[7] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Использование в регрессии

Обычное применение обратного отношения Миллса (иногда также называемого «неселекционным риском») возникает в регрессионном анализе для учета возможного смещения выбора . Если зависимая переменная цензурируется (т. е. не для всех наблюдений наблюдается положительный результат), это приводит к концентрации наблюдений при нулевых значениях. Эта проблема была впервые признана Тобином (1958), который показал, что если это не учитывать в процедуре оценки, обычная оценка наименьших квадратов даст смещенные оценки параметров. ^[8] При цензурированных зависимых переменных происходит нарушение предположения Гаусса-Маркова о нулевой корреляции между независимыми переменными и ошибкой . ^[9]

Джеймс Хекман предложил двухэтапную процедуру оценки с использованием обратного отношения Миллса для коррекции смещения отбора. ^{[10] [11]} На первом этапе регрессия для наблюдения положительного результата зависимой переменной моделируется с помощью пробит- модели. Обратное отношение Миллса должно быть получено из оценки пробит-модели , логит-модель использовать нельзя. Пробит-модель предполагает, что ошибка следует стандартному нормальному распределению . ^[10] Оцененные параметры используются для расчета обратного отношения Миллса, которое затем включается в качестве дополнительной объясняющей переменной в оценку OLS. ^[12]

Смотрите также

• поправка Хекмана

Ссылки

1. Гримметт, Г.; Стирзакер, С. (2001). Теория вероятностей и случайные процессы (3-е изд.). Кембридж. стр. 98. ISBN 0-19-857223-9.
2. Миллс, Джон П. (1926). «Таблица отношения: площадь к ограничивающей ординате для любой части нормальной кривой». Biometrika . 18 (3/4): 395–400. doi :10.1093/biomet/18.3-4.395. JSTOR  2331957.
3. Кляйн, Дж. П.; Мёшбергер, М. Л. (2003). Анализ выживаемости: методы для цензурированных и усеченных данных. Нью-Йорк: Springer. стр. 27. ISBN 0-387-95399-X.
4. "Верхние и нижние границы для функции нормального распределения". www.johndcook.com . 2018-06-02 . Получено 2023-12-20 .
5. Уэйнрайт М. Дж. Высокомерная статистика: неасимптотическая точка зрения . Кембридж: Cambridge University Press; 2019. doi:10.1017/9781108627771
6. Смолл, Кристофер Г. (2010). Разложения и асимптотики для статистики. Монографии по статистике и прикладной вероятности. Т. 115. CRC Press. С. 48, 50–51, 88–90. ISBN 978-1-4200-1102-9..
7. Грин, WH (2003). Эконометрический анализ (Пятое издание). Prentice-Hall. стр. 759. ISBN 0-13-066189-9.
8. Тобин, Дж. (1958). «Оценка связей для ограниченных зависимых переменных» (PDF) . Econometrica . 26 (1): 24–36. doi :10.2307/1907382. JSTOR  1907382.
9. Амемия, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. С. 366–368. ISBN 0-674-00560-0.
10. Heckman, JJ (1979). «Выборка выборки как ошибка спецификации». Econometrica . 47 (1): 153–161. doi :10.2307/1912352. JSTOR  1912352.
11. Амемия, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. С. 368–373. ISBN 0-674-00560-0.
12. Хекман, Дж. Дж. (1976). «Общая структура статистических моделей усечения, выборки и ограниченных зависимых переменных и простая оценка для таких моделей». Annals of Economic and Social Measurement . 5 (4): 475–492.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Коэффициент Миллса». Математический мир .